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广东省梅州市兴宁一中2015届高三上学期期末数学试卷(文科)



广东省梅州市兴宁一中 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=() A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2}

2. (5 分)若复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.﹣1 或 1 3. (5 分)已知非零向量 、 满足向量 + 与向量 ﹣ 的夹角为 立的是() A.| |=| | B. = C. ⊥ D. ∥ ,那么下列结论中一定成
2

4. (5 分)a=1 是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的()条件. A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分又不必要 5. (5 分)已知 A(2,4) ,B(1,1) ,C(4,2) .给出平面区域为三角形 ABC 的内部及其 边界,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 值等于()

A.

B. 6

C. 3

D.1

6. (5 分)设 b,c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题正确的是() A.若 b?α,c∥α,则 c∥b B. 若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β C. 若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β D.若 b?α,b∥c,则 c∥α

7. (5 分)已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x+ A. 或 B. C.

=1 的离心率为() D. 或

8. (5 分)将函数 y=sin(x+ 把所得图象向右平移

)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再

个单位后得到函数 y=f(x)的图象,则函数 y=f(x)的图象() B. 关于点( ,0)对称

A.关于点(0,0)对称 C. 关于直线 x= 对称

D.关于直线 x=π 对称
﹣x

9. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1﹣2 ,则不等式 f (x)<﹣ 的解集是() A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,﹣1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) , ,

10. (5 分) 已知各项均不为零的数列{an}, 定义向量 n∈N .下列命题中真命题是() A.若?n∈N 总有 B. 若?n∈N 总有 C. 若?n∈N 总有 D.若?n∈N 总有
* * * * *

∥ ∥ ⊥ ⊥

成立,则数列{an}是等差数列 成立,则数列{an}是等比数列 成立,则数列{an}是等差数列 成立,则数列{an}是等比数列

二. 填空题 (本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题) 11. (5 分)函数 的定义域为.

12. (5 分)一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正(主)视图是直角三角形,侧 2 (左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表现积是 cm .

13. (5 分)曲线

在点(3,2)处的切线的方程为.

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ+k=0,其 中 k 为正数.以极点为坐标原点,极轴为 x 正半轴,建立平面直角坐标系,在此坐标系下, 曲线 C2 的方程为 k=. (α 为参数) .若曲线 C1 与曲线 C2 相切,则

(几何证明选讲选做题) 15.如图,⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C, 连接 AC,若∠CPA=30°,PC=cm.

三.解答题(本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos
2

+

sinx.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 α 为第二象限角,且 f(α+ )=﹣ ,求 的值.

17. (12 分)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校 中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽取的 2 所学校均为小 学的概率. 18. (14 分) 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, PA=AB=2, BC=4. E 是 PD 的中点, (Ⅰ)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AC﹣D 的余弦值; (Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值.

19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明:数列

.数列{bn}满足 b1=2,bn+1﹣2bn=8an.

为等差数列,并求{bn}的通项公式;

(Ⅲ) 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 是否存在常数 λ, 使得不等式 (n∈N )恒成立?若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由.
*

20. (14 分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上椭圆 Ω 的方程

+

=1(a>b>0) ,它

的离心率为 ,一个焦点是(﹣1,0) ,过直线 x=4 上一点 M 引椭圆 Ω 的两条切线,切点分别 为 A、B. (1)求椭圆的方程; (2)若在椭圆 Ω: + =1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程是 + =1,求

证:直线 AB 恒过定点 C(1,0) ; (3)是否存在实数 λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|?|BC|恒成立?(点 C 位直线 AB 恒过的定点)若 存在,求出 λ 的值,若不存在,请说明理由. 21. (14 分)设函数 f(x)=x +bln(x+1) . (1)若 x=1 时,函数 f(x)取最小值,求实数 b 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; (3)若 b=﹣1,证明对任意正整数 n,不等式 f( )<1+ + +…+ 都成立.
2

