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空间几何体的三视图和直观图



我们把光由一点向外散射形成的投影 叫做中心投影,把在一束平行光线照射下形 成的投影叫做平行投影,那么用灯泡照射物 体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪 种投影?

中心投影

平行投影

在平行投影中,投影线正对着投影面时 叫做正投影,否则叫做斜投影.

(1)光线从几何体的前面向后面正投影得

到的投影图,叫做几何体的正视图; (2)光线从几何体的左面向右面正投影得 到的投影图,叫做几何体的侧视图; (3)光线从几何体的上面向下面正投影得 到的投影图,叫做几何体的俯视图; (4)几何体的正视图、侧视图、俯视图统 称为几何体的三视图.

思考1:正视图、侧视图、俯视图分别是从几 何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投 影图?它们都是平面图形还是空间图形?
思考2:如图,设长方体的长、宽、高分别 为a、b、c ,那么其三视图分别是什么? c

b

a

正视图 侧 视 图

c
正视图

c

b

c

a

a

b
侧视图

俯视图

a
俯视图

b

思考3:圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什 么?

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

思考4:一般地,一个几何体的正视图、侧视 图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系?
正视图

c

b

a 正侧等高, 正俯等长, 侧俯等宽.

c

侧 视 图

c

a
俯视图

b
b

a

思考5:球的三视图是什么?下列三视图表示 一个什么几何体?
正视图

侧视图

俯视图

理论迁移

如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放,试 分别画出其三视图,并比较它们的异同.

正视

正视

正视图

侧视图

正视 俯视图

正视图

侧视图

正视 俯视图

能看见的轮廓线和棱用实线表示,不能 看见的轮廓线和棱用虚线表示.

画简单几何体的三视图

思考 如图所示,将一个 长方体截去一部分,这个 几何体的三视图是什么?

正视图

侧视图

正视

俯视图

思考:观察下列两个实物体,它们的结构特 征如何?你能画出它们的三视图吗?

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

将三视图还原成几何体

思考:下列两图分别是两个简单组 合体的三视图,想象它们表示的组 合体的结构特征,并画出其示意图.

正视图

侧视图

俯视图

正视图

侧视图

俯视图

将一个长方体挖去两个小长方体后剩余 的部分如图所示,试画出这个组合体的三视 图.

正视图

侧视图

俯视图

说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.

正视图

侧视图

俯视图

知识探究(一):水平放置的平面图形的画法

思考1:把一个矩形水平放置,从适当的角度 观察,给人以平行四边形的感觉,如图.比 较两图,其中哪些线段之间的位置关系、数 量关系发生了变化?哪些没有发生变化?

思考2:把一个直角梯形水平放置得其直观图 如下,比较两图,其中哪些线段之间的位置 关系、数量关系发生了变化?哪些没有发生 变化?

思考3:画一个水平放置的平面图形的直观图, 关键是确定直观图中各顶点的位置,我们可 以借助平面坐标系解决这个问题. 那么在画 水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作?
y D C D′ A B x y′

C′
B′ x′

A′

思考4:你能用上述方法画水平放置的正六边 形的直观图吗?
y F M
A B o N C A′ D′ B′ C′ E F′ M x D A′ o′ B′ N C′ D′ x′ y′ E′

F′

E′

思考5:上述画水平放置的平面图形的直观 图的方法叫做斜二测画法,你能概括出斜 二测画法的基本步骤和规则吗? (1)建坐标系,定水平面; (2)与坐标轴平行的线段保持平行; (3)水平线段等长,竖直线段减半.

思考6:斜二测画法可以画任意多边形水平 放置的直观图,如果把一个圆水平放置, 看起来像什么图形?在实际画图时有什么 办法?

知识探究(二):空间几何体的直观图的画法

思考1:对于柱、锥、台等几何体的直观图, 可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面, 我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位 z 置? y
o
x

思考2:怎样画长、宽、高分别为4cm、3cm、 2cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图?
D′
A′ D A P Q o B z C′ D′ A′ C x A D B B′ C C′

y B′

思考3:怎样画底面是正三角形,且顶点在 底面上的投影是底面中心的三棱锥?
z S

C C
A B A o
M

y B

x

S C A B

思考:画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个 步骤进行? 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图 思考:已知一个几何体的三视图如下,这个 几何体的结构特征如何?试用斜二测画法 画出它的直观图.

z
y′ 正视图

侧视图

A′
o′

B′ y x′ x

A
俯视图

o

B

考点一 平面图与直观图的对应关系
[例 1] 展示1P198 (1)作出平面图①的直观图; (2)图②是水平放置图形的直观图,试画出它原来的图形; (3)思考平面图与其直观图之间的面积比是否总为 2 2∶1?

