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高考数学第一轮复习椭圆



椭圆 ●知识梳理 1.到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定长(>|F1F2|)的点的轨迹 定义 2.到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e(∈(0,1) )的点的轨 迹 1.
x2 y2 + =1(a>b>0) ,c= a 2 ? b 2 , a2 b2

焦点是 F1(-c,0) 2(c,0) ,F 方程 2.
y2 a2



+

x2 =1(a>b>0) ,c= a 2 ? b 2 ,焦点是 F1(0,-c) 2(0,c) ,F 2 b

3.参数方程

x=acosθ ,
θ 为参数

y=bsinθ
x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

E:

性质

1.范围:|x|≤a,|y|≤b 2.对称性:关于 x,y 轴均对称,关于原点中心对称 3.顶点:长轴端点 A1(-a,0) 2(a,0) ,A ;短轴端点 B1(0,-b) , B2(0,b)
c ∈(0,1) a a2 a2 5.准线:l1:x=- ,l2:x= c c

4.离心率:e=

6.焦半径:P(x,y)∈E r1=|PF1|=a+ex,r2=|PF2|=a-ex

椭圆定义的应用
一.定义 定义Ⅰ:若 F1,F2 是两定点,P 为动点,且 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为 常数)则 P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ:若 F1 为定点,l 为定直线,动点 P 到 F1 的距离与到定直线 l 的距 离之比为常数 e(0<e<1) ,则 P 点的轨迹是椭圆。 二.定义的运用 (一) 直接运用定义

1

例 1. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P,若 △F1PF2 为等腰直角三角形 , 则椭圆的离心率是( ) y (A)
2 2

(B)

2 ?1 2

P F1 0 F2 x

(C)2— 2

(D) 2 —1

分析:椭圆定义、性质的直接应用是高考的常考点,求解时,应掌握椭圆 第一、第二定义,参数 a ,b,c,e,
a2 的几何意义及其相互关系。 c

解:如图 1,设|PF2|=m,则由题设得|PF1|= 2 m,2c =|F1F2|=m. 由椭圆第一定义,得 2 a =|PF1|+|PF2|=( 2 ? 1 )m ∴e=
c m ? ? 2 ? 1 .故选 D。 a ( 2 ? 1)m

(二) 交错运用定义 例 3: P 为椭圆 准线距离。
y 分析:如图: | PF2 |? 4.4, 由第一定义知 | PF1 |? 5.6

x2 y2 22 ,求 P 到左 ? ? 1 上的一点,它到右焦点的距离为 25 16 5

F1
d

0 y

F2
P

x

再由椭圆的第二定义 P 到左焦点的距离
| PF1 |与 P 到左准线的距离之比为离心

率 e ,即
x

5 .6 3 ? , d 5

28 。 L 3 例 3 则通过结合圆锥曲线第一定义和第二定义来解决问题,从上面三个 例题可以看出, 我们在解决圆锥曲线的问题时,从定义的角度考虑出发是一种很 好的解题思路。下面看下有关定义的应用问题。 (三) 运用定义求最值
F1
0

F2

得d ?

例 4.已知点 A(1,2)在椭圆 P 使 | PA | ?2 | PF | 最小。

x2 y2 ? ? 1 内,F 的坐标为(2,0) ,在椭圆上求一点 16 12

2

解:? a 2 ? 16, b 2 ? 12,? c 2 ? 4, c ? 2

? F 为椭圆的右焦点,并且离心率为
P 到右准线的距离是 d ,则 | PF |?

2 1 ? ,设 4 2

1 | d , d ? 2 | PF | ,? PA | ?2 | PF |?| PA | ?d , 2 由几何性质可知,当 P 点纵坐标(横坐标为大于零)与 A 点的纵坐标相同时,
| PA | ?d 最小,把 y ? 2 代入