广东省梅州市兴宁一中 2015 届高三上学期期末数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) . 1. (5 分)设集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q=() A.{3,0} B.{3,0,1} C.{3,0,2} D.{3,0,1,2} 考点: 专题: 分析: 解答: 并集及其运算. 计算题. 根据集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 log2a=0,b=0,从而求得 P∪Q. 解:∵P∩Q={0},

∴log2a=0 ∴a=1 从而 b=0,P∪Q={3,0,1}, 故选 B. 点评: 此题是个基础题.考查集合的交集和并集及其运算,注意集合元素的互异性,以及 对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用. 2. (5 分)若复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为() A.﹣1 B. 0 C. 1 D.﹣1 或 1 考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数,复数的实部为 0,虚部不等于 0,求解即可. 2 解答: 解:由复数 z=(x ﹣1)+(x﹣1)i 为纯虚数, 可得 x=﹣1 故选 A. 点评: 本题考查复数的基本概念,考查计算能力,是基础题.
2 2

3. (5 分)已知非零向量 、 满足向量 + 与向量 ﹣ 的夹角为 立的是() A.| |=| | B. = C. ⊥

,那么下列结论中一定成

D. ∥

考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 由向量 + 与向量 ,即 解答: 解:∵向量 所以 即 ∴ 即 , , 与向量 , ,

的夹角为 .

,知

,故

的夹角为



故选 A. 点评: 本题考查两个平面向量垂直的条件的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答. 4. (5 分)a=1 是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的()条件. A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分又不必要 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 规律型. 根据直线平行的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解:当 a=1 时,两直线方程分别为:x+2y﹣1=0 和 x+2y+4=0,满足直线平行. ,

若两直线平行,则

即 a(a+1)=2, 2 ∴a +a﹣2=0,解得 a=1 或 a=﹣2.满足条件, ∴a=1 是“直线 l1:ax+2y﹣1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必要条件. 故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用直线平行的等价关系是解决本题的 关键. 5. (5 分)已知 A(2,4) ,B(1,1) ,C(4,2) .给出平面区域为三角形 ABC 的内部及其 边界,若使目标函数 z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个,则 a 值等于()

A.

B. 6

C. 3

D.1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解 即可. 解答: 解:由 z=ax+y(a>0)得 y=﹣ax+z(a>0) 直线 y=﹣ax+z(a>0)是斜率为﹣a,y 轴上的截距为 z 的直线, 从题图可以看出,当﹣a 等于直线 AC 的斜率时, 目标函数取得最大值的最优解有无穷多个,线段 AC 上的所有点都是最优解. 则﹣a=kAC= ∴a=1, 故选:D. =﹣1,

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键. 6. (5 分)设 b,c 表示两条直线,α,β 表示两个平面,则下列命题正确的是() A.若 b?α,c∥α,则 c∥b B. 若 c∥α,c⊥β,则 α⊥β C. 若 c∥α,α⊥β,则 c⊥β D.若 b?α,b∥c,则 c∥α 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析选项,选择正确答案. 解答: 解:对于 A,若 b?α,c∥α,直线 c,b 可能平行或者异面;故 A 错误; 对于 B,若 c∥α,c⊥β,根据线面平行、线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以得 到 α⊥β;故 B 正确; 对于 C,若 c∥α,α⊥β,则 c 与 β 可能平行;故 C 错误; 对于 D,若 b?α,b∥c,则 c 可能在 α 内;故 D 错误; 故选 B. 点评: 本题考查了空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用;熟练掌握定理 满足的条件是关键.

7. (5 分)已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x+

=1 的离心率为()

A.



B.

C.

D.



