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高考数学复习第19课 导数的综合应用



第 19 课 导数的综合应用
(本课时对应学生用书第 43~46 页)

自主学习

回归教材

1. (选修 1-1P84 习题 1 改编)若从时间 t=0 开始的 t s 内,通过某导体的电量(单位:C)可由公式 q=2t2+3t 表示,则第 5 s 的电流强度为 [答案]23 A [解析]q=2t2+3t,所以 q'=4t+3,所以 t=5 时,q'=23. .

2. (选修 1-1P83 习题 3 改编)若做一个容积为 256 的方底无盖水箱,为使它的用料最省(全面积最小),则 它的高为 [答案]4 .

256 1024 1024 2 2 2 2 [解析]设高为 h,底边长为 x,则 x h=256,所以 S=4hx+x =4x· x +x = x +x ,S'=- x +2x.令 S'=0,解
2 2

得 x=8,此时 h=4,S 取最小值.

1 3. (选修 2-2P34 习题 4 改编)设函数 f(x)= 3 x-ln x(x>0),则 y=f(x)的最小值是
[答案]1-ln 3

.

1 1 [解析]由 f'(x)= 3 - x =0,得 x=3,所以 f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,所以
f(x)min=f(3)=1-ln 3.

4. (选修 1-1P79 例 2 改编)设计一种体积为 v0 的圆柱形饮料罐,为了使它的用料最省,则它的高 为 .
3

v0 [答案]2· 2?

v0 v0 2 2 [解析]设圆柱的高为 H,底面半径为 R,则表面积为 S=2π RH+2π R ,又π R H=v0,H= ? R ,故 S=2π R ? R +2
2 2

v0 v0 v0 2v0 2v0 3 3 2 2 π R2= R +2π R2,由 S'=- R +4π R=0,解得 R= 2 π ,此时 S 最小,H= πR =2· 2 π .

1.最值与不等式 各类不等式与函数最值的关系如下表: 不等式类型 任意的 x∈D,f(x)>M 任意的 x∈D,f(x)<M 存在 x∈D,f(x)>M 存在 x∈D,f(x)<M 任意的 x∈D,f(x)>g(x) 任意的 x∈D,f(x)<g(x) 任意的 x1∈D1,任意的 x2∈D2,f(x1)>g(x2) 任意的 x1∈D1,存在 x2∈D2,f(x1)>g(x2) 存在 x1∈D1,任意的 x2∈D2,f(x1)>g(x2) 存在 x1∈D1,存在 x2∈D2,f(x1)>g(x2) 任意的 x∈D,f(x)min>M 任意的 x∈D,f(x)max<M 任意的 x∈D,f(x)max>M 任意的 x∈D,f(x)min<M 任意的 x∈D,[f(x)-g(x)]min>0 任意的 x∈D,[f(x)-g(x)]max<0 任意的 x∈D1,任意的 x∈D2,f(x)min>g(x)max 任意的 x∈D1,任意的 x∈D2,f(x)min>g(x)min 任意的 x∈D1,任意的 x∈D2,f(x)max>g(x)max 任意的 x∈D1,任意的 x∈D2,f(x)max>g(x)min 与最值的关系

2. 实际应用题 (1) 解题的一般步骤:理解题意,建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问 题. (2) 注意事项:注意实际问题的定义域;实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值 点的函数),这样的极值点也是最值点.

要点导学

各个击破

利用导数研究函数的性质

例1

1 设函数 f(x)=cln x+ 2 x2+bx(b,c∈R,c≠0),且 x=1 为 f(x)的极值点.