x2 y2 4 6 4 6 ,2) 为所 (负舍之) ,即 P ( ? ? 1得 x ? 3 3 16 12

求。 例 5.已知椭圆 C 的方程为
x2 y2 ? ? 1 ,F1、F2 是它的左右两个焦点,点 A 16 12

的坐标为(3,1),试在椭圆上求一点 P,(1)使得|PA|+|PF2|最小;(2)使得|PA|+2|PF2| 最小,并求出相应的最小值。 (亦可把椭圆改为双曲线或抛物线,同样有类似的 问题) 类似于这样的问题, 初学者往往很难作答,即使在老师的讲解和点拨下也不 易掌握。 基础好的同学还可以理解,一般的同学下次再遇到类似的问题时仍然难 以做对,还会出现很多不应有的错误。这里笔者想能过一个实例,给出这种问题 的一般解题策略和具体处理方法。 关于|PA|+|PF2|最小值的问题,同学们不应该感到陌生。在初中我们曾求过这 样的问题:如图,已知 A、B 两点在直线 L 的同侧,试在 L 上求作一点 P,使得 |PA|+|PB|最小。 (相对应的还有一个应用题:A、B 两个小村庄,L 是一条河,今 要在河上架设一座大桥,使从 A、B 两村庄铺设到大桥的公路总长最短,应该如 A 何选址?) 我们知道两点之间的连线中, 线段最短, 所以|PA|+|PB| B ≥|AB| 显然等号不成立,因为 A、B 在直线 L 的同侧,如 L 果 A、 P B 两点 / O 在 L 的异侧就好了,因为 A、B 若在 L 异侧,线段 AB B 就与 L 相交,交点即为所求作的 P 点。所以能不能在 L 的另一侧找到一点 B/,使得|PB/|总是等于|PB|呢? 求作点 B(或者 A)关于直线 L 的对称点 B/即可。 转化思想就是我们解决问题的基本策略。 我们只要将同侧的两点转化为异侧 的两点,问题就得以解决。 A 比如:请在 L 上再找一点 Q,使得|QA|-|QB|最大?同样道理, |QA|-|QB|总是小于|AB|,如能等于|AB|就行。我们还是转化, B/ / / 异侧两点同侧化,当 Q 为 AB 的延长线与 L 的交点 Q 时, L / / Q/与 Q |QA|-|QB|=|QA|-|QB |≤|AB |。 (这里 B 关于 L 的对称点 B O B O A 的连线要与 L 相交才行,否则 Q/点不存在) 我们总结得到:同侧和最小异侧化,异侧差最大同侧化。 根据以上分析, 我们可以用类比的方法解决圆锥曲线中的类似问题。能不能 将椭圆 C 内部(同侧)的两点 A 或者 F2 转化为一内一外呢?显然无法作出点 A (或者 F2)关于曲线(椭圆)的对称点(没听说过) ,使得|PA|总是等于|PA/|。 y
P

