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山西省忻州市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题



忻州一中 2015 ? 2016 学年度第一学期期中考试

高二数学(理科)试题
一.选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题 5 分,共 60 分) 1.直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角为 A. 30
0

B. 600

C. 1200

D. 15

00

2.在 ?ABC 中, “ AB ? AC ? 0 ”是“ ?ABC 为锐角三角形”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

(0, 2) 3. 在平面直角坐标系中,点 与点 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 (4,0)
A. x ? 2 y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 3 ? 0 4.已知两个不同的平面 ?、? 和两条不重合的直线 m、n ,有下列四个命题: ①若 m // n , m ? ? ,则 n ? ? ; ③若 m // n , n ? ? ,则 m // ? ; 其中正确命题的个数是 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 5. 执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 4, 则输出的结果是 ②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; ④若 m // ? ,α ∩ β = n ,则 m // n . 开始 输入 x

1 2 13 5 C. ? D. ? 8 4 2 2 6.直线 kx ? y ? k ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 0 有公共点,
A. 1 B. ? 则实数 k 的取值范围是 A. [?

y?

1 x ?1 2

x? y


| x ? y |? 1 ?
是 输出 y 结束

3 3 , ] 3 3

B. (??,?

3 3 ] ? [ ,??) 3 3

C. [? 3, 3]

D. (??,? 3] ? [ 3,??)

7. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列结论错误 的是 .. A. AC ∥平面 A1 BC1 C. AC1 ? BD B. BC1 ⊥平面 A1 B1CD D. 异面直线 AD1 与 DC1 所成的角为 45
0

→ → 2 2 8. 已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A、 B 两不同点,O 是坐标原点,向量OA、 OB满足 → → → → |OA+OB|=|OA?OB|,则实数 a 的值是 A. ?2 B. 2 D. ?2

C. ? 6

9.某四面体的三视图如图所示,该四面体的六条棱长中

长度最长的是 A.

6

B.

7

C. 2 2

D. 3

10. 过点 M (1,2) 的直线 l 将圆: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 9 分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线 l 的方程为 A. x ? 1 B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

11. 已知函数 f ( x) ? 下列说法正确的是 A. 在 [

3 sin ?x ? 2 cos 2

?x
2

?( 1 ? ? 0) 的最小正周期为 ? .对于函数 f ( x) ,
5? 对称 12

? 2?
6 , 3

] 上是增函数

B. 图象关于直线 x ?

C. 图象关于点 ( ?

?
3

,0) 对称

? 个单位,所得函数图象关于 y 轴对称 6 12.在三棱锥 S ? ABC 中, SA ? 平面 ABC , SA ? 4, 底面 ?ABC 是边长为 3 的正三角形,则
D. 把函数 f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移 三棱锥 S ? ABC 的外接球的表面积为 A. 19? B. 28? C. 43? D. 76?

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 点 P( x, y ) 是圆 (x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 1 的任一点,则 x 2 ? y 2 的最小值为_______. 14.命题 p : ?x ? [0, ? ], 使 sin( x ?

) ? a 成立,则实数 a 的取值范围为___________. 3 15. 在梯形 ABCD 中, AB ? BC, AD // BC, BC ? 2 AD ? 2 AB ? 4, 将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为____________.
16.圆 x ? y ? 16 的切线与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,则 | AB | 最小值为
2 2

?

_____________. 三.解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写 在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17. (本小题满分 10 分)
* 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的前 n 项和为 S 若 S 3 ? a4 ? 2 , 且 a1 , a3 , a13 ( n n?N ),

成等比数列 (1) 求 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn . an an?1
P

18. (本小题满分 12 分)

M C

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD ,

AB ∥ DC, ?PAD 是正三角形,已知 BD ? 2 AD ? 8,

AB ? 2DC ? 4 5
(1) 设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD ? 平面 PAD ; (2) 求四棱锥 P ? ABCD 的体积. 19. (本小题满分 12 分) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,他们在培训期间 8 次模拟考试的成绩如下: 甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85 (1) 画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生甲成绩的中位数和学生乙成绩的众数; (2) 求学生乙成绩的平均数和方差; (3) 从甲同学超过 80 分的 6 个成绩中任取两个,求这两个成绩中至少有一个超过 90 分的 概率. 20. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 b ? (1) 求角 A ;