(1)若 x=1 为 f(x)的极大值点,求 f(x)的单调区间(用 c 表示);

(2)若 f(x)=0 恰有两解,求实数 c 的取值范围. [思维引导](1)条件:x=1 为 f(x)的极大值点;目标:确定函数 f(x)的单调区间;方法:利用 f'(1)=0 使用 c 表示 b 后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件:使用 c 表达的函数解析式;目标:c 的取值范围; 方法:讨论函数的单调性和极值点,根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件.

c x 2 ? bx ? c x [解答]f'(x)= x +x+b= ,
又 f'(1)=0,所以 b+c+1=0,

(x-1)(x-c) x 所以 f'(x)= 且 c≠1,b+c+1=0.
(1)因为 x=1 为 f(x)的极大值点,所以 c>1. 当 0<x<1 时,f'(x)>0; 当 1<x<c 时,f'(x)<0; 当 x>c 时,f'(x)>0, 所以 f(x)的单调增区间为(0,1),(c,+∞);单调减区间为(1,c). (2)①若 c<0,则 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,要使 f(x)=0 恰有两解,如图(1)所

1 1 示,只需 f(1)<0,即 2 +b<0,所以- 2 <c<0.

图(1)

图(2)

图(3)

(例 1)

1 1 1 c2 ②若 0<c<1,则 f(x)极大值=f(c)=cln c+ 2 c2+bc=cln c- 2 ,f(x)极小值=f(1)= 2 +b=- 2 -c,显然 f(c)=cln 1 c2 c-c- 2 <0,f(x)极小值=- 2 -c<0,如图(2)所示,所以 f(x)=0 只有一解. 1 c2 ③若 c>1,则 f(x)极小值=cln c-c- 2 <0,f(x)极大值=- 2 -c<0,如图(3)所示,所以 f(x)=0 只有一解.
? 1 ? ? - ,0 ? 综上,使 f(x)=0 恰有两解的 c 的取值范围为 ? 2 ? .
[精要点评]本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想,在定义域区间端点函数值达 到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数,当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一 个零点,当其中一个极值点等于零时函数有两个零点,当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如 果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的,还要结合端点值和极值的情况进行综合比较.

利用导数解决实际生活中的优化问题 例2 在综合实践活动中,因制作一个工艺品的需要,某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴

? ?1 ? t ? 对称图形),其中矩形 ABCD 的三边 AB,BC,CD 由长为 6 dm 的材料弯折而成,BC 边的长为 2t dm ?

3? ? 2?.

曲线 AOD 拟从以下两种曲线中选择一种:曲线 C1 是一段余弦曲线(在如图所示的平面直角坐标系中,其解 析式为 y=cos x-1,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h1(t);曲线 C2 是一段抛物线,其焦点到准线的距

9 离为 8 ,此时记门的最高点 O 到 BC 边的距离为 h2(t).

(例 2) (1) 试分别求出函数 h1(t),h2(t)的表达式; (2) 要使得点 O 到 BC 边的距离最大,应选用哪一种曲线?此时,最大值是多少? [思维引导](1) 可以通过求点 D 的坐标求出点 O 到 BC 边的距离;(2) 利用导数的方法求出最大值, 并进行比较. [解答](1) 对于曲线 C1,因为曲线 AOD 的解析式为 y=cos x-1, 所以点 D 的坐标为(t,cos t-1),

所以点 O 到 AD 的距离为 1-cos t,而 AB=DC=3-t,

3 则 h1(t)=(3-t)+(1-cos t)=-t-cos t+4,1≤t≤ 2 .
? 4 2? 9 4 ? t ,- t ? 2 2 4 9 对于曲线 C2,因为抛物线的方程为 x =- y,即 y=- x ,所以点 D 的坐标为 ? 9 ? ,

4 所以点 O 到 AD 的距离为 9 t2,而 AB=DC=3-t, 4 3 2 所以 h2(t)= 9 t -t+3,1≤t≤ 2 .
? 3? ?1, 2 ? (2) 由(1)知 h'1(t)=-1+sin t<0,所以 h1(t)在 ? ? 上单调递减,所以当 t=1 时,h1(t)取得最大值
3-cos 1.