? ? F1 o F2 N

? A

M

x

3

如图,|PA|+|PF2|总是大于|AF2|,但|PA|-|PF2|还是能够 等于|AF2|,作直线 AF2,与椭圆交于 M、N 两点, 当 P 运动到图中的 N 点时,|PA|-|PF2|=|AF2|, 当 P 运动到图中的 M 点时,|PA|-|PF2|= -|AF2| 能不能将|PA|+|PF2|转化为|PA|-|PF2|呢? 所以我们给出解决圆锥曲线问题的另一解题策略:回归定义。椭圆的第一定 义是:平面内到两定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹。我 们不能将点 A(或点 F2)转移到椭圆外,但我们可以将 P 到 F2 的距离转化为点 P 到 另 一 焦 点 F1 的 距 离 。 因 为 |PF1|+|PF2|=2a , 所 以 |PF2|=2a-|PF1| , 于 是 y |PA|+|PF2|=|PA|+(2a-|PF1|)=(|PA|-|PF1|)+2a P 要求|PA|+|PF2|的最值,就等价于求|PA|-|PF1|的最 S值。 x A 如图作直线 AF1 交椭圆于 R、S 两点, ?o ? F1 F2 R ? 则 -|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1| 所以 2a-|AF1|≤|PA|+|PF2|≤2a+|AF1| 将具体数据代入即可求得本文开始时提出的(1)的解答。 那么对于(2)又如何解答呢?与(1)相比,就是在|PF2|前 多了个系数 2,也只能是 2(否则无解) ,我们可以用圆锥曲线的统一定义,将同 侧(内部)问题转化为异侧问题来求解。 椭圆的第二定义是: 平面内到一定点 F2 的距离与到一定直线 l 的距离之比为 小于 1 的常数的点的轨迹就叫做椭圆。其中定点为焦点,定直线为此焦点相应的 y 准线,小于 1 的常数就是椭圆的离心率 e。 l P M | PF2 | 如 图 , PM ⊥ l 于 M , 则 ? e ,所以 ? A x ? | PM | F1 o F2 1 |PM|= |PF2| e ? 1 本题中,椭圆的离心率 e= ,所以|PM|=2|PF2| 2 所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|, 于是我们将问题转化为从定点 A 到准线 l 的 “折 线段”PA 与 PM 的长的和的问题,也就是说将同侧(内部)两点的距离和问题 转化成了异侧一点一线距离和的问题。显然当 A、P、M 三点共线且垂直于直线 l 时,|PA|+|PM 最小,即直接过 A 作准线 l 的垂直交椭圆于 P 点,则 P 即为所求 作。 1 这种转化看来只适用于形如|PA|+ |PF2|的最小值的问题。 e 以上我们给出了解决圆锥曲线中这两种最值的解题策略和具体做法, 即利用 圆锥曲线的定义实现了问题的转化,即同异互化,回归定义。 本文例 5 的问题具体解答如下: (1) 由已知椭圆方程得:a=4,b=2 3 ,所以 c=2,所以 F1(-2,0),F2(2,0) 因 为 P 在 椭 圆 上 , 所 以 |PF1|+|PF2|=2a=8, 所 以 y |PF2|=8-|PF1| P 所以|PA|+|PF2|=|PA|+8-|PF1|=|PA|-|PF1|+8 S x A 过 A、F1 作直线 RS 交椭圆于 R、S 两点, ?o ? F1 F2 R 因为||PA|-|PF1||≤|AF1|= 26 , ? 所以 8- 26 ≤|PA|+|PF2|≤8+ 26
y P

l
M
A

? ? F1 o F2

x 4

?

当 P 为 S 点时,|PA|+|PF2|的最小值为 8- 26 当 P 为 R 点时,|PA|+|PF2|的最大值为 8+ 26 1 (2)易求得椭圆的离心率为 e= ,右准线 l 方程为 x=8 2 1 过 P 作 l 的垂线交 l 于 M 点, 则|PM|= |PF2|=2|PF2|,所以|PA|+2|PF2|=|PA|+|PM|, e 当 A、P、M 三点共线且垂直于 l 时,|PA|+|PM|最小,且最小值就是点 A 到直线 l 的距离。易求得 A 到直线的距离为 5,所以|PA|+2|PF2|的最小值为 5,此时点 P 2 2 的纵坐标为 1,将 y=1 代入椭圆方程得 x= 33 ,所以点 P 的坐标为( 33 ,1). 3 3 (四)巧用定义求轨迹 例6.F1、F2为椭圆两个焦点,Q为椭圆上任一点,以任一焦点作∠F1QF2的外角平 分线的垂线,垂足为P,则P点轨迹为( ). A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 分析:延长F2P交F1Q的延长线为M,由椭圆定义及角平分线, ?| F1Q | ? | F2 Q |? 2h ∵ ? ∴ |F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方 ?| F2 Q |?| MQ | 2 程为 ( x0 ? c) 2 ? y 0 ? 4a 2 ......① 设P点坐标(x, y), ∵ P为F2M中点,
c ? x0 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? c ? ∴ ? , 代 入 ① , 得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a2, ∴ ? ? y0 ? 2 y ? y ? 0 ? y0 ? 2 ? 2 2 2 x +y =a , 选A. 例 7.某检验员通常用一个直径为 2 cm 和一个直径为 1 cm 的标准圆柱,检 测一个直径为 3 cm 的圆柱,为保证质量,有人建议再插入两个合适的同号标准 圆柱,问这两个标准圆柱的直径为多少? 命题意图:本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程,及将实际问题转化为数 学问题的能力. 知识依托:圆锥曲线的定义,求两曲线的交点. 错解分析: 正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答 此题的关键. 技巧与方法:研究所给圆柱的截面,建立恰当的坐标系,找到动圆圆心的轨 迹方程. 解:设直径为 3,2,1 的三圆圆心分别为 O、A、B,问题转 化为求两等圆 P、Q,使它们与⊙O 相内切,与⊙A、⊙B 相外 切. 建立如图所示的坐标系,并设⊙P 的半径为 r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5-r=2.5 ∴点 P 在以 A、O 为焦点,长轴长 2.5 的椭圆上,其方程 为
1 16( x ? ) 2 2 4 ? 2 y =1 25 3



