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高考文科数学试题重组解答题前4题规范训练(新课改)共10套



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高三文科数学

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2009~2010 年高考解答题规范训练(1)
1、已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最

小值

2、 (本小题共 13 分) 已知 ?an ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?bn ? 的前 n 项和公式

1

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3、如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1 (Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BD 饿;

4、 设定函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1,4。 3

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。

2

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2009~2010 年高考解答题规范训练(2)
1、等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

2、袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

3

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3、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |?

?

2 ?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; (I)若 cos cos, ? ? sin 4 4

?

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的 3

解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。

4、如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将

?

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

4

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2009~2010 年高考解答题规范训练(3)
1.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

2. 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (Ⅱ)当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时, 求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

5

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3.设函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ? b(a ? 0) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点.

4.已知双曲线 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 。 2 a b 3

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, 且线段 AB 的中点在圆 x2 ? y 2 ? 5 B, 上,求 m 的值.

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2009~2010 年高考解答题规范训练(4)
1、为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所 高校 A,B,C 的相关人员中, 抽取若干人组成研究小组、 有关数据见下表(单位:人) (I) 求 x,y ; (II) 若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题 发言,求这二人都来自高校 C 的概率。

2、设函数 f ( x) ? 6 x3 ? 3(a ? 2) x2 ? 2ax . (1)若 f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) 是 (??, ??) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值; 若不存在,说明理由.

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3、如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深

AD ? 80m , 于 B 处 测 得 水 深 BE ? 200m , 于 C 处 测 得 水 深
CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。

4、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积。

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2009~2010 年高考解答题规范训练(5)
1、在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

2、如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等 分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

3、围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。

2

9

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4、已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== n 项和 Sn

a2+a7=16.

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列{bn}的前 2 2 2 2n

2009~2010 年高考解答题规范训练(6)
1、等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n

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2、 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形,PA ? 平面 ABCD ,PA ? AD ? 4 ,AB ? 2 . BD 以 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.

3、椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ?F AF2 的角平分线所在直线的方程。 1

1 。 2

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4、函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24 a,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。

2009~2010 年高考解答题规范训练(7)
1、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图象上一

2? , ?2) . 3

w.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

12

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2、 已知函数 f ( x) ? x4 ? 3x2 ? 6 . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y ? f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程

3、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°。E 为 线段 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A’DE,使平面 A’DE ⊥平面 BCD,F 为线段 A’C 的中点。 (Ⅰ)求证:BF∥平面 A’DE; (Ⅱ)设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A’DE 所成角的 余弦值。

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4、等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

?

,点 (n, Sn ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 )

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

2009~2010 年高考解答题规范训练(8)
1、在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

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2、已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

3、 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 2 1 ? 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ? 2 ( n ? N 0),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1 0 9 0 4 2 3

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4、如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A BC1 ; 1 (Ⅱ)设 D 是 AC1 上的点,且 A B // 平面 B1CD ,求 A D : DC1 的值. 1 1 1

2009~2010 年高考解答题规范训练(9)
? ? ? 1.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) ? ? ? (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; ? ? (2)求 | b ? c | 的最大值; ? ? (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .

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2、在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A B 、 AC 的中点,点 D 在 B1C1 上, A D ? B1C 1 1 1 。 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A FD ? 平面 BB1C1C . 1

9 2 x ? 6x ? a . 2 (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.
3、设函数 f ( x) ? x ?
3



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4、已知某地今年初拥有居民住房的总面积为 a (单位: m ) ,其中有部分旧住房需要拆除. 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同时也拆除面积为 b (单位: m )的 旧住房. (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式; (Ⅱ) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6)
2

2

2009~2010 年高考解答题规范训练(10)
1、为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况,从这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼,称得每条 鱼的质量(单位:千克) ,并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示) (Ⅰ)自作表格中填写相应的频率; (Ⅱ)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少; (Ⅲ)将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库,几天后再从水 库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼,其中带有记号的鱼有 6 条,请根据这 一情况来估计该水库中鱼的总条数。

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2 、 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 等 腰 梯 形 , AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足为 H , PH 是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ) AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体 若 积。

3、设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1, 0 ? x ?