4 ? 9 ? 39 3 3 5 ? t- ? 又 h2(t)= 9 ? 8 ? + 16 ,而 1≤t≤ 2 ,所以当 t= 2 时,h2(t)取得最大值 2 ,

2

π 1 1 5 因为 cos 1>cos 3 = 2 ,所以 3-cos 1<3- 2 = 2 . 3 5 故选用曲线 C2,当 t= 2 时,点 O 到 BC 边的距离最大,最大值为 2 dm.
[精要点评]用导数解决实际问题的注意事项:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实 际问题的意义,不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使得 f'(x)=0 的情形,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值,就是问题的最优解.(3)在列函数 关系式解决优化问题中,不仅要注意函数关系式表达要恰当,还要注意自变量的实际意义,依此确定定义 域.

练习

(2014· 南京、 盐城一模)如图,现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.

以正方形的四个顶点为圆心,在四个角分别建半径为 x m(x≥9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一

1 个半径为 5 x2 m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60 m,绕岛行驶的路宽均不小于 10 m.

(练习) (1)求 x 的取值范围(注: 2 取 1.4);

4 12a 2 (2)若中间草地的造价为 a 元/m ,四个花坛的造价为 33 ax 元/m ,其余区域的造价为 11 元/m2,当 x
2

取何值时,可使“环岛”的整体造价最低? [解答](1)由题意得
? ? x ? 9, ? ? x ? 9, ?100-2 x ? 60, ? ? ? x ? 20, 1 2 ?100 2-2 x-2 ? x ? 2 ?10, ?-20 ? x ? 15, 5 ? ,解得 ? 即 9≤x≤15.

所以 x 的取值范围是[9,15]. (2)记“环岛”的整体造价为 y 元,则由题意得
2 2 ? 4 ? ?1 2? 2 ?1 2? 4 12 a 10 ? ? ? x ? ? x ? ? a ? ? ? x ? 5 ? ? ? ? = 11 ? y=a×π × ? 5 ? + 33 ax×π x2+ 11 × ?

? ? 1 4 4 3 2? 4? ?? ? - 25 x ? 3 x -12 x ? ? 12 ?10 ? ? ? ? ?.

1 4 4 3 2 令 f(x)=- 25 x + 3 x -12x ,
? 1 2 ? 4 x -x ? 6 ? ? ?, 则 f'(x)=- 25 x3+4x2-24x=-4x ? 25
由 f'(x)=0,解得 x=0(舍去)或 x=10 或 x=15. 列表如下: x f'(x) f(x) (9,10) ↘ 10 0 极小值 (10,15) + ↗

所以当 x=10 时,y 取最小值. 答:当 x=10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低.

导数在研究方程、不等式中的应用 例3 已知函数 f(x)=2x2,g(x)=aln x(a>0).

(1) 若不等式 f(x)≥g(x)恒成立,求 a 的取值范围;

ln24 ln34 lnn 4 2 4 4 4 (2) 求证: 2 + 3 +?+ n < e .

[思维引导](1) 条件:已知函数 f(x),g(x)的解析式;目标:在不等式 f(x)≥g(x)恒成立时求参数 a 的取值范围;方法:构造函数 F(x)=f(x)-g(x),只要函数 F(x)在(0,+∞)上的最小值大于 0,即可得参数 a 的不等式,解此不等式即得所求.(2) 条件:(1)的求解结果;目标:证明(2)中的不等式;方法:根据(1)中 结果得到不等式,使用特殊赋值法和放缩法可得. [解答](1) 令 F(x)=f(x)-g(x)=2x2-aln x,a>0,x>0,

a 则 F'(x)=4x- x ,
a 令 F'(x)=0,得 x= 2 ,

? ? a ? a? 0, , ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?, 所以 F(x)的单调减区间为 ,单调增区间为 ? a? a ? ? 2 ? ? ? = 2 -aln F(x)min=F(x)极小值=F ?
a 2 ,

a 只要 2 -aln

a 2 ≥0 即可,得 a≤4e 且 a>0,即 a∈(0,4e].