5

同理 P 也在以 O、B 为焦点,长轴长为 2 的椭圆上,其方程为 (x- )2+ y2=1 由①、②可解得 P(
1 2 4 3


3 9 12 3 9 12 9 12 , ), Q( ,? ) ,∴r= ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 14 14 7 14 14 14 14

故所求圆柱的直径为

6 cm. 7

(五)巧用定义求相关量的范围 例 8.椭圆
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2 。点 P 为其上的动点,当 ?F1 PF2 为钝角 9 4

时。点 P 横坐标的取值范围为多少? (2000 年全国高考试题) 分 析 : 方 法 一 , 由 余 弦 定 理 :
y P x

| PF1 | 2 ? | PF2 | 2 ? | F1 F2 | 2 c o ?F1 PF2 ? s ?0 2 | PF1 | ? | PF2 |

F1

F1









定 得, 义 得
9 5



| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 6 | PF1 | ? | PF2 |

>8








e(


9 5




9





? x ) ? e( x ?

5

) ? 8 ? x2 ?

?

?3 3 ?x? 5 5

方 法 二 先 考 虑 PF1 ? PF2 时 , | PF1 |2 ? | PF2 |2 =20 , 又 由 椭 圆 定 义
| PF1 | ? | PF2 |? 6

?| PF1 | ? | PF2 |? 8 ?| y p | ?2e ? 8 ?| y p |?

4 5

?| x p |?

3 5

?

?3 3 ?x? 5 5

●点击双基 1.已知 F1、F2 是椭圆
x2 y2 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线与椭圆交于 M、N 16 9

两点,则△MNF2 的周长为 A.8 B.16 解析:利用椭圆的定义易知 B 正确. 答案:B

C.25

D.32

6

2.已知椭圆
9 5

x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、 16 9

F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为 A. B.3 C.
9 7 7

D.

9 4

解析:由余弦定理判断∠P<90°,只能∠PF1F2 或∠PF2F1 为直角.由 a=4, b=3 得 c= 7 , ∴|yP|= . 答案:D
3.(2003 年春季北京)椭圆

9 4

x=4+5cos ? , ? 为参数)的焦点坐标 ( y=3sin ?


A.(0,0)(0,-8) , C.(0,0)(0,8) , 解析:消参数 ? 得椭圆
( x ? 4) 2 y 2 + =1, 25 9

B.(0,0)(-8,0) , D.(0,0)(8,0) ,

∴c=4. 易得焦点(0,0)(8,0). , 答案:D 4.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ____________. 解析:椭圆方程化为
x2 y2 + =1. 2 2 k

焦点在 y 轴上,则 又 k>0,∴0<k<1. 答案:0<k<1 5.点 P 在椭圆

2 >2,即 k<1. k

x2 y2 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍, 25 9

则点 P 的横坐标是____________. 解析:利用第二定义. 答案:
25 12

●典例剖析 【例 1】 已知 F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率. 剖析:求椭圆的离心率,即求
c ,只需求 a、c 的值或 a、c 用同一个量表示. a

本题没有具体数值,因此只需把 a、c 用同一量表示,由 PF1⊥F1A,PO∥AB 易 得 b=c,a= 2 b.
7

解:设椭圆方程为

x2 y2 + 2 =1(a>b>0) 1(-c,0) 2=a2-b2, ,F ,c 2 a b

则 P(-c,b 1 ?