?
2

,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

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4、为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基地,视 冰川面为平面形, 以过 A、 两点的直线为 x 轴, B 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 (图 4) 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 求考察区域边界曲线的方程: (I) 如图 4 所示,设线段 PP 是 1 2 冰川的部分边界线 (不考虑其 他边界) ,当冰川融化时,边 界线沿与其垂直的方向朝考 察区域平行移动, 第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离 为前一年的 2 倍。问:经过多 长时间, A 恰好在冰川边界 点 线上?

2009~2010 年高考解答题规范训练(1)
1、已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin 2 x (Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值 解: (Ⅰ) f ( ) ? 2 cos

?

3

2? ? 3 1 ? sin 2 = ?1 ? ? ? 3 3 4 4
2 2

(Ⅱ) f ( x) ? 2(2cos x ?1) ? (1 ? cos x)

? 3cos2 x ?1, x ? R
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因为 cos x?? ?1,1? ,所以,当 cos x ? ?1 时 f ( x ) 取最大值 2;当 cos x ? 0 时, f ( x ) 去最小值-1。 2、 (本小题共 13 分) 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ?

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) 1? q

3、如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF//AC,AB= 2 ,CE=EF=1 (Ⅰ)求证:AF//平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDF; 证明: (Ⅰ)设 AC 于 BD 交于点 G。因为 EF∥AG,且 EF=1, AG=

1 AG=1 2

所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF∥EG 因为 EG ? 平面 BDE,AF ? 平面 BDE, 所以 AF∥平面 BDE
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(Ⅱ)连接 FG。因为 EF∥CG,EF=CG=1,且 CE=1,所以平行四边形 CEFG 为菱形。所以 CF⊥EG. 因为四边形 ABCD 为正方形, 所以 BD⊥AC.又因为平面 ACEF⊥平面 ABCD,且平面 ACEF∩平面 ABCD=AC,所以 BD⊥平面 ACEF.所以 CF⊥BD.又 BD∩EG=G,所以 CF⊥平面 BDE. 4、 设定函数 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) ,且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1,4。 3

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。 解:由 f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 得 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c 3

因为 f ?( x) ? 9x ? ax2 ? 2bx ? c ? 9x ? 0 的两个根分别为 1,4, 所以 ?

?a ? 2b ? c ? 9 ? 0 ?16a ? 8b ? c ? 36 ? 0

(*)

(Ⅰ)当 a ? 3 时,又由(*)式得 ? 解得 b ? ?3, c ? 12

?2b ? c ? 6 ? 0 ?8b ? c ? 12 ? 0

又因为曲线 y ? f ( x) 过原点,所以 d ? 0 故 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 12 x ( Ⅱ ) 由 于 a>0, 所 以 “ f ( x) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 在 ( - ∞ , + ∞ ) 内 无 极 值 点 ” 等 价 于 3

“ f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在(-∞,+∞)内恒成立” 。 由(*)式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a 。 又 ? ? (2b)2 ? 4ac ? 9(a ?1)(a ? 9) 解?

?a ? 0 ?? ? 9(a ? 1)(a ? 9) ? 0

得 a ??1,9?

2009~2010 年高考解答题规范训练(2)09 福建
1、等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式;
22
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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(Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。 解: (I)设 {an } 的公比为 q 由已知得 16 ? 2q3 ,解得 q ? 2 (Ⅱ)由(I)得 a2 ? 8 , a5 ? 32 ,则 b3 ? 8 , b5 ? 32 设 {bn } 的公差为 d ,则有 ?

?b1 ? 2d ? 8 ?b1 ? ?16 解得 ? ? d ? 12 ?b1 ? 4d ? 32

从而 bn ? ?16 ? 12(n ?1) ? 12n ? 28 所以数列 {bn } 的前 n 项和 S n ?

n(?16 ? 12n ? 28) ? 6n 2 ? 22n 2
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

2、袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现一次有放回地随机摸取 3 次,每次摸取一个球 (I)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (Ⅱ)若摸到红球时得 2 分,摸到黑球时得 1 分,求 3 次摸球所得总分为 5 的概率。 解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、、 )(红、红、黑)(红、黑、红)(红、黑、黑)(黑、红、红)(黑、红、 、 、 、 、 黑)(黑、黑、红)(黑、黑、黑) 、 、 (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑)(红、黑、红)(黑、红、红)事件 A 包含的基 、 、 本事件数为 3 由(I)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P( A) ? 3、已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ), 其中 ? ? 0 , | ? |? (I)若 cos

