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同角的三角函数基本关系式



教学目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式, 理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2. 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式 证明的解题技能,提高运用公式的灵活性; 3. 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题; 在解决三角函数化简问题 过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程 中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力. 教学重点:同角三角函数的基本关系. 教学难点:(1)已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值时正负号 的选择;(2)三角函数式的化简;(3)证明三角恒等式. 内容分析: 本节主要涉及到三个公式,均由三角函数定义推出.在教学过程中,要注 意引导学生理解每个公式,懂得公式的来龙去脉,并能灵活运用、掌握各种恒 等变形的技能、技巧.要给学生提供展示自己思路的平台,营造自主探究解决 问题的环境,把鼓励带进课堂,把方法带进课堂,充分发挥学生的主体作用. 教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式.其实根据这三个基本关 系还可以变形得到一些基本关系. 如:由

sin? ? tan? 得: sin ? ? cos ? ? tan ? , cos?

2 同样可以有: cos ? ? sin ? ? cot ? tan ? ? 1 ?

1 , cos2 ?

cot 2 ? ? 1 ?

1 2 2 ,1 ? sin ? ? cos ? 等等,可以引导学生和用三个 sin 2 ?

基本关系进行转换,培养学生的自主学习习惯. 2 2 教材中的 3 个基本关系式,只有:sin ? +cos ? =1 是绝对恒等式,即对于 任意实数 ? 都成立,另外两个公式,仅当 ? 取使关系式的两边都有意义的值时才 能成立.因此,在运用这些公式进行恒等变形时,角的允许值范围有时会发生 变化是不奇怪的,在教学中可经常提醒学生注意这一点. 这组公式的灵活运用是本节教学的难点.灵活运用的前提是熟练掌握公 式.弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法.从“左”到“右”或从 “右”到“左”运用公式,最后达到灵活运用,同时要明确它们成立的先决条 件.教材中指出: “在第二个式子中 ? ? k? ?

(k ? Z ) 时,式子两边都有意义; 2 在第三个式子中,α 的终边不在坐标轴上,这时,式子两边都有意义, ”并指出: “除特殊注明的情况外,也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式. ”这 段话学生是不太容易理解的,教师应适当加以解释.首先应让学生分析等式两 边的三角式的取值范围,并从中发现,两边的取值范围经常是不相同的,如果

?

第 1 页(共 7 页)

一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等,那么这个等式就是恒等 式.因此,每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等,所以可以认为,这组 公式的成立也是有条件的,公式后面括号里给出条件是不容忽视的. 教学过程: 一、复习引入: 1.设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) 则 P 与原点的距离 r ?

x ? y ? x2 ? y2 ? 0

2

2

2.任意角的三角函数的定义及其定义域.

sin ? ?

y r

R

csc? ?

r y

?? | ? ? k? , k ? Z ?
r
R

P (x, y)
?

x cos ? ? r r sec ? ? x tan ? ? y x

? ? ? ?? | ? ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ? ? ? ? ?? | ? ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?

cot? ?

x y

?? | ? ? k? , k ? Z ?

sin?>0 cos?<0 tan?<0 cot?<0 sin?<0 cos?<0 tan?>0 cot?>0

sin?>0 cos?>0 tan?>0 cot?>0 sin?<0 cos?>0 tan?<0 cot?<0

以上六种函数,统称为三角函数. 3. 三角函数在各象限内的符号规律: 第一象限全为正,二正三切四余弦. 4. 终边相同的角的同一三角函数值相等 诱导公式一(其中 k ? Z ): 用弧度制可写成

sin(? ? k ? 360?) ? sin ? cos(? ? k ? 360?) ? cos? tan( ? ? k ? 360?) ? tan?

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan?

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角的三角函数 值问题. 二、讲解新课:
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1.公式: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? t an ? cos ?

t an ? ?co t ? ?1

2.采用定义证明:

1? ? x 2 ? y 2 ? r 2

y x 2 2 , cos ?? ?s i n ? ? cos ? ?1 r r ? sin ? y x y r y 2 ? 当? ? k? ? (k ? Z )时, ? ? ? ? ? ? tan ? 2 cos ? r r r x x 且sin ??