1 c ? a cos C 2

4 b ? c) ? 3bc , a ? 2 3 ,求 ?ABC 的面积 S . (2) 若 (
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x | x ? m | ?4, m ? R (1) 若 g ( x) ? f ( x) ? 4 为奇函数,求实数 m 的值; (2) 当 m ? ?3 时,求函数 f ( x) 在 x ? [2,4] 上的值域; (3) 若 f ( x) ? 0 对 x ? (0,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围. 22. (本小题满分 12 分) 圆 C 满足:①圆心 C 在射线 y ? 2 x(x ? 0) 上; ②与 x 轴相切; ③被直线

y ? x ? 2 截得的线段长为 14
(1) 求圆 C 的方程; (2) 过直线 x ? y ? 3 ? 0 上一点 P 作圆 C 的切线,设切点为 E、F,求四边形 PECF 面积的 最小值,并求此时 PE ? PF 的值. 附加题(每小题 5 分,共 15 分)
2 2 23.直线 y ? x ? m 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 M、N ,且 | MN |? 3 | OM ? ON | ,

其中 O 为坐标原点,则实数 m 的取值范围是___________.

24.已知矩形 ABCD 顶点都在半径为 R 的球 O 的表面上,且 AB ? 3,BC ? 3 ,棱锥

O? ABCD 的体积为 3 2 ,则 R ? ___________.
2 25.函数 y ? 1 ? ( x ? 2) 图象上存在不同三点到原点的距离构成等比数列,则以下

不可能 成为公比的数是 ... A.

3 2

B.

1 2

C.

3 3

D.

3

忻州一中 2015 ? 2016 学年度第一学期期中考试

高二数学(理科)参考答案及评分标准
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1-5: DBCBC 6-10: ADACD 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 4 14. a ? ? 11-12:DB

3 2

15.

40? 3

16. 8

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (10 分)解:(1) 设等差数列 {an } 的公差为 d , 由 S 3 ? a4 ? 2 得: 3a1 ? 3d ? a1 ? 3d ? 2 又∵ a1 , a3 , a13 成等比数列 ∴ a3 ? a1a13 即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 12d ) ∴ an ? 1 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 (2) bn ? 得: d ? 2 ………4 分 ………5 分 ………7 分
2

∴ a1 ? 1

………2 分

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ?

1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? )] 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ]? = [1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1

………10 分

18.解:(12 分)(1)在△ABD 中,AD=4,BD=8,AB= 4 5

? AD 2 ? BD 2 ? AB 2 故 AD ? BD

………2 分

又? 平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ∩平面 ABCD =AD, BD ? 平面 ABCD ∴ BD ? 平面 PAD 又 BD ? 平面 MBD ∴平面 MBD ? 平面 PAD ………4 分 ………5 分

(2)过 P 作 PO ? AD 交 AD 于 O, ? 平面 PAD ? 平面 ABCD ∴ PO ? 平面 ABCD ∴PO 为四棱锥 P ? ABCD 的高,且 PO=2 3 又四边形 ABCD 是梯形,且 Rt△ADB 斜边 AB 上的高为 ………8 分

4?8 8 5 即为梯形 ABCD 的高 ∴ ? 5 4 5
………10 分 ………12 分

梯形 ABCD 的面积为 S ? 故 VP ? ABCD ?

2 5?4 5 8 5 ? ? 24 2 5

1 ? 24 ? 2 3 ? 16 3 3

19. (12 分)解: (1)茎叶图如下:

???2 分 学生甲成绩中位数为 83,学生乙成绩众数为 8 (2) x乙 ? (75 ? 80 ? 2 ? 83 ? 85 ? 90 ? 92 ? 95) =85 ???4 分 ???6 分

1 8

1 2 S乙 ? [( 75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (83 ? 85) 2 ? (85 ? 85) 2 8

? (90 ? 85) 2 ? (92 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] =41
(3)甲同学超过 80 分的成绩有 82 81 95 88 93 84,

???8 分

任取两次成绩, 所有基本事件为: (82,81) , (82,95) , (82,88) , (82,93) , (82,84) , (81,95) , (81,88) , (81,93) , (81,84) , (95,88) , (95, 93) , (95,84) , (88,93) , (88,84) ,(93,84) 共 15 个 ???10 分

其中至少有一次超过 90 分的基本事件为: (82,95) (82,93) (81,95) (81,93) (95,88) , (95,93) , (95,84) , (88,93) (93,84)共 9 个。 ∴这两次成绩中至少有一次超过 90 分的概率为 ???11 分 ???12 分

9 3 ? . 15 5

20. (12 分)解:(1)由正弦定理得: sin B ?