?
2

3 8

?
4

cos, ? ? sin

?? sin ? ? 0, 求 ? 的值; 4

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

(Ⅱ)在(I)的条件下,若函数 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于

? ,求函数 f ( x ) 的 3

解析式;并求最小正实数 m ,使得函数 f ( x ) 的图像象左平移 m 个单位所对应的函数是偶函数。 解法一: (I)由 cos 即 cos(

?
?
4

cos ? ? sin

3? ? ? sin ? ? 0 得 cos cos ? ? sin sin ? ? 0 4 4 4

4

? ? ) ? 0 又 | ? |?

?

2

,?? ?

?

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

4

)

2?

T ? ? 2 3

, 故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3x ? ) ? 4
23

?

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函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为

?? ? g ( x)? s i?n 3 ( m ) ? x ? ? 4? ?
g ( x) 是偶函数当且仅当 3m ?
即m ?

?
4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

从而,最小正实数 m ? 解法二: (I)同解法一

? 12

(Ⅱ)由(I)得, f ( x) ? sin(? x ? 依题意, 又T ?

?
4

)

w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

2?

T ? ? 2 3

?

,故 ? ? 3,? f ( x) ? sin(3 x ?

?
4

)

函数 f ( x ) 的图像向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g ( x) ? sin ?3( x ? m) ?

? ?

??
4? ?

g ( x) 是偶函数当且仅当 g (? x) ? g ( x) 对 x ? R 恒成立
亦即 sin( ?3 x ? 3m ?

?

) ? sin(3 x ? 3m ? ) 对 x ? R 恒成立。 4 4

?

? sin(?3x) cos(3m ? ) ? cos(?3x) sin(3m ? ) 4 4 ? sin 3x cos(3m ? ) ? cos 3 x sin(3m ? ) 4 4
即 2sin 3 x cos(3m ?

?

?

?

?

?

? cos(3m ? ) ? 0 4
故 3m ?

?

4

) ? 0 对 x ? R 恒成立。

?

?m ?

k? ? ? (k ? Z ) 3 12

4

? k? ?

?
2

(k ? Z )

从而,最小正实数 m ?

? 12
?

4、如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , AB ? 2, AD ? 4 将

?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD (I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

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(I)证明:在 ?ABD 中,? AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60?

? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? DE
又? 平面 EBD ? 平面 ABD 平面 EBD ? 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD

? AB ? 平面 EBD ? DF ? 平面 EBD,? AB ? DE
(Ⅱ)解:由(I)知 AB ? BD, CD // AB,?CD ? BD, 从而 DE ? D 在 Rt ?DBE 中,? DB ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2

? S?ABE ?

1 DB ? DE ? 2 3 2

又? AB ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD,? AB ? BE

? BE ? BC ? AD ? 4,? S ?ABE ?

1 AB ? BE ? 4 2

? DE ? BD, 平面 EBD ? 平面 ABD ? ED ? ,平面 ABD
而 AD ? 平面 ABD,? ED ? AD,? S ?ADE ?

1 AD ? DE ? 4 2

综上,三棱锥 E ? ABD 的侧面积, S ? 8 ? 2 3

2009~2010 年高考解答题规范训练(3)
1.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

【解析】本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等 基础知识,主要考查基本运算能力. (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

25

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3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2? 2. 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PD ? 底面ABCD ,点 E 在棱 PB 上. (Ⅰ)求证:平面 AEC ? 平面PDB ;
∴ f ( x ) 在区间 ? ? (Ⅱ)当 PD ? 2 AB 且 E 为 PB 的中点时,求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小. 【解法 1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面 所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵ PD ? 底面ABCD , ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB . (Ⅱ)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点, ∴OE//PD, OE ?

1 PD ,又∵ PD ? 底面ABCD , 2

∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, OE ?
?

1 2 PD ? AB ? AO , 2 2
?