c2 b2 ) ,即 P(-c, ). a a2

∵AB∥PO,∴kAB=kOP, 即-
b ? b2 = .∴b=c. ac a

又∵a= b 2 ? c 2 = 2 b, ∴e=
2 c b = = . 2 a 2b

评述: 由题意准确画出图形,利用椭圆方程及直线平行与垂直的性质是解决 本题的关键. 【例 2】 若椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y=1 交于 A、B 两点,M 为 AB 的中点, 直线 OM(O 为原点)的斜率为
2 ,且 OA⊥OB,求椭圆的方程. 2

剖析:欲求椭圆方程,需求 a、b,为此需要得到关于 a、b 的两个方程,由 OM 的斜率为
2 .OA⊥OB,易得 a、b 的两个方程. 2 x ? x2 y ? y2 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M( 1 , 1 ). 2 2



x+y=1, ∴(a+b)x2-2bx+b-1=0. ax2+by2=1,

x1 ? x 2 y ? y2 x ? x2 b a = , 1 =1- 1 = . 2 a?b 2 2 a?b b a ∴M( , ). a?b a?b 2 ∵kOM= ,∴b= 2 a. 2



① ∵OA⊥OB,∴ ∴x1x2+y1y2=0. ∵x1x2=
b ?1 ,y1y2=(1-x1) (1-x2) , a?b
y y1 ? 2 =-1. x2 x1

∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2 =1-
2b b ?1 a ?1 + = . a?b a?b a?b

8



b ?1 a ?1 + =0. a?b a?b

∴a+b=2. ② 由①②得 a=2( 2 -1) ,b=2 2 ( 2 -1). ∴所求方程为 2( 2 -1)x2+2 2 ( 2 -1)y2=1. 评述:直线与椭圆相交的问题,通常采取设而不求,即设出 A(x1,y1) ,B (x2,y2) ,但不是真的求出 x1、y1、x2、y2,而是借助于一元二次方程根与系数 的关系来解决问题.由 OA⊥OB 得 x1x2+y1y2=0 是解决本题的关键. 夯实基础 1.椭圆
x2 +y2=1 的两个焦点为 F1、F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相 4

交,一个交点为 P,则| PF2 |等于
3 2

A.

B.

3

C.

7 2

D.4

解法一: (如下图)设椭圆的右焦点为 F1,左焦点为 F2,过 F1 垂直于 x 轴 的直线与椭圆在第一象限的交点为 P.
y P F2 O F1 x



x2 +y2=1,∴a=2,b=1,c= 3 . 4 x2 1 +y2=1,得 yP= , 4 2

∴F1( 3 ,0).设 P( 3 ,yP)代入 ∴P( 3 , ) ,|PF1|= . 又∵|PF2|+|PF1|=2a=4, ∴|PF2|=4-|PF1|=4- = . 解法二:椭圆的左准线方程为 x=- ∵
| PF2 | | 3 ? (? 4 3 )| 3

1 2

1 2

1 2

7 2

a2 4 3 =- . c 3

=e=

7 3 ,∴|PF2|= . 2 2

解法三:由解法一得 P( 3 , ) , 又 F2(- 3 ,0) ,

1 2

9

∴|PF2|= [ 3 ? (? 3 )]2 ? ( ? 0) 2 = . 答案:C 2.设 F1、F2 为椭圆的两个焦点,以 F2 为圆心作圆 F2,已知圆 F2 经过椭圆的 中心,且与椭圆相交于 M 点,若直线 MF1 恰与圆 F2 相切,则该椭圆的离心率 e 为 A.
3 -1

1 2

7 2

B.2- 3

C.

2 2

D.

