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高考数学一轮复习-同角三角关系、诱导公式



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姓名 学科 课题名称 数学

学生姓名 年级 高三 课时计划

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同角三角函数关系、诱导公式 同步教学知识内容

教学目标 个性化学习问

题解决 教学重点 教学难点 教师活动

同角三角函数的基本关系与诱导公式
【2016 年高考会这样考】 1.考查同角三角函数的基本关系式. 2.考查诱导公式在三角函数化简求值中的运用. 【复习指导】 本讲复习时应紧扣三角函数的定义,理解记忆同角三角函数的基本关系式和诱导公式;特 别是对诱导公式的记忆口诀要理解透彻,可通过适量训练加强理解,掌握其规律.

基础梳理 1.同角三角函数的基本关系
教学过程

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1; sin α (2)商数关系:cos α=tan α. 2.诱导公式 公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos_α,其中 k∈Z. 公式二:sin(π+α)=-sin_α,cos(π+α)=-cos_α, tan(π+α)=tan α. 公式三:sin(-α)=-sin_α,cos(-α)=cos_α. 公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos_α. ?π ? ?π ? 公式五:sin?2-α?=cos_α,cos?2-α?=sin α. ? ? ? ? ?π ? ?π ? 公式六:sin?2+α?=cos_α,cos?2+α?=-sin_α. ? ? ? ?
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π 诱导公式可概括为 k· α 的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看 2± π 象限.其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数 倍,则函数名称变为相应的余名函数;若是偶数倍,则函数名称不变,符号看象限是指把 α 看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号.

一个口诀 诱导公式的记忆口诀为:奇变偶不变,符号看象限. 三种方法 在求值与化简时,常用方法有: sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α=cos α化成正、余弦. (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan4=?. 三个防范 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步 骤:去负-脱周-化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)已知 sin(π+α)=2,则 cos α 的值为( 1 A.± 2 3 C. 2 1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α=2, 1 3 ∴sin α=-2.∴cos α=± 1-sin2α=± 2 . 答案 D 1 B.2 3 D.± 2 ).

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2.(2012· 杭州调研)点 A(sin 2 011° ,cos 2 011° )在直角坐标平面上位于( A.第一象限 C.第三象限 解析 2 011° =360° ×5+(180° +31° ), ∴sin 2 011° =sin[360° ×5+(180° +31° )]=-sin 31° <0, cos 2 011° =cos[360° ×5+(180° +31° )]=-cos 31° <0, ∴点 A 位于第三象限. 答案 C 4 3.已知 cos α=5,α∈(0,π),则 tan α 的值等于( 4 A.3 3 B.4 4 C.± 3 3 D.± 4 ). B.第二象限 D.第四象限

).

3 sin α 3 解析 ∵α∈(0,π),∴sin α= 1-cos2α=5,∴tan α=cos α=4. 答案 B ? 17π? ? 17π? 4.cos?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是( ? ? ? ? A. 2 解析 B.- 2 2 C.0 D. 2 ).

π? π? 17π π 2 17π ? 17π? ? ? 17π? ? cos?- 4 ?=cos 4 =cos?4π+4?=cos4= 2 ,sin?- 4 ?=-sin 4 =-sin?4π+4? ? ? ? ? ? ? ? ?

π 2 2 2 ? 17π? ? 17π? =-sin4=- 2 .∴cos?- 4 ?-sin?- 4 ?= 2 + 2 = 2. ? ? ? ? 答案 A 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=-2,则 cos α=________. sin α 1 2 5 解析 由题意知 cos α<0,又 sin2α+cos2α=1,tan α=cos α=-2.∴cos α=- 5 . 2 5 答案 - 5

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考向一 【例 1】?已知 f(α)=

利用诱导公式化简、求值

sin?π-α?cos?2π-α? ?31π? ,求 f? 3 ?. π ? ? ? ? sin?2+α?tan?π+α? ? ?