∴ ?AOE ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 【解法 2】如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D ? xyz , 设 AB ? a, PD ? h, 则 A? a,0,0? , B ? a, a,0? , C ? 0, a,0? , D ?0,0,0? , P ?0,0, h ? , (Ⅰ)∵ AC ? ? ?a, a,0 ? , DP ? ? 0,0, h ? , DB ? ? a, a,0 ? , ∴ AC ? DP ? 0, AC ? DB ? 0 , ∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB . (Ⅱ)当 PD ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

?1 1 2 ? a?, 2 AB 且 E 为 PB 的中点时, P 0, 0, 2a , E ? a, a, ?2 2 2 ? ? ?

?

?

设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O, ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角,

? ?1 1 2 ? ??? ? 2 ? a, ? a, ? a ? , EO ? ? 0, 0, ? a?, ?2 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? EA ? EO 2 ∴ cos ?AEO ? ??? ??? ? , ? ? 2 EA ? EO
∵ EA ? ?

??? ?

∴ ?AOE ? 45 ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 3.设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

?

?

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析 和解决问题的能力.
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(Ⅰ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a , ∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ∴? ?? ?? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递增, 此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
当 x ? ??, ? a 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' '

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ? 4.已知双曲线 C :

a 是 f ( x) 的极小值点.

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x ? 。 2 a b 3
2 2

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 已知直线 x ? y ? m ? 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, 且线段 AB 的中点在圆 x ? y ? 5 B, 上,求 m 的值. 【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.

? a2 3 ? ? ? 3 ,解得 a ? 1, c ? 3 , (Ⅰ)由题意,得 ? c ?c ? 3 ?a ?
y2 ? 1. 2 (Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,线段 AB 的中点为 M ? x0 , y0 ? ,
2 ∴ b ? c ? a ? 2 ,∴所求双曲线 C 的方程为 x ?
2 2 2

? 2 y2 ?1 ?x ? 2 2 由? 得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), 2 ?x ? y ? m ? 0 ? x ? x2 ? m, y0 ? x0 ? m ? 2m , ∴ x0 ? 1 2 2 2 ∵点 M ? x0 , y0 ? 在圆 x ? y ? 5 上,
2 ∴ m ? ? 2m ? ? 5 ,∴ m ? ?1 . 2

2009~2010 年高考解答题规范训练(4)
1、为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中,抽取若干人组成研究
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小组、有关数据见下表(单位:人)

(III) (IV)

求 x,y ; 若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率。

2、设函数 f ( x) ? 6 x3 ? 3(a ? 2) x2 ? 2ax . (1)若 f ( x) 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) 是 (??, ??) 上的单调函数?若存在,求出 a 的值; 若不存在,说明理由. 【解析】考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识 解: f ?( x) ? 18x ? 6(a ? 2) x ? 2a
2

2a ? 1 ,所以 a ? 9 ; 18 2 2 (2)由 ? ? 36(a ? 2) ? 4 ?18 ? 2a ? 36(a ? 4) ? 0 , 所以不存在实数 a ,使得 f ( x) 是 R 上的单调函数.
(1)由已知有 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? 0 ,从而 x1 x2 ?

3、如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深

AD ? 80m , 于 B 处 测 得 水 深 BE ? 200m , 于 C 处 测 得 水 深
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CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦值。

作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 . ... 分 ...6
在 ?DEF 中,由余弦定理,

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 cos ?DEF ? ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

... ...12 分

4、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积。

( Ⅰ ) 因 为 ?PAB 是 等 边 三 角 形 ,

?PAC ? ?PBC ? 90? ,
所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC 。 ... 分 ...6

(Ⅱ)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为

Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,

所以 AE ? PC , AE ? BE . 由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? . ... 分 ...8

因为 Rt ?AEB ? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。
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由已知 PC ? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . 因为 PC ? 平面 AEB , 所以三角锥 P ? ABC 的体积

1 8 V ? ? S ? PC ? 3 3

....12 分 ...

2009~2010 年高考解答题规范训练(5)
1、在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。

2、如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆,AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等 分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED,FB= 5a (1)证明:EB ? FD (2)求点 B 到平面 FED 的距离. (1)证明:? 点 E 为弧 AC 的中点
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3、围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) ,其它三面围 墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (Ⅰ)将 y 表示为 x 的函数: (Ⅱ)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 则 y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
31
2

2

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由已知 xa=360,得 a=

360 , x

所以 y=225x+

3602 ? 360( x ? 0) x 3602 ? 2 225? 3602 ? 10800 x

(II)? x ? 0,? 225x ?