考点: 椭圆的简单性质;等比数列的性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据等比中项的定义,求出 m 的值,再分类讨论,当 m=4 时,圆锥曲线为椭圆, 当 m=﹣4 时,圆锥曲线为双曲线,最后根据离心率的定义求出即可 解答: 解:∵m 是两个正数 2,8 的等比中项, 2 ∴m =2×8=16, 即 m=4 或 m=﹣4, 当 m=4 时,圆锥曲线 x+ ∴a=2,b=1,c= ∴e= = , , =1 为椭圆,

当 m=﹣4 时,圆锥曲线 x﹣ ∴a=1,b=2,c= ∴e= = , ,

=1 为双曲线,

故选:D 点评: 本题主要考查了等比中项和圆锥曲线的离心率的问题,属于基础题

8. (5 分)将函数 y=sin(x+ 把所得图象向右平移

)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再

个单位后得到函数 y=f(x)的图象,则函数 y=f(x)的图象() B. 关于点( ,0)对称

A.关于点(0,0)对称 C. 关于直线 x= 对称

D.关于直线 x=π 对称

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数图象之间的关系进行判断即可. 解答: 解:将函数 y=sin(x+ 得到 y=sin(2x+ ) , 个单位后得到 y=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ ) , )图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,

再把所得图象向右平移

即 f(x)=sin(2x﹣ 则 f(0)=sin(﹣ f( f( )=sin(2× )=sin(2×

) , )=﹣ ,即函数关于(0,0)不对称, )=cos ≠0,即关于点( ,0)不对称,

﹣ ﹣

)=sin( )=sin

=1,即关于直线 x=

对称,故 C 正确,

故选:C. 点评: 根据三角函数图象之间的关系求出函数的解析式,利用三角函数的对称性进行判断 即可. 9. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1﹣2 ,则不等式 f (x)<﹣ 的解集是() A.(﹣∞,﹣1) B.(﹣∞,﹣1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)
﹣x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 解不等式:“f(x)<﹣ ”其中 f(x)是指定义在 R 上的函数,而题目中只给出了 x >0 的表达式,故先求出当 x<0 时,f(x)的解析式,后再可解此不等式. 解答: 解:当 x>0 时, 1﹣2 =1﹣
﹣x

>0 与题意不符,
x

当 x<0 时,﹣x>0,∴f(﹣x)=1﹣2 , 又∵f(x)为 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , x x ∴﹣f(x)=1﹣2 ,∴f(x)=2 ﹣1, ∴f(x)=2 ﹣1<﹣ ,∴2 < , ∴x<﹣1,∴不等式 f(x)<﹣ 的解集是(﹣∞,﹣1) . 故答案为 A. 点评: 本题的实质是已知奇函数的一半,求另一半的题型,必须充分注意利用奇函数的定 义 f(﹣x)=﹣f(x) . 10. (5 分) 已知各项均不为零的数列{an}, 定义向量 n∈N .下列命题中真命题是() A.若?n∈N 总有 B. 若?n∈N 总有
* * * x x





∥ ∥

成立,则数列{an}是等差数列 成立,则数列{an}是等比数列

C. 若?n∈N 总有 D.若?n∈N 总有
*

*

⊥ ⊥

成立,则数列{an}是等差数列 成立,则数列{an}是等比数列

考点: 等差关系的确定;平行向量与共线向量. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意根据向量平行、垂直的坐标表示可得 an,从而可进行判断. 解答: 解:由 可得,nan+1=(n+1)an,即 ,于是 ,

则 an=

?

?

?…

?a1=

?

?… ?a1=na1,数列{an}为等差数列,

故 A 正确,B 错误; 若 ⊥ ,则有 nan+(n+1)an+1=0,分析可得 ,

则 an=

?

?

?…

?a1,

分析易得此时数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列,C、D 均错误; 故选 A. 点评: 本题主要考查了向量平行的坐标表示,等差及等比数列的判断,属于基础试题. 二. 填空题 (本大题共 3 小题, 考生作答 4 小题, 每小题 5 分, 满分 15 分. (一) 必做题 (11~ 13 题) 11. (5 分)函数 的定义域为(﹣2,1)∪(1,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题. 分析: 要使函数 有意义,分数分母不等于 0 以及二次根式下大于等于

0,0 次幂的底数不能等于 0,则 x+2>0 且 x﹣1≠0,解不等式即可求出函数的定义域. 解答: 解:要使函数 有意义,x+2>0 且 x﹣1≠0,

故函数的定义域为 (﹣2,1)∪(1,+∞) 故答案为: (﹣2,1)∪(1,+∞) 点评: 本题考查求函数的定义域的方法,分数分母不等于 0 以及二次根式下大于等于 0,0 次幂的底数不能等于 0,是解题的关键.