4lnx 2 4 2 (2) 由(1)得 2x2≥4eln x,即 x ≤ ex ,
1 1 ? 2 2? 1 1 1 ? 2? 1 ln24 ln34 lnn 4 ? ? …? ? 2 ? …? 2 ? ? ? 2 4 4 4 n(n-1) ? n ? < e ? 1? 2 2 ? 3 ?<e . 所以 2 + 3 +?+ n ≤ e ? 2 3

[精要点评]含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型,解决这类试题的基本思想是转化 思想,即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题,根据函数的最值或者值域找到参 数所满足的不等式,即得到了参数的取值范围.

练习

b? ? ?a ? ? x x?e. (2014·苏州期末)已知 a,b 为常数,a≠0,函数 f(x)= ?

(1)若 a=2,b=1,求 f(x)在(0,+∞)内的极值. (2)①若 a>0,b>0,求证:f(x)在区间[1,2]上是增函数; ②若 f(2)<0,f(-2)<e-2,且 f(x)在区间[1,2]上是增函数,求由所有点(a,b)组成的平面区域的面积.

b b ? ? ex ?a ? - 2 ? x x x ? e =(ax2+bx-b) x 2 . [解答]f'(x)= ?

ex ex 2 2 (1) 当 a=2,b=1 时,f'(x)=(2x2+x-1) x =(x+1)(2x-1) x .

1 令 f'(x)=0,得 x= 2 或 x=-1(舍去).
? 1? ex ? 0, ? 2 x 因为 >0,当 x∈ ? 2 ? 时,f'(x)<0,f(x)是减函数; ?1 ? ? , ?? ? ? 时,f'(x)>0,f(x)是增函数. 当 x∈ ? 2

1 所以当 x= 2 时,f(x)取得极小值 4 e .
(2)令 g(x)=ax2+bx-b.

b ①因为 a>0,b>0,所以二次函数 g(x)的图象开口向上,对称轴 x=- 2a <0,且 g(1)=a>0,
所以 g(x)>0 对一切 x∈[1,2]恒成立.
ex 2 又 x >0,所以 f'(x)>0 对一切 x∈[1,2]恒成立.

因为 f(x)的函数图象是不间断的, 所以 f(x)在区间[1,2]上是增函数. ②因为 f(2)<0,f(-2)<e-2,
?? b? 2 ?? a ? 2 ? e ? 0, ?? ? ? ?? a- b ? e-2 ? e-2 , ?2a ? b ? 0, ? ? ?? 所以 ?? 2 ? 即 ?2a-b ? 2.

(*)

由(1)知 f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以 f'(x)≥0 对 x∈[1,2]恒成立, 则 g(x)=ax2+bx-b≥0 对 x∈[1,2]恒成立,
? g (1) ? a ? 0, ? 所以 ? g (2) ? 4a ? b ? 0.

(**)

(练习)

? b ? -4ab-b 2 b 4a ? b ?- ? 在(*),(**)的条件下可知 b<0 且 1<- 2a ≤2,且 g ? 2a ? = 4a =-b· 4a ≥0 恒成立.
?a ? 0, ?2a ? b ? 0, ? ? ?4a ? b ? 0, ? 综上,点(a,b)满足的线性约束条件是 ?2a-b ? 2.

由所有点(a,b)形成的平面区域为△OAB(如图中阴影部分所示),

?1 4? ?1 ? ? ,- ? ? ,-1? 其中 A ? 3 3 ? ,B ? 2 ? ,C(1,0),

1 ? 4 -1? 1 ? ? 则 S△OAB=S△OAC-S△OBC= 2 × ? 3 ? = 6 . 1 即由所有点(a,b)组成的平面区域的面积为 6 .
[精要点评]使用导数方法证明不等式或者研究在一定条件下的不等式问题,基本方法是通过研究函 数性质进行的,这里首先要实现问题的转化,即把不等式问题转化为函数的性质问题,再使用导数方法研 究函数的性质,如函数的单调性、函数的最值、函数的值域等.