? y ? 225x ?

3602 3602 ? 360 ? 10440.当且仅当 225x= 时,等号成立. x x
a2+a7=16.

4、已知{an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6=55, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式: (Ⅱ)若数列{an}和数列{bn}满足等式:an== n 项和 Sn

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ... n (n为正整数) ,求数列{bn}的前 2 2 2 2n

2009~2010 年高考解答题规范训练(6)
32

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1、等比数列{ an }的前 n 项和为 s n ,已知 S1 , S3 , S2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q; (2)求 a1 - a3 =3,求 s n (Ⅰ)依题意有

a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 )
由于 a1 ? 0 ,故

2q 2 ? q ? 0
又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2
2

5分

( (Ⅱ)由已知可得 a1 ? a1 ? ) ? 3
故 a1 ? 4

1 2

1 n (? ? ) 41( ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? (? ? ) 1( ) 1 3 2 1? ? ) ( 2

10 分

PA PA 2、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是矩形, ? 平面 ABCD , ? AD ? 4 ,AB ? 2 . 以 BD 的中点 O 为球心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M . (1)求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成的角; (3)求点 O 到平面 ABM 的距离.
(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD. 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD, 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD. (2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥C D, 由(1)知,PD⊥平面ABM,则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的射影, 所以

?P N M就是 PC 与平面 ABM 所成的角,

z P

且 ?PNM ? ?PCD

tan ?PNM ? tan ?PCD ?
所求角为 arctan 2 2

PD ?2 2 DC
A
33

M

N

D y

O B x C

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(3)因为 O 是 BD 的中点,则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半,由(1)知, PD⊥平面ABM于 M,则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离. 因为在 Rt△PAD 中, PA ? AD ? 4 , PD ? AM ,所以 M 为 PD 中点, DM ? 2 2 ,则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2 。 方法二: (1)同方法一; (2) 如图所示, 建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0) ,P(0,0, 4) ,B(2,0,0) , C (2,4,0) ,D(0,4,0) ,

M (0,2,2) ,
设平面 ABM 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,由 n ? AB, n ? AM 可得: ?

?

?

??? ? ?

???? ?

??? ? ? ? PC ? n 2 2 y ? 1 ,即 n ? (0,1, ?1) .设所求角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? , ? 3 PC n
所求角的大小为 arcsin

? 2x ? 0 ,令 z ? ?1 ,则 2 y ? 2z ? 0 ?

???? ? ???? AO ? n (3)设所求距离为 h ,由 O(1, 2,0), AO ? (1, 2,0) ,得: h ? ? ? 2 n
3、椭圆 E 经过点 A? 2,3? ,对称轴为坐标轴, 焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)求 ?F AF2 的角平分线所在直线的方程。 1 本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的 距离公式等基础知识;考查解析几何的基本思想、综合运算能力. 【解题指导】 (1) 设椭圆方程为

2 2 . 3

1 。 2

1 x2 y 2 ? 2 ? 1, 把点 A? 2,3? 代入椭圆方程, 把离心率 e ? 用 a , c 表示, 2 2 a b

再根据 a ? b ? c ,求出 a 2 , b 2 ,得椭圆方程; (2)可以设直线 l 上任一点坐标为 ( x, y ) ,根据角平
2 2 2

分线上的点到角两边距离相等得 解: (Ⅰ)设椭圆 E 的方程为

| 3x ? 4 y ? 6 | ?| x ? 2 | . 5

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x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2 1 c 1 x2 y2 由e ? , 得 ? , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 ,? 2 ? 2 ? 1. 2 a 2 4c 3c 1 3 将(2,3)代入,有 2 ? 2 ? 1, 解得:c ? 2,? 椭圆E的方程为 A c c x2 y 2 ? ? 1. 16 12 3 (?)由(?)知F1 (?2, 0), F2 (2, 0), 所以直线AF1的方程为y= ( x ? 2), 4 即3x ? 4 y ? 6 ? 0.直线AF2的方程为x ? 2.由椭圆E的图形知,?F1 AF2的角平分线所在直线的斜率为正数。 设P(x,y)为?F1 AF2的角平分线所在直线上任一点,则有 于是3x-4y+6=-5x+10,即2x-y-1=0. 所以,?F1 AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0. 3x ? 4 y ? 6 5 若3x ? 4 y ? 6 ? 5 x ? 10, 得x ? 2 y ? 8 ? 0, 其斜率为负,不合题意,舍去。 ? x?2

4、函数 f ( x) ?

