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函数的极值与导数课件



3.3.2 函数的极值与导数

学习目标
1.结合函数的图象,了解函数在某点处取得极值
的必要条件和充分条件.

2.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数
的极大值、极小值.

温故夯基

函数y=x3-x+6的单调递增区间是
3 3 (-∞,- ),(

,+∞) ________________________. 3 3

阅读教材P93---P96回答下列问题:
1,什么是极小值,什么是极大值? 各有什么特点 2,函数的极大值一定大于极小值吗? 在区间内可导函数的极大值和极小值 是惟一的吗? 不一定;不一定惟一. 3,导数为0的点都是极值点吗?
函数在一点取极值

?

? 函数在一点的导函数为0

1.极小值点与极小值 如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a) 比它在点x=a附近其他点的函数值 都 ,f′(a)= ;而且在点x=a的 左侧f′(a) 0,右侧 f′(a) 0,

知新益能
1.极小值点与极小值

如图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点
x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且 在点x=a的左侧_________,右侧________,则把 f′(x)<0 f′(x)>0 点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y= f(x)的极小值.

2.极大值点与极大值

如图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b
附近其他点的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b的 f′(x)>0 f′(x)<0 左侧________,右侧________,则把点b叫做函数y= f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大 极大值点 极小值点 极大值 值._________、_________统称为极值点,_______和 _______统称为极值. 极小值

考点突破

求已知函数的极值
求函数极值的步骤: (1)求f′(x)=0在函数定义域内的所有解; (2)用方程f′(x)=0的解将定义域分成若干小区

间,列表;
(3)由f′(x)在各个小区间内的符号,判断函数

的极值情况.

例1

求下列函数的极值:

(1)f(x)=x3-3x2-9x+5; lnx (2)f(x)= . x
【思路点拨】 从方程f′(x)=0入手,在函数的

定义域内求出此方程所有的解,判断函数在这些 点处是否存在极值,进而问题获解.

【解】

(1)f′(x)=3x2-6x-9.

解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.

当x变化时,f′(x)与f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)

f′(x)
f(x)


单调递增

0



0



10 单调递减

-22 单调递增

因此,当x=-1时函数取得极大值,且极大值
为f(-1)=10;当x=3时函数取得极小值,且极

小值为f(3)=-22.

lnx (2)函数 f(x)= x 的定义域为(0,+∞),且 f′(x) 1-lnx = , 2 x 令 f′(x)=0,得 x=e. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

(0,e) + 单调递增?

(e,+∞) e 0 - 1 e 单调递减?

1 故当 x=e 时函数取得极大值,且极大值为 f(e)= . e

变式训练

求函数f(x)=x3-12x的极值.

解:函数f(x)的定义域为R. f′(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令f′(x)=0,得x=-2或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化状态如下表:

x (-∞,-2) f′(x) + f(x) 单调递增

-2 0

(-2,2) -

2 0

(2,+∞) +

极大值 极小值 单调递减 单调递增 f(-2) f(2)

所以当x=-2时,函数有极大值,
且f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16; 当x=2时,函数有极小值, 且f(2)=23-12×2=-16.

已知极值求参数
已知函数极值情况,逆向应用确定函数的解析式,

进而研究函数性质时,注意两点:
(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方 程组,利用待定系数法求解. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合

理性.

例2

已知 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=1 与 x=

3

2

2 - 时都取得极值. 3 (1)求 a,b 的值; 3 (2)若 f(-1)= ,求 f(x)的单调区间和极值. 2 【思路点拨】 先求导数 f′(x),再令 f′(x)=0

得到关于 x 的一元二次方程,其两根为 x1=1 与 2 x2=- ,最后由一元二次方程根与系数的关系求 3 a,b 的值.

(1)f′(x)=3x2+2ax+b,令 f′(x)=0. 2 由题设,知 x1=1 与 x2=- 为 f′(x)=0 的解. 3 2 2 b 2 ∴- a=1- , =1×(- ). 3 3 3 3 1 ∴a=- ,b=-2. 2 1 2 3 (2)由(1)知 f(x)=x - x -2x+c, 2 【解】 1 3 由 f(-1)=-1- +2+c= ,得 c=1. 2 2

1 2 ∴f(x)=x - x -2x+1.∴f′(x)=3x2-x-2. 2
3

当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) 2 (-∞, - ) 3 + 2 - 3 0 2 (- ,1) 3 - 1 0 (1,+∞) +

单调递增? 极大值 单调递减? 极小值 单调递减

2 ∴f(x)的递增区间为(-∞,- )和(1,+∞),递 3 2 减区间为(- ,1). 3 2 2 49 当 x=- 时,f(x)有极大值,f(- )= ; 3 3 27 1 当 x=1 时,f(x)有极小值,f(1)=- . 2

函数极值的综合应用 极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆 用,以及与单调性问题的综合,题目着重考查已 知与未知的转化,以及函数与方程的思想、分类 讨论的思想在解题中的应用,在解题过程中,熟 练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策 略是解决综合问题的关键.

例3 设函数f(x)=x3-6x+5,x∈R.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求

实数a的取值范围.
【思路点拨】 (1)利用导数求单调区间和极值.

(2)由(1)的结论,问题转化为y=f(x)和y=a的图象
有3个不同的交点,利用数形结合的方法求解.

【解】

(1)f′(x)=3x2-6,令 f′(x)=0,

解得 x1=- 2,x2= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0; 当- 2<x< 2时,f′(x)<0. 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2)和( 2, +∞);单调递减区间为(- 2, 2). 当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2.

(2)由(1)的分析知 y=f(x)的图象的 大致形状及走向如图所示.所以, 当 5-4 2<a<5+4 2时, 直线 y =a 与 y=f(x)的图象有三个不同 交点,即方程 f(x)=a 有三个不同 的解.

【名师点评】

用求导的方法确定方程根的个数,

是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况,
运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点

个数,从而判断方程根的个数.

方法感悟

1.极值的概念理解
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点指 的是自变量的值,极值指的是函数值.请注意以

下几点:
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个

点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或 最小.

(2)函数的极值不一定是惟一的,即一个函数在某 个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止 一个. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一

个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,
x1是极大值点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).

2.极值点与导数为零的点

(1)可导函数的极值点是导数为零的点,但是导数
为零的点不一定是极值点,即“点x0是可导函数 f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分但不必要 条件; (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是

f′(x0)=0,且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.
如果在x0的两侧f′(x)的符号相同,则x0不是极值 点.



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