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一元二次不等式及其解法



判别式?=b 2 ? 4ac

??0
y x1 o x2 x

??0
y o x0 x

??0
y

二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0)的图象
一元二次方程 ax 2 ? bx ? c=0 的根

o

/>
x

有相异实根

有相同实根 b 没有实数根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? ? 2a
2 1

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R
Φ

?x x

1

? x ? x2 ?

Φ

例 1:解一元二次不等式

x ? 5x ? 0
2

∴ x2 ? 5x ? 0 的解集为 ? x 0 ? x ? 5?
作出二次函数

y ? x2 ? 5x 的图象

我们可以通过一元二次不 等式对应的二次函数的图 像来解不等式

例2:解不等式2x2-3x-2>0 解: 2x2-3x-2>0? ?x ? 2??2 x ? 1? ? 0 方程2x2-3x-2=0的解是 x1=-1/2 ; x2=2 所以原不等式的解集为{x|x<-1/2或x>2} 例3:解不等式-3x2+6x>2 解: 整理,得 3x2-6x+2<0 因为△=(-6)2-4*3*2=12>0

方程3x2-6x+2=0的解是

3 3 x1 ? 1 ? , x2 ? 1 ? 3 3 3 3 所以原不等式的解集为 {x | 1 ? ? x ? 1 ? } 3 3

例4:解不等式4x2-4x+1>0 解:4x2-4x+1>0

? (2x - 1 )? 0
2
-5

8

6

4

方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2 所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}

2

-2

1 2

5

例5:解不等式- x2+2x-3>0
解:整理,得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根 所以原不等式的解集为ф
-5 8 6

4

2

5

-2

1 1 例 6.若不等式 ax +bx+2>0 的解集为{x|- <x< }, 2 3
2

则 a+b 的值为( A.-14 C.-16

A)
B.-15 D.-17

1 1 解析:由题设知- 和 是方程 ax2+bx+2=0 的两根, 2 3

?-b=-1+1 ? a 2 3 可得? ?2=-1×1 2 3 ?a

? ?a=-12 解得? . ? ?b=-2

∴a+b=-14.

解一元二次不等式的一般步骤:

1、先将二次项系数化为正数;
2、解对应的一元二次方程(注意 计算判别式或因式分解)

3、结合二次函数的图像或不等号 方向,写出不等式的解集。。

课堂练习
1.解下列不等式 (1)3x2-7x+2<0
(2)–(2x-1)(3x+2)?0 答案:﹛x|1/3<x<2﹜ {x|x? -2/3或x ?1/2 }
?1 ? 17 ?1 ? 17 {x | ?x? } 8 8

(3)

1-x-4x2>0

(4)4x2+4x+1<0 (5)x2-3x+5>0

?
R

2. x是什么实数时,函数y=x2-4x+1的值 (1) 等于0? (2) 是正数? (3) 是负数?
解:1)函数值等于0,即x2-4x+1=0,解得:

x1 ? 2 ? 3, x2 ? 2 ? 3
即,当 x1 ? 2 ? 3, x2 ? 2 ? 3 时,原函数的值等于0。 2)函数值是正数,即x2-4x+1>0,解得:

{x | x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3}

,即,当

x ? 2 ? 3或x ? 2 ? 3

时,原函数的值是正数。

3)函数值是负数,即x2-4x+1<0,解得:

{x | 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3}

,即,当

2 ? 3 ? x ? 2 ? 3 时,原函数的值是负数。

例1:解不等式

x ?3 ? 0 思考( x ? 3)( x ? 7) ? 0的解集 x?7

解: 这个不等式的解集是不等式组

的解集的并集,由

{

x?7?0 x ?3 ? 0



{

x?7 ?0 x ?3? 0
x?7 ?0 x ?3? 3

{ x|

x?7 ?0 x ?3? 3

}?

{x | ?7 ? x ? 3}

{ ,x |

}? ?

得原不等式的解集是

{x | ?7 ? x ? 3} ? ? ? {x | ?7 ? x ? 3}

练习 1:解下列不等式:
x?2 ?0 ⑴ 2x ? 5
? 5? ? x ?2 ? x ? ? 2? ?

3x ? 2 ≥0 ⑵ x ?1

? 2? ? x x ? ?1 或 x ≥ ? 3? ?
x ≥0 ⑷ 2x ?1

2? x ?0 ⑶ x?3

?x x ? ?3 或

x ? 2?

? 1 ? ? x x ? ? 或 x ≥ 0? 2 ? ?

3 例2:解不等式 ?1 x
解分式不等式的步骤: 1.移项; 2.通分; 3.化为整式不等式; 4. 解整式不等式;

练习 2:解下列不等式:



x?3 ?2 x ?1

5x ? 1 ?3 ⑵ x ?1

{x 1 ? x ? 5}

{x - 1 ? x ? 1}



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