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24 a,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 (21)解: (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a) 由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f (x) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。

1 f (2a) ? (2a) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3 f (0) ? 24a
由假设知

?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ?24a ? 0. ?

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)

2009~2010 年高考解答题规范训练(7)
1、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?
35

?
2

)的周期为 ? ,且图象上一

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个最低点为 M (

2? , ?2) . 3

w.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0, 解: (1)由最低点为 M ( 由 T ? ? 得? ? 由点 M (

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? 2k? ? 即? ? 2k? ? ,k ? Z , 3 2 6

2? 2? ? ?2 T ?

2? , ?2)得A ? 2 3

又 ? ? (0,

?

2

) ,? ? ?

?

(Ⅱ) Q x ? [0,

?
12

6

],? 2 x ?

?

? f ( x) ? 2 s i n x ? (2 6

?

)

?当2x+ 当2x+

?
6 ?

?

?
6

?[ , ] 6 6 3

? ?

,即x ? 0时,f ( x)取得最小值1;

时,f ( x)取得最大值 3 12 4 2 2、 已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 6 . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设点 P 在曲线 y ? f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程 6 3
(1) f '( x) ? 4 x ? 6 x ? 4 x( x ?
3

?

?

, 即x ?

?

6 6 )( x ? ) 2 2

6 6 ) 和 x ? (0, ) 时, f '( x) ? 0 ; 2 2 6 6 当 x ? (? , 0) 和 x ? ( , ??) 时, f '( x) ? 0 2 2 6 6 因此, f ( x ) 在区间 (??, ? ) 和 (0, ) 是减函数, 2 2 6 6 f ( x) 在区间 (? ,0) 和 ( , ??) 是增函数。 2 2 (Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , f ( x0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为
当 x ? (??, ? 因此 即 整理得 解得

y ? f '( x0 ) x f ( x0 ) ? x0 f '( x0 ) ,
4 2 3 x0 ? 3x0 ? 6 ? x0 (4x0 ? 6x0 ) ? 0 2 2 ( x0 ? 1)( x0 ? 2) ? 0

x0 ? ? 2



x0 ? 2


因此切线 l 的方程为

y ? ?2 2x

y ? 2 2x 。

3、如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC,∠ABC=120°。E 为 线段 AB 的中点,将△ADE 沿直线 DE 翻折成△A’DE,使平面 A’DE
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⊥平面 BCD,F 为线段 A’C 的中点。 (Ⅰ)求证:BF∥平面 A’DE; (Ⅱ)设 M 为线段 DE 的中点,求直线 FM 与平面 A’DE 所成角的余弦值。

解析:本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和 推理论证能力。 (Ⅰ)证明:取 A′D 的中点 G,连结 GF,CE,由条件易知 FG∥CD,FG= BE∥CD,BE=

1 CD. 2

1 CD. 2

所以 FG∥BE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以 BF∥EG

? 因为 EG ? 平面 A ' DE ,BF ? 平面 A ' DE
所以 BF//平面 A ' DE (Ⅱ)解:在平行四边形,ABCD 中,设 BC=a 则 AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连 CE 因为 ?ABC ? 120
0

在△BCE 中,可得 CE= 3 a, 在△ADE 中,可得 DE=a, 在△CDE 中,因为 CD2=CE2+DE2,所以 CE⊥DE, 在正三角形 A′DE 中,M 为 DE 中点,所以 A′M⊥DE. 由平面 A′DE⊥平面 BCD, 可知 A′M⊥平面 BCD,A′M⊥CE.
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取 A′E 的中点 N,连线 NM、NF, 所以 NF⊥DE,NF⊥A′M. 因为 DE 交 A′M 于 M, 所以 NF⊥平面 A′DE, 则∠FMN 为直线 FM 与平面 A′DE 新成角. 在 Rt△FMN 中,NF= 则 cos ?FMN =

1 3 a, MN= a, FM=a, 2 2

1 . 2 1 . 2
?