[审题视点] 先化简 f(α),再代入求解. sin αcos α 解 f(α)=cos αtan α=cos α, π? 31 π 1 ?31π? ? ∴f? 3 ?=cos 3 π=cos?10π+3?=cos 3=2. ? ? ? ? (1)化简是一种不指定答案的恒等变形,其结果要求项数尽可能少,次数尽可能 低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. (2)诱导公式的应用原则:负化正、大化小,化到锐角为终了. ?π ? cos?2+α?sin?-π-α? ? ? 【训练 1】 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. ?11π ? ?9π ? cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ? 解析 原式= 3 答案 -4 考向二 同角三角函数关系的应用 ?-sin α?sin α y 3 =tan α,根据三角函数的定义,得 tan α=x=-4. ?-sin α?cos α

【例 2】?(2011· 长沙调研)已知 tan α=2. 求:(1) 2sin α-3cos α ; 4sin α-9cos α

(2)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.

[审题视点] (1)同除 cos α; (2)利用 1=sin2α+cos2α,把整式变为分式,再同除 cos2α. 解 (1)
2

2sin α-3cos α 2tan α-3 2×2-3 = = =-1. 4sin α-9cos α 4tan α-9 4×2-9
2

4sin2α-3sin αcos α-5cos2α (2)4sin α-3sin αcos α-5cos α= sin2α+cos2α

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4tan2α-3tan α-5 4×4-3×2-5 = = =1. tan2α+1 4+1 (1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式子的 值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α;(2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子.

【训练 2】 已知

sin α+3cos α =5.则 sin2α-sin αcos α=________. 3cos α-sin α tan α+3 =5,∴tan α=2. 3-tan α

解析 依题意得:
2

sin2α-sin αcos α ∴sin α-sin αcos α= sin2α+cos2α tan2α-tan α 22-2 2 = = 2 =5. tan2α+1 2 +1 2 答案 5 考向三 三角形中的诱导公式

【例 3】?在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内 角. [审题视点] 要求三角形的内角,需求得某一内角的某一三角函数值,故结合条件 sin A+ cos A= 2知先求角 A,进而求其他角. 解 由已知可得 π? ? 2sin?A+4?= 2, ? ?

π 因为 0<A<π,所以 A=4. π 3 π 由已知可得 3cos A= 2cos B,把 A=4代入可得 cos B= 2 ,又 0<B<π,从而 B=6,所 π π 7π 以 C=π-4-6=12. 在△ABC 中常用到以下结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B) C C ?A B? ?A B? =-tan C,sin? 2 + 2 ?=cos 2 ,cos? 2 + 2 ?=sin 2 . ? ? ? ?

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【训练 3】 若将例 3 的已知条件“sin A+cos A= 2”改为“sin(2π-A)=- 2sin(π-B)” 其余条件不变,求△ABC 的三个内角. 解 由条件得:-sin A=- 2sin B,即 sin A= 2sin B,

3cos A= 2cos B,平方相加得: 2 sin2 A+3cos2 A=2?2cos2 A=1,cos A=± 2 . 2 3 2 3 若 cos A=- 2 ,则 cos B=- 2 ,A,B 均为钝角不可能.故 cos A= 2 ,cos B= 2 ,故 π π 7π A=4,B=6,C=12.

阅卷报告 3——忽视题设的隐含条件致误 【问题诊断】 涉及到角的终边、函数符号和同角函数关系问题时,应深挖隐含条件,处 理好开方、平方关系,避免出现增解与漏解的错误., 【防范措施】 一要考虑题设中的角的范围;二要考虑题设中的隐含条件 【示例】?若 sin θ,cos θ 是关于 x 的方程 5x2-x+a=0(a 是常数)的两根,θ∈(0,π),求 cos 2θ 的值. 7 错因 忽视隐含条件,产生了增解25. 1 实录 由题意知,sin θ+cos θ=5, 1 24 ∴(sin θ+cos θ)2=25, ∴sin 2θ=-25, ∵θ∈(0, π), ∴2θ∈(0,2π), ∴cos 2θ=± 1-2sin2 2θ 7 =± 25. 1 正解 由题意知,sin θ+cos θ=5. 1 ∴(sin θ+cos θ)2=25. 24 ∴sin 2θ=-25. 24 即 2sin θcos θ=-25<0,
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则 sin θ 与 cos θ 异号, 1 又 sin θ+cos θ=5>0, π 3π 3π ∴2<θ< 4 ,∴π<2θ< 2 . 7 故 cos 2θ=- 1-sin22θ=-25. 7 【试一试】 已知 sin θ+cos θ=13,θ∈(0,π),求 tan θ. [尝试解答] 7 ∵sin θ+cos θ=13,θ∈(0,π).