12. (5 分)一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示,其中正(主)视图是直角三角形,侧 (左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的表现积是 cm .
2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由题意推知:几何体是放倒的半个圆锥,根据数据计算其表面积. 解答: 解:几何体是放倒的半个圆锥,底面半径是 1,高是 2 则这个几何体的表面积是 S= 故答案为: 点评: 本题考查三视图求面积,考查简单几何体的三视图的运用,空间想象能力和基本的 运算能力;是中档题. 13. (5 分)曲线 在点(3,2)处的切线的方程为 x+2y﹣7=0.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由题意求出导数:y′= 线的方程. 解答: 解:由题意可得:y′= , ,进而根据切点坐标求出切线的斜率,即可求出切

所以在点(3,2)处的切线斜率为﹣ , 所以在点(3,2)处的切线方程为:y=﹣ (x﹣3)+2. 即 x+2y﹣7=0 故答案为:x+2y﹣7=0. 点评: 此题考查学生熟练利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,能够根据一点坐标和 斜率写出直线的方程,是一道基础题. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (坐标系与参数方程选做题)

14. (5 分) (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ+k=0,其 中 k 为正数.以极点为坐标原点,极轴为 x 正半轴,建立平面直角坐标系,在此坐标系下, 曲线 C2 的方程为 k= . (α 为参数) .若曲线 C1 与曲线 C2 相切,则

考点: 简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 综合题. 2 2 分析: 曲线 C1 的普通方程是 x﹣y+k=0,曲线 C2 的普通方程为 x +y =1,曲线 C1 与曲线 C2 相切,知 ,再由 k 为正数,能求出 k.

解答: 解:∵曲线 C1 的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ+k=0, ∴曲线 C1 的普通方程是 x﹣y+k=0, ∵曲线 C2 的方程为
2 2

(α 为参数) ,

∴曲线 C2 的普通方程为 x +y =1, ∵曲线 C1 与曲线 C2 相切, ∴曲线 C2 的圆心(0,0)到直线 C1:x﹣y+k=0 的距离: , ∴k= , ∵k 为正数, ∴k= . 故答案为: . 点评: 本题考查简单曲线的极坐标方程的应用,是基础题.解题时要认真审题,把极坐标 方程合理地转化为普通方程. (几何证明选讲选做题) 15.如图,⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C, 连接 AC,若∠CPA=30°,PC= cm.

考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 在圆中线段利用由切线定理求得∠OCP=Rt∠,进而利用直角三角形 PCO 中的线段, 结合解直角三角形求得 PC 即可. 解答: 解:连接 OC, PC 是⊙O 的切线, ∴∠OCP=90°

∵∠CPA=30°,OC= ∴tan30°= 即 PC= 故填: , . .

=3,

点评: 此题考查的是直角三角形的性质、与圆有关的比例线段以及切线定理,属于基础题. 三.解答题(本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 16. (12 分)已知函数 f(x)=2cos
2

+

sinx.

(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 α 为第二象限角,且 f(α+ )=﹣ ,求 的值.

考点: 二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由条件利用二倍角公式化简函数的解析式,再根据正弦函数的周期性和值域求 得 f(x)的最小正周期和值域. (2)由条件利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,以及三角函数在各个象限中的符号 求得 cosα 的值,可得 sinα 和 tanα 的值,从而求得 的值.
2

解答: 解: (1)由于函数 f(x)=2cos 故函数 f(x)的最小正周期为 域为[﹣1,3]. (2)∵α 为第二象限角,且 f(α+ ∴cosα=﹣ ,∴sinα= ,tanα=﹣ ,

+

sinx=cosx+

sinx+1=2sin(x+

)+1,

=2π,再根据 sin(x+

)∈[﹣1,1],可得函数 f(x)的值

)=2sin(α+

)+1=2cosα+1=﹣ ,



=

=

=﹣



点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,以及三角函数在各个象限中 的符号,正弦函数的周期性和值域,属于基础题.