3? 当? ? k?且? ? k? ?
2 2

?
2

时, tan? ? cot? ?

y x ? ?1 x y

3.推广: sin ? ? cos ? ? 1 这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有:

sec 2 ? ? tan2 ? ? 1

2 csc ? ? c o 2t ? ? 1

sin ? cos ? ? tan ? 这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有: ? cot ? cos ? sin ?
tan ? ? cot ? ? 1 这 种 关 系 称 为 倒 数 关 系 。 类 似 的 倒 数 关 系 还 有 : csc ? ? sin ? ? 1 s ec ??co s ? ?1
4.点题:三种关系,八个公式,称为同角三角函数的基本关系。 5.注意: sin? 1?“同角”的概念与角的表达形式无关, 如: sin 3? ? cos 3? ? 1
2 2

cos?

sin ? 2 ?tan ? 2 cos 2

?

tan?

1

cot?

sec? csc? 2?上述关系 (公式) 都必须在定义域允许的范围内成立。 3?据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其 余各三角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会出现两 解,因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 6. ①对角线上两个函数的乘积为 1(倒数关系). ②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系). ③阴影部分,顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 三、讲解范例:

例 1. 已知 sin ? ?

分析:由平方关系可求 cos ? 的值,由已知条件和 cos ? 的值可以求 tan ?

4 ,并且 ? 是第二象限角,求 ? 的其他三角函数值. 5

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的值,进而用倒数关系求得 cot ? 的值. 2 2 解:∵sin α +cos α =1, ? 是第二象限角

4 3 ? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? , 5 5
4 sin ? 4 ? tan? ? ? 5 ?? cos? ? 3 3 5 1 3 cot ? ? ?? . tan ? 4
8 ,求 sin ? 、tan ? 的值. 17 分析:∵cosα <0 ∴ ? 是第二或第三象限角.因此要对 ? 所在象限分 类. 当 ? 是第二象限角时,
例 2.已知 cos? ? ?
sin? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? (? 15 sin? 15 tan? ? ? 17 ? ? . cos? ? 8 8 17 8 2 15 ) ? , 17 17

当 ? 是第三象限时
sin? ? ? 1 ? cos2 ? ? ? 15 , 17 tan? ? 15 . 8

提问:不计算 sin ? 的值,能否算得 tan ? 的值? 1 由于 ? 1 ? tan 2 ? 而 ? 在Ⅱ或 III 象限 2 cos ?

? tan? ? ?

1 15 ? 18 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? . 2 8 cos ? ? 17 ?

2

cos2 ? ?

1 1 ? tan 2 ?
2 2

例 3.已知 tan ? 为非零实数,用 tan ? 表示 sin ? ,cos ? . 解:由 sec ? ? tan ? ? 1 即

cos 2 ? ?

1 1 ? tan 2 ?

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1 ? ? 2 ? ? cos? ? ? 1 ? tan ? 1 ?? 2 ? ? 1 ? tan ?


当?为第一、四象限角 当?为第二、三象限角

sin ? ? tan ? ? cos ?

tan? ? ? 2 ? ? sin ? ? ? 1 ? tan ? tan? ?? ? 1 ? tan2 ? ?
四、课堂练习: 1.已知 cos? ?

当?为第一、四象限角 当?为第二、三象限角

1 2

, 求 tan ? 的值.

解法 1: (cos? ?平方关系 ?? ??sin? ?商数关系 ?? ?? tan? ) ∵ cos ? ?

1 , 2

∴ ? 在Ⅰ、Ⅳ象限,

当α 在Ⅰ象限时,

1 3 sin ? ? 1 ? cos2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? , 2 2

3 sin ? ∴ tan? ? ? 2 ? 3. 1 cos? 2
当 ? 在Ⅳ象限时

sin ? ? ? 1 ? cos2 ? ? ?
∴ tan ? ?