?π? ? ? 1.若 f(x)=xsin x+cos x,则 f(-3),f ? 2 ? ,f(2)的大小关系为 ?π? ? ? [答案]f(-3)<f(2)<f ? 2 ?

.

[解析]由题设知,函数 f(x)为偶函数,因此 f(-3)=f(3).又 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当 x∈

? π? ?π ? ?π ? ? 0, ? ? ,π ? ? ,π ? ? 2 ? 时,f'(x)>0,当 x∈ ? 2 ? 时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间 ? 2 ? 上是减函数.所以 f ?π? ? ? ? 2 ? >f(2)>f(3)=f(-3).

2.对于函数 y=f(x),若存在区间[a,b],当 x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0),则称 y=f(x)为 k 倍值函数. 若 f(x)=ln x+x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是 .

(第 2 题)

1? ? ?1,1 ? ? e? [答案] ?
?lna ? a ? ka, 1 ? [解析]因为 f'(x)= x +1>0(x>0),所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以 ?lnb ? b ? kb, 即 a,b 是方程 ln

lnx lnx x+x=kx 的两个不相等的正实数根,问题等价于方程 k-1= x 有两个不相等的正实数根.设 g(x)= x ,易得 1 g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,作出 g(x)的大致图象如图所示,由图象可知,0<k-1< e ,
1? ? ?1,1 ? ? e?. 所以 k∈ ?

?(2 x-x 2 )e x ,x ? 0, ? 2 - x ? 4 x ? 3,x ? 0, 3.(2014· 苏锡常镇连徐调研(一))已知函数 f(x)= ? g(x)=f(x)+2k,若函数 g(x)恰有两个

不同的零点,则实数 k 的取值范围为

.

2 ? 1? ? ? ? 7 3? ? 0, ? ,2 ? ? ? ? e ? ? [答案] ? 2 2 ? ∪ ?

(第 3 题)
- 2 [解析]当 x≤0 时,f'(x)=(2-x2)ex,当 x=- 2 时取得极小值 f(- 2 )=-2( 2 +1) e .当 x<0 时,f(x)<0,

且 f(0)=0,函数 f(x)的图象如图所示,函数 g(x)恰有两个不同的零点,就是 f(x)的图象与直线 y=-2k 有

? ? 2 ? 1? ? 7 3? ? 0, ? ? ,2 ? ? ? - 2 e ?. 2 2 2 ? ? ? ? 两个不同的交点,所以 3<-2k<7 或-2k=0 或-2k=-2( +1) e ,即 k∈ ∪

4.(2014·扬州期末)从旅游景点 A 到 B 有一条 100 km 的水路,某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知 游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比,其他费用为每小时 3 240 元,游轮最大时速为 50 km/h, 当游轮速度为 10 km/h 时,燃料费用为每小时 60 元,单程票价定为 150 元/人. (1)若一艘游轮单程以 40 km/h 的速度航行,所载游客为 180 人,则轮船公司获利是多少? (2)如果轮船公司要获得最大利润,那么游轮的航速为多少?

[解答]设游轮以 v km/h 的速度航行,游轮单程航行的总费用为 f(v)(单位:元),游轮的燃料费用为每小时 k·v3 元.

3 依题意得 k·10 =60,则 k= 50 ,
3

3 100 100 324000 所以 f(v)= 50 v3· v +3 240· v =6v2+ v (0<v≤50). 324000 (1)当 v=40 时,f(v)=6×402+ 40 =17 700(元).
则轮船公司获得的利润是 150×180-17 700=9 300(元).

324000 12(v3 -27000) 2 v2 (2)f'(v)=12v- v = .
令 f'(v)=0,得 v=30. 当 0<v<30 时,f'(v)<0,此时 f(v)单调递减; 当 30<v≤50 时,f'(v)>0,此时 f(v)单调递增. 故当 v=30 时,f(v)取极小值,也是最小值,为 f(30)=16 200. 所以轮船公司要获得最大利润,则游轮的航速应为 30 km/h.