17. (12 分)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采取分层抽样的方法从这些学校 中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析,求抽取的 2 所学校均为小 学的概率. 考点: 古典概型及其概率计算公式;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先求出每个个体被抽到的概率,再用各个层的个体数乘以此概率,即得应从小 学、中学、大学中分别抽取的学校数目. (2)根据所有的抽法共有 =15 种,其中抽取的 2 所学校均为小学的方法有 =3 种,由此

求得抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解答: 解: (1)每个个体被抽到的概率等于 取的学校数目为 21× =3, 14× =2,7× =1.…(3 分) (2)所有的抽法共有 =15 种,其中抽取的 2 所学校均为小学的方法有 = . =3 种,故抽取的 = ,故从小学、中学、大学中分别抽

2 所学校均为小学的概率等于

点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法,用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率 等于该层应抽取的个体数,属于基础题. 18. (14 分) 如图, 在底面是矩形的四棱锥 P﹣ABCD 中, PA⊥平面 ABCD, PA=AB=2, BC=4. E 是 PD 的中点, (Ⅰ)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (Ⅱ)求二面角 E﹣AC﹣D 的余弦值; (Ⅲ)求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值.

考点: 平面与平面垂直的判定;异面直线及其所成的角;直线与平面所成的角. 专题: 作图题;证明题;综合题;转化思想.

分析: 法一(Ⅰ)证明平面 PDC 内的直线 CD,垂直平面 PAD 内的两条相交直线 PA,AD, 即可证明 CD⊥平面 PAD,推出平面 PDC⊥平面 PAD; (Ⅱ)连接 AC、EC,取 AD 中点 O,连接 EO,说明∠EFO 就是二面角 E﹣AC﹣D 所成平面 角,解三角形 EFO 求二面角 E﹣AC﹣D 的余弦值; (Ⅲ)延长 AE,过 D 作 DG 垂直 AE 于 G,连接 CG,说明∠DCH 是直线与平面所成的角, 解三角形 DCG,求直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值. 法二:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴建立空 间直角坐标系, (Ⅰ)利用 面 PDC⊥平面 PAD. (Ⅱ) 求出平面 AEC 的法向量 , 平面 ABC 的法向量 求解即可. (Ⅲ平面的法向量是 ,求出 ,利用 ,求出直线 CD 与平面 AEC 所成 , 利用 , ,推出 CD⊥AD,CD⊥AP,说明 CD⊥平面 PAD,证明平

角的正弦值 . 解答: 解:法一: (Ⅰ)∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABC, ∴PA⊥CD. (2 分) ∵ABCD 是矩形,∴AD⊥CD. 而 PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD. (4 分) CD?平面 PDC∴平面 PDC⊥平面 PAD. (5 分) (Ⅱ)连接 AC、EC,取 AD 中点 O,连接 EO,则 EO∥PA, ∵PA⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD. 过 O 作 OF⊥AC 交 AC 于 F,连接 EF, 则∠EFO 就是二面角 E﹣AC﹣D 所成平面角. (7 分) 由 PA=2,则 EO=1. 在 Rt△ ADC 中,AD×CD=AC×h 解得 h= 因为 O 是 AD 的中点,所以 .

. (8 分)

而 EO=1,由勾股定理可得

. (9 分)

. (10 分)

(Ⅲ)延长 AE,过 D 作 DG 垂直 AE 于 G,连接 CG, 又∵CD⊥AE,∴AE⊥平面 CDG, 过 D 作 DH 垂直 CG 于 H,则 AE⊥DH, 所以 DH⊥平面 AGC,即 DH⊥平面 AEC,

所以 CD 在平面 ACE 内的射影是 CH,∠DCH 是直线与平面所成的角. (12 分) ∵ ∴ . .CD=2



. (14 分)

解法二:以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,D(0,4,0) ,E(0,2,1) ,P(0,0,2) . (2 分) ∴ =(2,0,0) , =(0,2,1) , (Ⅰ)∵ 又∵ =(0,4,0) , =(0,0,2) , =(﹣2,0,0) ,

=(2,4,0) . (3 分) ,∴CD⊥AD.