3 , 2

sin ? ? ? 3. cos ?
1 ?平方关系 ?? ?? tan? ) cos?

解法 2: (cot? ?倒数关系 ?? ?? 当 ? 在Ⅰ象限时,

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? cos? ?

1 2
2

?

1 ? 2, cos?

? 1 ? 2 ? tan? ? ? ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 3. ? cos ?
当 ? 在Ⅳ象限时

? 1 ? t an? ? ? ? ? ?1 ? ? 3 ? cos? ?
2.已知 tan ? ? 2 ,求 sin? 的值 解∵ tan ? = 2 > 0,∴ ? 在Ⅰ、Ⅲ象限 ①当 ? 在Ⅰ象限时.

2

1 ? 1 ? tan 2 ? ? 1 ? 2 2 ? 5, cos ?

? cos? ?

1 5

, ? sin ? ? cos? ? tan? ?

1 5

?2 ?

2 5 . 5

②当 ? 在Ⅲ象限时

?

1 ? ? 1 ? tan 2 ? ? ? 1 ? 2 2 ? ? 5 , cos?

? cos? ? ?

1 5

,

? sin ? ? cos? ? tan? ? ?

2 5 . 5

注意:此题在求出 cos ? 的值以后,若直接用平方关系求 sin ? 的值,有符 号判断问题,需要再分类,就出现二次分类增添了解决问题的复杂性.本题采 用了商数关系,避开了引用平方关系求 sin ? 值,使得问题轻松获解. 3.已知 tan ? =-3,则 sin ? = ,cot ? = . 思路分析:由 tan ? =-3<0 知, ? 在第二或第四象限, ∴可分类后用同角三角函数基本关系求解. (略) 由于这是一个填空题, ∴可先将角 ? 视为锐角,求出 sin ? 和 cot ? 的值,然后具体的再看 ? 角 所在象限得出 sin ? 、cot ? 的符号. 将 ? 视为锐角 ? ′,则有 tan ? ′=3, 3 1 . cot ? ′= , ∴ sin ? ′= 3 10

? tan ? ? ?3 ? 0 ∴ ? 在第Ⅱ或第Ⅳ象限.

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? 3 10 ? ? ∴ sin ? ? ? 10 ?? 3 10 ? 3 ?

(?在第 ? 象限) (?在第IV象限)

1 cot? ? ? . 3 五、小结与总结 已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时,应用平方关系确定符号是 个难点,一般地说,这类计算题可分为以下三种情况:⑴已知象限,由象限定 符号;⑵已知值,由值分情况讨论;⑶值是字母,开平方时,分情况讨论. 六、课后作业:
七、板书设计(略) 八、课后记: 1.已知 sin ? ? cos ? ? ①sin α +cos α
3 3 4

1 ,求下列各式的值. 2
4

②sin α +cos α

③sin α +cos α

6

6

分析:由 sin ? ? cos ? ?

1 3 两边平方,整理得 sin ? cos ? ? ? 2 8 11 16


然后将各式化成关于 sinα +cosα ,sinα cosα 的式子将上两式的值代入 即可求得各式的值.

23 32



37 64

注意:sinα +cosα 、sinα ·cosα 称为关于角α 的正弦和余弦的基本对 称式,关于 sinα 、cosα 的所有对称式都可以用基本对称式来表示.

1 ? ? ,且 ? ? ? ,则 cosα -sinα 的值是多少? 8 4 2 1 1 分析:由 sinα ·cosα = 得 2sinα cosα = 8 4 1 2 2 sin α -2sinα cosα +cos α =1- 4 3 2 (cosα -sinα ) = 4
2.已知 sinα ·cosα = ∵

?

4

?? ?

?

2

,∴cosα <sinα

即 cosα -sinα <0. ∴cosα -sinα =-

3 . 2
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