融会贯通

能力提升

(2014·南京学情调研)已知函数 f(x)=ax2-ln x(a 为常数).

1 (1)当 a= 2 时,求 f(x)的单调减区间;
(2)若 a<0,且对任意的 x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x 恒成立,求实数 a 的取值范围. [思维引导]

[规范解答](1)f(x)的定义域为(0,+∞),

1 2ax 2 -1 f'(x)=2ax- x = x .

x 2 -1 1 当 a= 2 时,f'(x)= x .................................................................................................................2 分
由 f'(x)<0 及 x>0,解得 0<x<1,

所以函数 f(x)的单调减区间为(0,1).............................................4 分 (2)方法一:设 F(x)=f(x)-(a-2)x=ax2-ln x-(a-2)x. 因为对任意的 x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x 恒成立, 所以当 x∈[1,e]时,F(x)≥0 恒成立.

2ax 2 -(a-2)x-1 (ax ? 1)(2 x-1) 1 x x F'(x)=2ax- x -(a-2)= = .
1 1 因为 a<0,令 F'(x)=0,得 x1=- a ,x2= 2 <1...........................................7 分 1 当 0<- a ≤1,即 a≤-1 时,因为 x∈(1,e),所以 F'(x)<0,
所以 F(x)在(1,e)上单调递减.

因为对任意的 x∈[1,e],F(x)≥0 恒成立, 所以 F(x)min=F(e)≥0,

1-2e 2 即 ae2-1-(a-2)e≥0,得 a≥ e -e .

1-2e 2 因为 e -e >-1,
所以此时 a 不存在.......................................................................................................................10 分

1 1 ②当 1<- a <e,即-1<a<- e 时,
? 1? ? 1 ? ?1,- ? ? - ,e ? a ? ? 因为 x∈ 时,F'(x)>0,x∈ ? a ? 时,F'(x)<0, ? 1? ? 1 ? ?1,- ? ? - ,e ? 所以 F(x)在 ? a ? 上单调递增,在 ? a ? 上单调递减.

因为对任意的 x∈[1,e],F(x)≥0 恒成立, 所以 F(1)=2>0,且 F(e)≥0,

1-2e 2 即 ae2-1-(a-2)e≥0,解得 a≥ e -e . 1-2e 1 2 因为-1< e -e <- e , 1-2e 1 2 所以 e -e ≤a<- e ..........................................................................................................................13 分 1 1 ③当- a ≥e,即- e ≤a<0 时,因为 x∈(1,e),所以 F'(x)>0,
所以 F(x)在(1,e)上单调递增,由于 F(1)=2>0,符合题意.15 分
? 1-2e ? ? 2 ,0 ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 ? e -e ? ...........................................16 分

方法二:因为 f(x)≥(a-2)x 在 x∈[1,e]上恒成立, 即 a(x2-x)≥ln x-2x 在 x∈[1,e]上恒成立,

①当 x=1 时,此不等式恒成立,故此时 a∈R......................................................................................6 分

lnx-2 x 2 ②当 x∈(1,e]时,a≥ x -x 在 x∈(1,e]上恒成立, lnx-2 x 2 令 g(x)= x -x ,x∈(1,e],

(2 x-1)[(x ? 1)-lnx] (x 2 -x) 2 则 g'(x)= ,.........................................................................................................9 分
令 h(x)=x+1-ln x,x∈(1,e],

1 x-1 则 h'(x)=1- x = x >0 在 x∈(1,e]上恒成立,
故 h(x)在 x∈(1,e]上单调递增,从而 h(x)>h(1)=2>0...............................................................12 分 从而知,当 x∈(1,e]时,g'(x)>0 恒成立, 故 g(x)在(1,e]上单调递增,.........................................................................................................14 分

1-2e 1-2e 2 2 所以 g(x)max=g(e)= e -e ,故 a≥ e -e ,
? 1-2e ? ? 2 ,0 ? 又 a<0,故实数 a 的取值范围是 ? e -e ? .......................................................................................16 分

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第 37~38 页.