3 2

2 解析: 易知圆 F2 的半径为 c, (2a-c) +c2=4c2, (

c 2 c c ) +2 ( ) -2=0, = 3 a a a

-1.答案:A
x2 y2 + =1 的离心率是____________,准线方程是____________. 25 9 4 25 52 解析:由椭圆方程可得 a=5,b=3,c=4,e= ,准线方程为 x=± =± . 4 5 4 4 25 答案: x=± 5 4

3.椭圆

4.已知 P 是椭圆

y2 x2 + 2 =1(a>b>0)上任意一点,P 与两焦点连线互相 a2 b

垂直,且 P 到两准线距离分别为 6、12,则椭圆方程为____________. 解析:利用椭圆的两个定义结合勾股定理来求. 答案:
y2 x2 + =1 45 20

5.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形, 焦点到椭圆上的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程. 解:由题设条件可知 a=2c,b= 3 c,又 a-c= 3 ,解得 a2=12,b2=9.∴所 求椭圆的方程是
x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1. 12 9 9 12 x2 y2 6.直线 l 过点 M(1,1) ,与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点,若 AB 的中 4 3

点为 M,试求直线 l 的方程. 解:设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 则
2 x2

x12 y12 + =1, 4 3


4

+

2 y2 =1. 3

② ①-②,得

10

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) + =0. 4 3



y1 ? y 2 x ? x2 3 =- ? 1 . x1 ? x 2 y1 ? y 2 4

又∵M 为 AB 中点, ∴x1+x2=2,y1+y2=2. ∴直线 l 的斜率为- . ∴直线 l 的方程为 y-1=- (x-1) , 即 3x+4y-7=0. 7.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与椭圆相交 于点 P 和点 Q,且 OP⊥OQ,|PQ|=
10 ,求椭圆方程. 2

3 4

3 4

解:设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0) , 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,解方程组 y=x+1, mx2+ny2=1. 消去 y,整理得(m+n)x2+2nx+n-1=0. Δ =4n2-4(m+n) (n-1)>0,即 m+n-mn>0,OP⊥OQ ? x1x2+y1y2=0, 即 x1x2+(x1+1) 2+1)=0,2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴ (x ∴ ① 由弦长公式得 2? ②
1 3 m= , 2 2 解①②得 或 3 1 n= n= . 2 2 2 y2 x 3 3 ∴椭圆方程为 + y2=1 或 x2+ =1. 2 2 2 2
4(m ? n ? mn) ( m ? n)
2

2(n ? 1) 2n - +1=0. m?n m?n

m+n=2.
3 10 2 ) ,将 m+n=2 代入,得 m?n= . 2 4

=(

m= ,

8.设 x、y∈R,i、j 为直角坐标平面内 x、y 轴正方向上的单位向量,若向量 a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8. (1)求点 M(x,y)的轨迹 C 的方程. (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP = OA + OB ,是 否存在这样的直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,试说明理由. (1)解法一:∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j,且|a|+|b|=8,
11

∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0,-2) 2(0,2)的距离之和为 8. ,F ∴轨迹 C 为以 F1、F2 为焦点的椭圆,方程为
x2 y2 + =1. 12 16

解法二:由题知, x 2 ? ( y ? 2) 2 + x 2 ? ( y ? 2) 2 =8, 移项,得 x 2 ? ( y ? 2) 2 =8- x 2 ? ( y ? 2) 2 , 两边平方,得 x2+(y+2)2=x2+(y-2)2-16 x 2 ? ( y ? 2) 2 +64, 整理,得 2 x 2 ? ( y ? 2) 2 =8-y, 两边平方,得 4[x2+(y-2)2]=(8-y)2, 展开,整理得
x2 y2 + =1. 12 16

(2)∵l 过 y 轴上的点(0,3) , 若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点. ∵ OP = OA + OB =0, ∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾. ∴直线 l 的斜率存在.设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , y=kx+3,
由 消 y 得(4+3k2)x2+18kx-21=0.此时,Δ =(18k2)-4(4+3k2) x2 y2 + =1, 12 16 18k 21

(-21)>0 恒成立,且 x1+x2=-

4 ? 3k 2

,x1x2=-

4 ? 3k 2

.

∵ OP = OA + OB ,∴四边形 OAPB 是平行四边形.若存在直线 l,使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,即 OA ? OB =0. ∵ OA =(x1,y1) OB =(x2,y2) , , ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=0, 即(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0, 即(1+k2)(- ?
21 18k 5 5 )+3k? (- )+9=0,即 k2= ,得 k=± . 2 2 4 16 4 ? 3k 4 ? 3k
5 x+3,使得四边形 OAPB 是矩形. 4

∴存在直线 l:y=±

12



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