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(3)函数的单调性与最值



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第三节

函数的单调性与最值

一、函数的单调性 1.单调函数的定义 增函数 减函数

设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, 定义 x2

当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是增函数 图象 描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么就说函 数 f(x)在区间 D 上是减函数

2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 二、函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最小值

1.(2012· 陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y= x B.y=-x3 D.y=x|x| )

)

2.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则(

1

凡诺学堂?专业教辅?新课标高考数学专版?合订本?数学 数学教研组编写 1 A.k> 2 1 C.k>- 2 3.(教材习题改编)函数 f(x)= 4 A. 5 3 C. 4 1 B.k< 2 1 D.k<- 2 1 的最大值是( 1-x?1-x? 5 B. 4 4 D. 3 )

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4. (教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为________; f(x)max=________.

?1?? 5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,若 m<n,则 f(m)______f(n);若 f? ??x??<f(1),则实数
x 的取值范围是______.

1.函数的单调性是局部性质 从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质,是局部的特 征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调. 2.函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间, 所以求解函数的单调区间, 必须先求出函数 的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函 数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简 单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间. [注意] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分 别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.

凡诺学堂专题训练一

函数单调性的判断

典题导入 1 [例 1] 证明函数 f(x)=2x- 在(-∞,0)上是增函数. x

2

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由题悟法 对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明; (2)可导函数则可以利用导数证明. 对于抽象函数单调性的证明, 一般采用定义法进行. 以题试法 -2x 1.判断函数 g(x)= 在 (1,+∞)上的单调性. x-1



凡诺学堂专题训练二

求函数的单调区间

典题导入 [例 2] (2012· 长沙模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 k,定
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 - 义函数 fk(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为 2 ? ?k,f?x?>k,

(

) A.(-∞,0) C.(-∞,-1) B.(0,+∞) D.(1,+∞)

若本例中 f(x)=2

-|x|

变为 f(x)=log2|x|, 其他条件不变, 则 fk(x)的单调增区间为________.

由题悟法 求函数的单调区间的常用方法
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(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义. (3)图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性 写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间. 以题试法 2.函数 f(x)=|x-2|x 的单调减区间是( A.[1,2] C.[0,2] )

B.[-1,0] D.[2,+∞) 凡诺学堂专题训练三 单调性的应用

典题导入 [例 3] (1)若 f(x)为 R 上的增函数, 则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范围是________. (2)(2012· 安徽高考)若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a=________. 由题悟法 单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解题时 要注意:一是函数定义域的限制;二是函数单调性的判定;三是等价转化思想与数形结合思 想的运用. 以题试法 3. (1)(2013· 孝感调研)函数 f(x)= 1 在[2,3]上的最小值为________, 最大值为________. x-1

1 ? 1 1 ?1 ? 则 a=__________. (2)已知函数 f(x)= - (a>0, x>0), 若 f(x)在? ?2,2?上的值域为?2,2?, a x

1.(2012· 广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) 1?x C.y=? ?2? B.y=- x+1 1 D.y=x+ x

)

2. 若函数 f(x)=4x2-mx+5 在[-2, +∞)上递增, 在(-∞, -2]上递减, 则 f(1)=( A.-7 C.17
4

)

B.1 D.25

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b 3.(2013· 佛山月考)若函数 y=ax 与 y=- 在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx x 在(0,+∞)上是( A.增函数 C.先增后减 ) B.减函数 D.先减后增 )

4.“函数 f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.(2012· 青岛模拟)已知奇函数 f(x)对任意的正实数 x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)- f(x2))>0,则一定正确的是( A.f(4)>f(-6) C.f(-4)>f(-6) ) B.f(-4)<f(-6) D.f(4)<f(-6)

6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在[a, b]上有( ) B.最大值 f(b) D.最大值 f? a+b? ? 2 ?

A.最小值 f(a) C.最小值 f(b)

7.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________. 8.(2012· 台州模拟)若函数 y=|2x-1|,在(-∞,m]上单调递减,则 m 的取值范围是 ________. ax+1 9.若 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________. x+2 10.求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=a1-2x-x2(a>0 且 a≠1).

11.已知 f(x)=

x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

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12.(2011· 上海高考)已知函数 f(x)=a· 2x+b· 3x,其中常数 a,b 满足 ab≠0. (1)若 ab>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 ab<0,求 f(x+1)>f(x)时 x 的取值范围.

1.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有( 1? ?1? A.f? ?3?<f(2)<f?2? 1? ?1? C.f? ?2?<f?3?<f(2) 1? ?1? B.f? ?2?<f(2)<f?3? 1? ?1? D.f(2)<f? ?2?<f?3?

)

m 2.(2012· 黄冈模拟)已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 的值 M 为( ) 1 A. 4 C. 2 2 1 B. 2 D. 3 2

x? 3.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f? ?y?=f(x)-f(y),当 x>1 时, 有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明; (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域.

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