第 19 课
一、 填空题

导数的综合应用
.

1.若函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

2.已知函数 f(x)=x3-3a2x+1 的图象与直线 y=3 只有一个公共点,那么实数 a 的取值范围是

.

3. 已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M 与 m,则 M-m=

.

4.若函数 y=m 与 y=3x-x3 的图象有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围为

.

5. 若 P 是曲线 y=x2-ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y=x-2 的最小距离为

.

6. 已知 a∈R,且函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的极值点,那么实数 a 的取值范围是

.

7.(2014·河北质检)已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上,那么当正六棱柱的体积最大 时,其高为 .

f (x) 8.(2014·石家庄模拟)已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f'(x),当 x≠0 时,f'(x)+ x >0.若 1 ?1? 1 ? ? a= 2 f ? 2 ? ,b=-2f(-2),c=ln 2 ·f(ln 2),则 a,b,c 的大小关系是

.

二、 解答题 9. (2014·南京一中)甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向 乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(单位:元) 与年产量 t(单位:t)满足函数关系 x=2 000 t .若乙方每生产 1 t 产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔 付价格). (1)将乙方的年利润ω (单位:元)表示为年产量 t 的函数,并求出乙方获得最大利润时的年产量. (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行 生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是多少?

10.已知函数 f(x)=x2+ln x. (1)求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;

2 1 3 (2)求证:当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)的图象在函数 g(x)= 3 x + 2 x2 图象的下方.

9x 2 11.(2014·深圳一模)已知函数 f(x)= 1 ? ax (a>0).
?1 ? ? 2 ,2 ? ? 上的最大值; (1)求 f(x)在 ?
(2)若直线 y=-x+2a 为曲线 y=f(x)的切线,求实数 a 的值.

第 19 课
1.(-∞,0] ≤0.

导数的综合应用

[解析]y'=3ax2-1,因为函数 y=ax3-x 在 R 上是减函数,所以 3ax2-1≤0 在 R 上恒成立,所以 a

2.(-1,1)

[解析]f'(x)=3x2-3a2,令 f'(x)=0,则 x=±a.由题意知当 a<0 时,f(a)=a3-3a3+1<3,即 a3>-1,所

以-1<a<0;当 a=0 时,成立;当 a>0 时,f(-a)=-a3+3a3+1<3,即 a3<1,所以 0<a<1.故实数 a 的取值范围为 (-1,1).

3. 32

[解析]f'(x)=3x2-12,令 f'(x)=0, 解得 x=±2. 因为 f(2)=-8,f(-2)=24,f(-3)=17,f(3)=-1, 所

以 M-m=32.

4.(-2,2)

[解析]y'=3(1-x)(1+x),令 y'=0,得 x=±1,所以 y

极大值

=2,y

极小值

=-2,作出函数 y=3x-x3 和 y=m

的图象(如图),根据图象知-2<m<2.

(第 4 题)

5.

2

1 1 1 [解析]设切点为(x0,y0),x0>0,y'=2x- x .由于 2x0- x0 =1,解得 x0=1 或 x0=- 2 (舍去),所以切点坐

标为(1,1).由点到直线的距离公式求得 d= 2 .

6. (-∞,-1) [解析]y'=ex+a,由 y'=0,得 x=ln(-a).因为 x>0,所以-a>1,所以 a<-1,即实数 a 的取值范 围是(-∞,-1).

7.2 3

h2 h2 [解析]设正六棱柱的底面边长为 a,高为 h,则可得 a2+ 4 =9,即 a2=9- 4 ,那么正六棱柱的体积
2

? h 3 3 3 ? 94 2 V=6× 4 a ×h= 2 × ?