所以直线 FM 与平面 A′DE 所成角的余弦值为

4、等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

,点 (n, Sn ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 )

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.所以得

Sn ? b n ? r ,
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2

2 3 4 n n ?1 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Tn ? 2

1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 3 1 n ?1 3 n ? 3 1 23 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2

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2009~2010 年高考解答题规范训练(8)
1、在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2

即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

故 cos A ? ?

1 , A ? 120 ? 2
2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C. 又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ? 因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? , 故B?C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。
3 2 2、已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .

1 2

(I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析: )由题意得 f ?( x) ? 3x ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2) (Ⅰ
2

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又?

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 ? f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ?
导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ )函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1 3、 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的 基础知识是解答好本类题目的关键。 【解析】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d,因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

? a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ? 2a1 ? 10d ? 26
所以 an ? 3 ? (n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n+ 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n+1,所以 bn=

n(n-1) ? 2 = n 2 +2n 。 2 1 1 1 1 1 1 1 ), = ? = = ?( 2 an ? 1 (2n+1) ? 1 4 n(n+1) 4 n n+1
2

所以 Tn =

1 1 1 1 1 1 1 1 n ? (1- + ? + ? + ) = ? (1)= , 4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)

即数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn =

n 。 4(n+1)

4、如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A BC1 ; 1 (Ⅱ)设 D 是 AC1 上的点,且 A B // 平面 B1CD ,求 A D : DC1 的值. 1 1 1 解: (Ⅰ)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C ? BC1 又已知 B1C ? A1 B,且A1 B ? BC1 ? B 所又 B1C ? 平面 A1BC1,又 B1C ? 平面 AB1C ,
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所以平面 AB1C ? 平面 A1BC1 . (Ⅱ)设 BC1 交 B1C 于点 E,连结 DE, 则 DE 是平面 A1BC1 与平面 B1CD 的交线, 因为 A1B//平面 B1CD,所以 A1B//DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D:DC1=1.

2009~2010 年高考解答题规范训练(9)
1.设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 【解析】 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两 角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

2、在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A B 、 AC 的中点,点 D 在 B1C1 上, A D ? B1C 1 1 1 。 求证: (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A FD ? 平面 BB1C1C . 1 【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力。 满分 14 分。

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9 2 x ? 6x ? a . 2 (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.
3、设函数 f ( x) ? x ?
3

.解:(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) , 因为 x ? (??, ??) , f ' ( x) ? m , 即 3x2 ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4 ' ' (2) 因为 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 5 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ? ? a ; 2 当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 5 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? . 2
所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

4、已知某地今年初拥有居民住房的总面积为 a (单位: m ) ,其中有部分旧住房需要拆除. 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房,同时也拆除面积为 b (单位: m )的 旧住房. (Ⅰ)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式; (Ⅱ) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%,则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少?(计算时取 1.15=1.6) 本小题主要考查阅读材料、提取信息、建立数学模型的能力,同时考查运用所学知识分析和解决实际 问题的能力。 (满分 12 分) 解: (Ⅰ) 第 1 年末的住房面积 a ? 第 2 年末的住房 面积
2

2

11 ? b ? 1.1a ? b(m 2 ). 10

11 11 11 11 ? b) ? ? b ? a ? ( ) 2 ? b(1 ? ) ? 1.21a ? 2.1b(m 2 ). 10 10 10 10 11 2 11 11 11 2 11 11 2 ? ( ) ]. (Ⅱ)第 3 年末的住房面积 [a ? ( ) ? b(1 ? )] ? b ? a ? ( ) ? b[1 ? 10 10 10 10 10 10 (a ?
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11 4 11 11 11 ) ? b[1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ] , 10 10 10 10 11 5 11 11 2 11 3 11 4 ?( ) ?( ) ?( ) ] 第 5 年末的住房面积 a ? ( ) ? b[1 ? 10 10 10 10 10
第 4 年末的住房面积 a ? (

? 1.15 a ?

1 ? 1.15 b ? 1.6a ? 6b 1 ? 1.1
a a , 所以每年拆除的旧房面积为 ( m 2 ). 20 20

依题意可知, 1.6a ? 6b ? 1.3a, 解得 b ?