,∴CD⊥AP. (5 分)

∵AP∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD, 而 CD?平面 PDC, ∴平面 PDC⊥平面 PAD. (7 分) (Ⅱ)设平面 AEC 的法向量 =(x,y,z) ,令 z=1,则 .





∴ = 平面 ABC 的法向量

. (9 分) =(0,0,2). .

所以二面角 E﹣AC﹣D 所成平面角的余弦值是 . (11 分) (Ⅲ)因为平面的法向量是 = 所以 ,而 . (13 分) =(﹣2,0,0) .

直线 CD 与平面 AEC 所成角的正弦值 . (14 分)

点评: 本题考查平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角, 考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是中档题. 19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)证明:数列 为等差数列,并求{bn}的通项公式; .数列{bn}满足 b1=2,bn+1﹣2bn=8an.

(Ⅲ) 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 是否存在常数 λ, 使得不等式 (n∈N )恒成立?若存在,求出 λ 的取值范围;若不存在,请说明理由. 考点: 数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;数列递推式. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)根据数列递推式,再写一式,两式相减,即可求得数列{an}的通项公式; (Ⅱ)根据 bn+1﹣2bn=8an,可得 等差数列,由此可求{bn}的通项公式; ,从而可得 是首项为 =1,公差为 2 的
*

(Ⅲ)存在常数 λ 使得不等式

(n∈N )恒成立.利用错位相减法

*

求数列的和,再分类讨论,利用分离参数法,即可得到结论. 解答: (Ⅰ)解:当 n=1 时 当 n≥2 时 因为 a1=1 适合通项公式 所以 (n∈N ) .
*

; , . …(5 分)

(Ⅱ)证明:因为 bn+1﹣2bn=8an,所以

,即



所以

是首项为

=1,公差为 2 的等差数列.

所以



所以



…(9 分)
*

(Ⅲ)解:存在常数 λ 使得不等式 因为 所以 2Tn=1?2 +3?2 +…+(2n﹣5)?2 由①﹣②得 化简得 .
2 3 n﹣1

(n∈N )恒成立.

① +(2n﹣3)?2 +(2n﹣1)?2 ,
n n+1



因为

=

=



(1)当 n 为奇数时,

,所以

,即

. 所以当 n=1 时, 的最大值为 ,所以只需 ;

(2)当 n 为偶数时,

,所以



所以当 n=2 时,

的最小值为 ,所以只需


*

由(1) (2)可知存在

,使得不等式

(n∈N )恒成

立.…(13 分) 点评: 本题考查数列的通项,考查等差数列的证明,考查数列的求和,考查存在性问题的 探究,考查分离参数法的运用,属于中档题.

20. (14 分)已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上椭圆 Ω 的方程

+

=1(a>b>0) ,它

的离心率为 ,一个焦点是(﹣1,0) ,过直线 x=4 上一点 M 引椭圆 Ω 的两条切线,切点分别 为 A、B. (1)求椭圆的方程; (2)若在椭圆 Ω: + =1(a>b>0)上的点(x0,y0)处的切线方程是 + =1,求

证:直线 AB 恒过定点 C(1,0) ; (3)是否存在实数 λ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|?|BC|恒成立?(点 C 位直线 AB 恒过的定点)若 存在,求出 λ 的值,若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的离心率为 ,一个焦点是(﹣1,0) ,求出 c,a 和 b 的值,从而求 解椭圆方程; (2)切点坐标为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 l 上一点 M 的坐标(4,t) ,求出切线方程, 再把点 M 代入切线方程,说明点 A,B 的坐标都适合方程 ,而两点之间确定唯一的