1 sin C ? sin A cos C 2 1 又∵ sin B ? sin( A ? C ) ∴ sin( A ? C ) ? sin C ? sin A cos C 2 1 即 cos A sin C ? sin C 2 1 0 又∵ sin C ? 0 ∴ cos A ? 又 A 是内角 ∴ A ? 60 2

???2 分

???4 分 ???6 分

(2)由余弦定理得: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ? b 2 ? c 2 ? bc ? (b ? c) 2 ? 3bc ???8 分 ∴ (b ? c) 2 ? 4(b ? c) ? 12 ∴S ? 得: b ? c ? 6 ∴ bc ? 8 ???10 分

1 1 3 bcsin A ? ? 8 ? ?2 3 2 2 2

???12 分

21. (12 分)解:(1) g ( x) ? f ( x) ? 4 ? x | x ? m | , 若函数 g ( x) 为奇函数,则 g (? x) ? ? g ( x) ∴ ? x | ? x ? m |? ? x | x ? m | 即 x(| x ? m | ? | x ? m |) ? 0 对 x ? R 恒成立

∴ | x ? m | ? | x ? m |? 0 ? (x ? m) 2 ? ( x ? m) 2 即 mx ? 0 对 x ? R 恒成立 ∴m ?0 ???4 分

? x 2 ? 3x ? 4, x ?[3,4] (2) 当 m ? ?3 时, y ? f ( x) ? x | x ? 3 | ?4 ? ? 2 ?? x ? 3x ? 4, x ?[2,3)
当 x ?[3,4] 时, y ? x ? 3x ? 4 在 [3,4] 上为增函数 ∴ y ?[?4,0]
2 2

???6 分

( ? 4,?2] ???7 分 当 x ? [2,3) 时, y ? ? x ? 3x ? 4 在 [2,3) 上为减函数 ∴ y ? (? 4,?2] ? [?4,0] ∴函数 f ( x) 在 x ? [2,4] 上的值域 [?4,0] ?
(3) f ( x) ? 0 即为 x | x ? m | -4 ? 0 即? ???8 分

? x ? (0,1] ? 等价于 | x ? m |?

4 x

4 4 4 4 ? x?m? 即 ? ( x ? ) ? m ? ? x 对 x ? (0,1] 恒成立 ???10 分 x x x x 4 令 h( x ) ? ?( x ? ) ,则 h( x) 在 (0,1] 上是增函数,? h( x) max ? h(1) ? ?5 x m ? ? 5 ???11 分 ? 4 再令令 t ( x) ? ? x ,则 t ( x) 在 (0,1] 上是减函数,? t ( x) min ? t (1) ? 3 x ?m?3 综上,实数 m 的取值范围是 ? 5 ? m ? 3 ???12 分

(a,2a)(a ? 0) ,半径为 r . 22. (12 分)解:(1) 圆心 C 的坐标为

?r ? 2a ? 则有 ? 2 14 2 a ? 2a ? 2 2 r ? ( ) ?( ) ? 2 2 ?
∴圆 C 的方程为 (x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4

解得 ?

?a ? 1 ?r ? 2

???4 分

???5 分

2 2 2 (2) 由切线的性质知:四边形 PECF 的面积 S=|PE|?r=r | PC | ?r = 2 | PC | ?4

∴四边形 PECF 的面积取最小值时,|PC|最小, 即为圆心 C(1,2)到直线 x+y+3=0 的距离 d=3 2. ∴|PC|最小为 3 2 ∴四边形 PEMF 的面积 S 的最小值为 2 14 → → 此时|PE|=|PF|= 14 ,设∠CPE=∠CPF=α , 则 sin ? ?

???8 分

???10 分

r 2 ? | PC | 3

???11 分 ???12 分

2 2 5 14 → → ∴ PE ? PF =|PE|2cos2 ?=|PE|2 (1-2sin2 ?)= 14(1 ? 2( ) )? 3 9
附加题: (每小题 5 分,共 15 分) 23. [? 2 , 2 ] 24. 3 25. B



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