2009~2010 年高考解答题规范训练(10)
1、为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况,从这个水库中多个不同位 置捕捞出 100 条鱼,称得每条鱼的质量(单位:千克) ,并将所得数据分 组,画出频率分布直方图(如图所示) (Ⅰ)自作表格中填写相应的频率; (Ⅱ)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少; (Ⅲ)将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库, 几天后再从水 库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼,其中带有记号的鱼有 6 条, 请根据这 一情况来估计该水库中鱼的总条数。 (Ⅰ) 略

2 、 如 图 , 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 的 底 面 为 等 腰 梯 形 , AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足为 H , PH 是四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; (Ⅱ) AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60°,求四棱锥 P ? ABCD 的体 若 积。 解: (1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 AC ? PH,又 AC ? BD,PH,BD 都在平 PHD 内,且 PH ? BD=H. 所以 AC ? 平面 PBD. 故平面 PAC 平面 PBD. (2)因为 ABCD 为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,AB= 6 .
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……..6 分

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所以 HA=HB= 3 . 因为 ? APB= ? ADR=600 所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1. 可得 PH= 3 . 等腰梯形 ABCD 的面积为 S=

1 AC x BD = 2+ 3 . 2

……..9 分 ……..12 分

所以四棱锥的体积为 V= x(2+ 3 )x 3 =

1 3

3? 2 3 3

3、设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1, 0 ? x ?

?
2

,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

20.【命题意图】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查综合应用数学 知识解决问题的能力. 【解题指导】 (1)对函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1求导,对导函数用辅助角公式变形,利用导数等 于 0 得极值点,通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负,判断区间的单调性,求极值.

解:由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2? ,知f, ( x) ? 1 ? 2sin( x ? ). 4 ? 2 3? 令f, ( x) ? 0,从面sin( x ? ) ? ,得x ? ?,或x ? , 4 2 2 , 当x变化时,f ( x),f(x)变化情况如下表:

?

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(

3? 3? 3? 单调递增区间是(? , ),极小值为f( )= ,极大值为f(? )=? ? 2 2 2 2

3? , ), 2? 2

4、为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察基地,视 冰川面为平面形, 以过 A、 两点的直线为 x 轴, B 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系 (图 4) 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 (II) 求考察区域边界曲线的方程:
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(III)

如图 4 所示,设线段 PP 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界) ,当冰川融化时,边界 1 2 线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前 一年的 2 倍。问:经过多长时间,点 A 恰好在冰川边界线上?

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2009~2010 年全国高考文科数学解答题
考点 1A 三角 立几 概率实际 数列 B 等差通项、 前 N 项和 圆锥 导数 三次导数、 无 极值点 A 三角求值、 C 楔型立几 最值 线面平行 线面垂直 C 和角公式 对称轴 图像平移

2A

3B

D 折 叠 三 棱 B 有 放 回 摸 A 等比通项 锥 球概率 等差通项、 前 线线垂直 N 项和 侧面积 A 周期、 最值 B 四棱锥 D 双 曲 线 方 C 切线方程 面面垂直 程 单调区间 线面角 中点 极值点 C 测量 解三角形 A 边角互化 求角 面积 D 三棱锥 线线垂直 体积 A 分层抽样、 概率 D 等差通项、 等比前 N 项 和 A 等比性质 C 椭圆方程 等差前 N 项 角平分线 和 D 三次函数 单调性、 恒成 立 B 三次函数 参数、 单调性

4C

5C

B 半 圆 三 棱 C 费用问题 锥 线线垂直 对勾函数 点面距离

6C

7C

B 底面矩形 四棱锥, 面面 垂直、线面 角、 点到面的 距离 A、图像性质 C 折叠 求解析式、 最 线面平行 值 线面角 B 边角互化 求角度 判断形状 A 三角和向 量 向量垂直、 平 行、模长 C 三角和导 数单调区间、 极值 C 斜三棱柱 面面垂直 线段比 B 直三棱柱 线面平行 面面垂直 B 等腰梯形 面面垂直 体积 D 实际应用 等比数列 住房面积 A 直方图

D 等比数列 函数图象、 错 位相减 A 等差通项 前 N 项和 裂项

B 四次函数 单调性、 切线 方程 D 三次函数 切线 单调性 C 求参数范 围 恒成立 有一个实根 D 实际 (双曲 线、函数)

8C

9D

10D

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