49 ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=169. 60 ∴sin θcos θ=-169. 7 60 12 5 由根与系数的关系知 sin θ,cos θ 是方程 x2-13x-169=0 的两根,∴x1=13,x2=-13, 60 又 sin θcos θ=-169<0,∴sin θ>0,cos θ<0, 12 5 ∴sin θ=13,cos θ=-13. sin θ 12 ∴tan θ=cos θ=- 5 .
课堂练习:

1、若 A、B、C 为△ABC 的三个内角,则下列等式成立的是( ) A、 sin(B ? C ) ? sin A C、 tan(B ? C ) ? tan A B、 cos(B ? C ) ? cos A D、 cot(B ? C ) ? cot A

2 、 设 函 数 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 ( 其 中 a、b、?、? 为 非 零 实 数 ) ,若

f (2001 ) ? 5 ,则 f (2002) 的值是( )
A、5 B、3 C、8 D、不能确定

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3、化简:

sin 2 (? ? ? ) ? cos(? ? ? ) . tan( ? ? ? ) ? cos3 (?? ? ? ) tan(?? ? 2? )

4、求证: (1) sin 4 ? ? cos4 ? ? sin 2 ? ? cos2 ?

(2) sin 4 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1

同角三角函数及三角函数的诱导公式
一、填空题 1.(2010· 全国Ⅰ)cos 300° =________. 课后作业 2sin α-cos α 2.(2009· 陕西)若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 3 3.(2010· 无锡诊断)已知 α∈(0,π),cos(π+α)= ,则 sin α=________. 5 1 π 4.(2010· 泰州调研)已知 tan α=- , <α<π,则 sin α=________. 2 2 π? π 5.(2011 届苏州月考)已知 2tan α· sin α=3,- <α<0,则 cos? ?α-6?的值是________. 2

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3π 8 π, ?,则 tan α=________. 6.(2010· 南京模拟)已知 cos(π-α)= ,α∈? 2? ? 17 1 π π 7.已知 sin α· cos α= ,且 <α< ,则 cos α-sin α 的值是________. 8 4 2 π? 7 8.设 α∈? ?0,4?,sin α+cos α=5,则 tan α=________. 5π ? 1 π ?π ? 9.(2010· 盐城模拟)已知 cos? ?12+α?=3,且-π<α<-2,则 cos?12-α?等于________. 1 10.(14 分)已知 sin(3π+θ)= , 3 求 cos?π+θ? cos?θ-2π? + 的值. 3π 3π ? cos θ [cos?π-θ?-1] ? ? ? sin?θ- 2 ?cos?θ-π?-sin? 2 +θ?

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答案 1 1. 2 15 6. 8 10.解 3 2. 4 7.- 3 2 4 3. 5 3 8. 4 4. 5 5 5.0 2 2 9.- 3

1 1 ∵sin(3π+θ)=-sin θ= ,∴sin θ=- , 3 3 cos?2π-θ? 3 π ? -sin? ? 2 -θ?cos?π-θ?+cos θ

-cos θ ∴原式= + cos θ?-cos θ-1?

= =

1 cos θ 1 1 2 + = + = 2 1+cos θ -cos θ+cos θ 1+cos θ 1-cos θ 1-cos2θ 2 2 =18. 2 = sin θ ? 1?2 - ? 3?

本 节 课 教 学 计 划 完 成 情 况 : 照 常 完 成 □ _____________________________ 学 生 的 接 受 程 度 : 完 全 能 接 受 □ ________________________________ 学 生 的 课 堂 表 现 : 很 积 极 □ ________________________________ 课后记

提 前 完 成 □

延 后 完 成 □ 不 能 接 受 □ 不 积 极 □

部 分 能 接 受 □ 一 般 □

比 较 积 极 □

学生上次作业完成情况:数量____% 完成质量____分

存在问题 ______________________________

配合需求:家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________

注 备
提交时间 教研组长审批 家长签名

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