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双曲线及其标准方程.ppt00



复习
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数

2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.

|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
2. 引入问题:

Y

M ? x, y ?

r />F1 ?? c, 0 ?

O

F2? c, 0 ? X

平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢?

合作探究
? ? ? ? 1、举出生活中常见的双曲线? 2、类比椭圆的定义,你能给出双曲线的定义吗? 3、定义应注意什么? 4、类比求椭圆标准方程的方法,思考如何建立适 当的坐标系求双曲线标准方程? ? 5、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上? ? 6、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何异同 点? ? 7、待定系数法求标准方程的步骤是什么?

问题1 生活中的双曲线

问题2 类比椭圆的定义,你能给出 双曲线的定义吗?
①如图(A), |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B), |MF2|-|MF1|=|F1F|=2a

由①②可得: | |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)
上面 两条合起来叫做双曲线

拉链画双曲线

双曲线图象

双曲线定义

平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝 对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹 叫做双曲线. ① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;

② |F1F2|=2c ——焦距.

M o

||MF1|-|MF2||=2a ( 2a<2c)
注意

F1

F2

(1)2a<2c ;

(2)2a >0 ; 若2a = 0,则图形是什么?

问题3(1):定义中为什么要强调差的绝对值?

1.若 MF1 ? MF2 ? 2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

双曲线右支 则图形为 ______________________
2.若 MF1 ? MF2 ? ?2a

? 0 ? 2a ? F F ?
1 2

F1

F2

双曲线左支 则图形为 ______________________

课堂练习2

问题3(2):定义中为什么这个常数要小于 |F1F2|? 如果不小于|F1F2 | ,轨迹是什么?
①若2a=2c,则轨迹是什么? 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 ②若2a>2c,则轨迹是什么? 课堂练习1,3 此时轨迹不存在 ③若2a=0,则轨迹是什么? 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线

问题4、类比求椭圆标准方程方的方法, 思考如何建立适当的坐标系求双曲线 标准方程?

y

双曲线的标准方程
求曲线方程的步骤:
F1
O

M

F2

x

1.建系: 2.设点: 设M(x , y),则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式: |MF1| - |MF2|=±2a



? x ? c?

2

?y ?
2

? x ? c?

2

? y ? ?2a
2

4.化简:

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

?

( x ? c) 2 ? y 2
2

? ?
2

? ?2a ? ( x ? c) 2 ? y 2
2 2

?

2

cx ? a ? ? a ( x ? c ) ? y
2 2 2 2 2 2 2

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2

c ?a ?b
2 2

2

x a2

2

? b2 ? 1(a ? 0, b ? 0)

y2

此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程

若建系时,焦点在y轴上呢?
y
M

y
M F2 x

F1

O

F2

x

O

F1

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? ? 1 2 2 a b

2

2

(a ? 0,b ? 0)

问题5:如何判断双曲线的焦点在哪个轴上?
看 x , y 前的系数,哪一个为正,则在 哪一个轴上 课堂练习4 判断下列方程是否表示双曲 线?若是,求出 a, b, c 及焦点坐标。
x y ?1? ? ? 1 4 2
2 2

2

2

x y ?2? ? ? ?1 4 2

2

2

先把非标准方程化成标准方程,再判断 焦点所在的坐标轴。

问题6:双曲线的标准方程与椭圆的标准方程 有何异同点?
椭 圆 双曲线
||MF1|-|MF2||=2a
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

定义
方 程

|MF1|+|MF2|=2a
x y ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
2 2

焦点

F(±c,0) F(0,±c)

F(±c,0) F(0,±c)

a.b.c的 a不一 关系 a>b>0,a2=b2+c2 a>0,b>0,但 2 2 2
定大于b,c =a +b

相同点:
1.焦点坐标相同, 焦距相等; 2.a, b, c 大小满足勾股定理
3.研究方法相同

不同点:
1.椭圆中a最大a2 ? b2 ? c2 , 在双曲线中c最大, c2 ? a2 ? b2;
2.椭圆方程中"? ", 双曲线中"? ";
3.判断焦点位置方法不同。

例 1 (见学案) (参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 , 求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6

∴ 由双曲线的定义可知,点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 ? ? 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

变一变 1:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
PF1 ? PF2 ? 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

解: ∵ F1F2 ? 10 ,

PF1 ? PF2 ? 10

∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y ? 0( x ≥ 5 或x ≤ ?5) .

变一变 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.

变一变 2:已知两定点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足

PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程. 解: ∵ F1F2 ? 10 >6, PF1 ? PF2 ? 6
∴ 由双曲线的定义可知, 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (?5,0), F2 (5,0)
x y ∴可设双曲线方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 -3 =16.
x2 y2 ? ? 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
2 2

变式训练
求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上, a ? 4

,b?3

(2)焦点(0,-6),(0,6),经过点(2,-5).

课堂练习5

问题7:用待定系数法求标准方程的 步骤是什么?
1、定位:确定焦点的位置;

2、设方程
3、定量:a,b,c的关系 焦点在x轴上: 焦点在y轴上:
x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 a b
2 2

? 例2 、已知双曲线的焦点在y轴上,并且 双曲线上两点P1、P2的坐标分别为 2 2)、(0,2),求双曲线的标准方 (1, 程.

变式训练:双曲线的焦点在坐标轴上,经过点

(4, ? 3),(2,0), 求双曲线的标准方程.

学习小结:

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

定义 | | MF1 | - | MF2 | | = 2a ( 2a <| F1F2 | )
x2 y2 y2 x2 方程 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0). a b a b
y
M

M x

y F2 x

图象

F1

O

F2

O

F1

关系

c2 = a2 + b 2

课堂练习(巩固及提高): 已 知 在 △ ABC 中 , B(?5,0) , C (5,0) , 点 A 运 动 时 满 足 3 sin B ? sin C ? sin A ,求点 A 的轨迹方程. 5

3 sin B ? sin C ? sin A , 5 3 3 ?由 正 弦 定 理 得 AC ? AB ? BC ? ? 10 ? 6 ? 10 5 5

解: 在△ABC中,|BC|=10,

故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支

又因c=5,a=3,则b=4

x y 则顶点A的轨迹方程为 ? ? 1 ( x ? ?3) 9 16

2

2

随着汽车的普及,全球定位系统越来越受到有车 一族的喜爱,那么这个系统的原理是什么呢?下一节 课我们将结合具体的例子来说明这个问题。我们将体 会双曲线在实际生活中的重要应用.

作业 课本P54,A组2,完成下一节学案



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