【分析】首先是建系,最好是充分利用原图的信息,其次 是要找好平行对应关系.

【解析】

(3)均为 2 2∶1

针对练习:如图,一个平面图形的水平放 置的斜二测直观图是一个等腰梯形,它的 底角为45°,两腰和上底边长均为1,求这 个平面图形的面积.
D D C

C

S ? 2? 2
A B A B

考点二 由三视图想象几何体的形状

[例 2]

(2011· 安徽省皖南八校联考)如

下图是一个物体的三视图,则此三视 图所描述的物体的直观图是( )

解析:由俯视图的形状可知直观图是 选项 B 或选项 D 中的一个,根据正视 图和侧视图可知选项 B 错.故选 D.

练习 1:(2010· 课标全国文,15)一个几何体的正视图 为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的 ________.(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 锥 ⑥圆柱 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆

解析:①若正视投射线不三棱锥的一个侧面平行, 可得三棱锥的正视图为一个三角形;②若四棱锥的底面 是一个矩形,且有一条侧棱不底面垂直,则其正视图为 一个三角形;③将三棱柱的一个侧面水平放置,正对着 四棱柱,无论从哪个方向看,其正视图都丌可能是三角 柱从丌同的方向看,其正视图都丌可能是三角形.

底,沿着侧棱看,可得其正视图为一个三角形;④对于

形;⑤圆锥的底面水平放置,其正视图是三角形;⑥圆

答案:①②③⑤

考点三 由直观图画三视图
[例 3] (2011· 枣庄质检)如下图, 几何体的主(正)视图 ) 和左(侧)视图都正确的是(

解析:直观图中的几何体是由斜二测规则画出的, 故几何体是一个长方体沿交于同一顶点的三条面对角线 截去一角余下的部分,主视图从正前方向后投影,故应 得到一个矩形和一条实对角线,对角线的方向是左上到 右下,左视图从左向右投影,得到一个矩形和一条虚对 角线,虚对角线应是左上到右下的方向,故选 B.
答案:B

练习 1:(文)(2011· 山东济宁模拟)如下图,下列几何体 各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

答案:D

练习 2 示范2 如图所示的图形是一个几何体的直观 图,上部是一个倒置的圆台,上、下底面的直径分 3 别是 2 和 3,高是2,下部是一个圆柱,圆柱的上底 面与圆台的下底面重合,高为 3.画出这个几何体的 三视图.

解析

练习 3 展示2 画出如下图所示的几何体的三视图.

【解析】几何体的三视图分别是图(1)、图(2).

考点四 由三视图画出几何体的直观图 示范1 已知一个几何体按比例绘制的三视图如下图所示 (单位:m),

(1)画出它的直观图(不要求写出画法); (2)求几何体的表面积和体积.

解析 (1)由三视图可知,该几何体由一个正方体 和一个四棱柱组成,如图所示. 2+3 (2)表面积为 2× 2 ×1+ 2×1+7×1×1+3×1=15+ 2(m2).
3 3

2+3 5 正方体的体积为 1 =1 m ,四棱柱的体积为 2 ×1×1=2 7 m3,所以几何体的体积为2 m3.

展示1 (2011 深圳一模)已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底 面是正三角形)的高与底面边长均为 2, 其直观图和正(主)视图如 下图所示,则它的左(侧)视图的面积是________.

【答案】 2 3

【解析】画出左(侧)视图如下图所示,其面积为 2 3.

方法点拨:由三视图还原空间几何体的实际形状,一般先 从正视图和俯视图考虑,再结合侧视图进行分析.命题时经常 会与立体几何中有关的计算问题整合在一起,如面积、体积的 计算,从而考查空间想象能力.

考点五 依据三视图进行计算
[例 5] 所示,它的表面积是( )

(文)已知一空间几何体的三视图如下图

A.4+ 2 C.3+ 2

B.2+ 2 D.3

分析:由主、左视图可知,该几何体的侧棱垂直于 底面,由俯视图知,该几何体的底面是Rt△,因此该几 何体是一个直三棱柱.

解析:由三视图可知,该几何体是底面为等腰直角 三角形的直三棱柱, 底面直角三角形直角边长和棱柱的高
?1 ? 都是 1,故表面积 S=2×?2×1×1?+2×(1×1)+ 2×1 ? ?

=3+ 2.

练习:(文)(2010· 天津文,12)一个几何体的三视图如下 图所示,则这个几何体的体积为__________.

解析:这个空间几何体是一个底面为直角梯形的直 棱柱,梯形两底边长为1和2,高为2,棱柱的高为1, 1 ∴体积V= ×(1+2)×2×1=3. 2



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