一条直线,从而求出定点; (3)联立直线方程和椭圆的方程进行联立,求出两根的积和两根的和,求出|AC|,|BC|的长, 求出 λ 的值看在不在,再进行判断. 解答: 解: (1)∵椭圆的离心率为 ,一个焦点是(﹣1,0) , ∴c=1,a=2, ∴b= , ∴椭圆的方程为 ;

(2)设切点坐标为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 x=4 上一点 M 的坐标 M(4,t) ,则切线 方程 分别为 , ,又两切线均过点 M,即 , 故直线 AB 的方程是 , , 显然直线 恒

, 即点 A, B 的坐标都适合方程

过点(1,0) ,故直线 AB 恒过定点 C(1,0) . (3)将直线 AB 的方程 ,代入椭圆方程得: ,即





,设 y1>0,y2<0,





同理|BC|=﹣

, (12 分)



=



即 故存在实数

, ,使得|AC|+|BC|=λ|AC|?|BC|. (13 分)

点评: 此题主要考查利用导数研究函数的切线方程,第三问是一个存在性问题,利用了根 与系数的关系,需要联立方程,考查了学生的计算能力,是一道难题; 21. (14 分)设函数 f(x)=x +bln(x+1) . (1)若 x=1 时,函数 f(x)取最小值,求实数 b 的值; (2)若函数 f(x)在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围; (3)若 b=﹣1,证明对任意正整数 n,不等式 f( )<1+ + +…+ 都成立.
2

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用.

专题: 导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义及函数最值的意义得出 f′(1)=0,求得 b 值; (2)由函数 f(x)在定义域上是单调函数,可得 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(﹣1,+∞)上恒 成立,转化为利用导数求函数的最值问题解决即可; (3)构造函数 h(x)=f(x)﹣x ,利用导数判断且单调性,得出 f(x)<x 取 x=x= ,则 有 f( )< (k∈N+) ,即得结论成立.
3 3

解答: 解: (1)由 x+1>0 得 x>﹣1, ∴f(x)的定义域为(﹣1,+∞) , 对 x∈(﹣1,+∞) ,都有 f(x)≥f(1) , ∴f(1)是函数 f(x)的最小值,故有 f′(1)=0, f′(x)=2x+ ,∴2+ =0,解得 b=﹣4.经检验,合题意; = ,又函数 f(x)在定义域上是单调函数,

(2)∵f′(x)=2x+

∴f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 在(﹣1,+∞)上恒成立. 若 f′(x)≥0, 2 ∵x+1>0,∴2x +2x+b≥0 在(﹣1,+∞)上恒成立, 即 b≥﹣2x ﹣2x=﹣2
2

+ 恒成立,由此得 b≥ ;

若 f′(x)≤0, ∵x+1>0, 2 2 ∴2x +2x+b≤0,即 b≤﹣(2x +2x)恒成立, 2 因﹣(2x +2x) 在(﹣1,+∞)上没有最小值, ∴不存在实数 b 使 f(x)≤0 恒成立. 综上所述,实数 b 的取值范围是[ ,+∞) . (3)当 b=﹣1 时,函数 f(x)=x ﹣ln(x+1) ,令函数 h(x)=f(x)﹣x =x ﹣ln(x+1)﹣ 3 x, 则 h′(x)=﹣3x +2x﹣
2 2 3 2

=﹣



∴当 x∈[0,+∞)时,h′(x)<0 所以函数 h(x)在 x∈[0,+∞)上是单调递减. 又 h(0)=0, ∴当 x∈(0,+∞)时,恒有 h(x)<h(0)=0,即 x ﹣ln(x+1)<x 恒成立. 3 故当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)<x . ∵k∈N+ ∴ ∈(0,+∞) ,取 x= ,则有 f( )< ,
2 3



f( )<1+

+

+…+

,故结论成立.

点评: 本题考查了导数的几何意义及函数的最值意义以及利用导数判断函数的单调性及求 最值等知识,考查不等式恒成立的条件等价转化思想、分类讨论思想的.综合应用较强,属难 题.



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