? 3 3 ? h3 ? h3 3h 2 ? ? - ? 9h ? ? h= 2 × ? 4 ? .设 y=- 4 +9h(0<h<6),则 y'=- 4 +9,令 y'=0,得

h=2 3 .易知当 h=2 3 时,y 取得最大值,此时正六棱柱的体积最大.

f (x) xf'(x) ? f (x) [xf (x)]' x 8.b>a>c [解析]由 f'(x)+ x = = x >0,得函数 F(x)=xf(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
?1? ? ? 又 f(x)是 R 上的奇函数,所以 F(x)在 R 上是偶函数,所以 b=F(-2)=F(2)>a=F ? 2 ? >0,c=-F(ln 2)<0.所以
b>a>c.

9. (1)因为赔付价格为 s 元/t, 所以乙方的实际年利润为ω =2 000 t -st.

? 103 ? 106 t ? ? s ? 2 t t ? 因为ω =2 000 -s( ) =-s + s ,
106 2 所以当 t= s 时,ω 取得最大值. 106 2 所以乙方取得最大年利润时的年产量是 s t.

2

(2)设甲方净收入为 v 元,则 v=st-0.002t2,
106 106 2 ?109 2 4 当 t= s 时,v= s - s . 106 8 ?109 106 ? (8000-s 3 ) 2 5 s5 v'=- s + s = ,

令 v'=0,得 s=20.当 s<20 时,v'>0,当 s>20 时,v'<0, 所以当 s=20 时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格为 20 元/t 时,获得最大净收入.

1 10.(1)由题意知 f'(x)=2x+ x .
当 x>1 时,f'(x)>0,故 f(x)在[1,e]上是增函数, 所以 f(x)的最小值是 f(1)=1,最大值是 f(e)=1+e2.

1 2 2 (2)令 F(x)=f(x)-g(x)= 2 x - 3 x3+ln x, 1 (1-x)(2 x 2 ? x ? 1) x 所以 F'(x)=x-2x2+ x = .
因为 x>1,所以 F'(x)<0, 所以 F(x)在(1,+∞)上是减函数.

1 又因为 F(1)=- 6 <0,所以 F(x)<0 在(1,+∞)恒成立,
即 f(x)<g(x)在(1,+∞)上恒成立. 所以当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)的图象在 g(x)图象的下方.

9(1 ? ax 2 -x ? 2ax) 9(1-ax 2 ) 2 2 (1 ? ax 2 ) 2 11.(1)f'(x)= = (1 ? ax ) ,

a 令 f'(x)=0,解得 x=± a . ?1 ? ? 2 ,2 ? ? 上的最大值为 g(a). 设 f(x)在 ? ?1 ? a 1 ? ,2 ? ①当 0<a≤ 4 时, a ≥2,由 x∈ ? 2 ? ,得 f'(x)≥0,

18 所以 g(a)=f(2)= 4a ? 1 .
?1 ? a 1 ? 2 ,2 ? ? ,得 f'(x)≤0, a 2 ②当 a≥4 时, ≤ ,由 x∈ ? ? 1 ? 18 ? ? 所以 g(a)=f ? 2 ? = a ? 4 .

?1 a ? a 1 1 ? ?2, a ? ? ? ,则 f'(x)>0, a 4 2 ③当 <a<4 时, < <2,若 x∈ ? ? a ? ? ? a ,2 ? ? ? ,则 f'(x)<0, 若 x∈ ? ? a? 9 a ? ? a ? ? ? = 2a . 所以 g(a)=f ? 1 ? 18 ? 4a ? 1 ,0 ? a ? 4 , ? ?9 a 1 , ? a ? 4, ? 2 a 4 ? ? 18 ? a ? 4 ,a ? 4. 综上,g(a)= ?
? f'(t ) ? -1, ? (2)设切点坐标为(t,f(t)),则 ? f (t ) ? -t ? 2a.
9(1-at 2 ) 2 2 由 f'(t)=-1,得 (1 ? at ) =-1,化简得 a2t4-7at2+10=0,

即 at2=2 或 at2=5.



9t 2 由 f(t)=-t+2a,得 1 ? at =2a-t. ②
53 4 由①②解得 a=2 或 a= 4 .


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