9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

3.2简单的三角恒等变换(二) 课件(人教版必修4)



? 3.2 简单的三角恒等变换(二)

? 1.掌握辅助角公式并灵活运用.(重点,易错点) ? 2.掌握三角恒等变换在三角函数图象与性质中的应 用.(重点,难点)

? 辅助角公式 ? asin x+bcos x=

a2+b2 sin(x+θ)(其中a、b不同时为0,且tan

θ=

b ). a

α 你还有其他方法用 sin α、cos α 表示 tan 2吗?反之以 α tan2能否表示 sin α、cos α? α α α sin2 sin2· 2 2cos sin α α 提示:tan2= α= α α=1+cos α, cos2 cos2· 2 2cos
α α α sin2 sin2· 2 2sin α tan2= α= α α. cos2 cos2· 2 2sin 1-cos α α α = sin α ,sin α=2sin2cos2

α α α 2sin2cos2 2tan2 = α α= α, sin22+cos22 1+tan22 cos α=cos 2-sin 2 cos 2-sin 2 = α 2 2α sin 2+cos 2 1-tan 2 = α. 1+tan22
2α 2α 2α 2α 2α

1.辅助角公式. 形式上是 asin α+bcos α(ab≠0)的三角函数式,通过三 b 角恒等变换可写成 a +b sin(α+φ)的形式,其中 tan φ=a,
2 2

b 此公式称为辅助角公式.其中 φ 可通过 tan φ=a以及点(a, b)所在的象限来确定.

2.辅助角公式的特殊情况. sin α± α= cos sin α± 3cos cos α± 3sin
? π? 2sin?α± ? ? 4?

? π? α=2sin?α± ? ? 3? ?π ? α α=2sin?6± ?. ? ?

? 【特别提醒】在利用辅助角公式对三角函数化简来求函数的单调区间 时,要特别注意角φ的确定.

已知函数

? ? π? π ? ? π? f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?· ?x+4?. sin ? ? ? ? ? ?

(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求函数
? π π? f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ?

? 【思路点拨】将已知函数通过三角函数恒等变换转化为y=Asin(ωx+φ) 的形式,再研究其性质.

? ? π? π? ? π? 解:(1)∵f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4? ? ? ? ? ? ?

1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+sin2x-cos2x
? π? 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?, ? ?

2π ∴最小正周期 T= 2 =π.

π π ∵2x-6=kπ+2,k∈Z, kπ π ∴x= 2 +3,k∈Z. kπ π ∴图象的对称轴方程为 x= 2 +3,k∈Z.
? π π? (2)∵x∈?-12,2?, ? ?

π ? π 5π? ∴2x-6∈?-3, 6 ?. ? ?

? ? π? π π? ∵f(x)=sin?2x-6?在区间?-12,3?上单调递增, ? ? ? ? ?π π? 在区间?3,2?上单调递减, ? ?

π ∴当 x=3时,f(x)取最大值 1.
? π? 又∵f?-12?=- ? ?

3 ?π? 1 ? ? 2 <f?2?=2,

π 3 ∴当 x=-12时,f(x)取最小值- 2 . 所以函数
? ? π π? f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ? ? ? ? ? 3 ? ,1?. 2 ?

? 【题后总结】对y=asin x+bsin x的性质讨论,使三角函数中对函数y= Asin(ωx+φ)的性质研究得到延伸,体现了三角变化在化简三角函数式 中的作用.

? ? ? ?

1.求函数y=sin2x+2sin xcos x+3cos2 x的最小值. 解:y=sin2 x+2sin xcos x+3cos2 x =1+2sin xcos x+2cos2 x =1+sin 2x+1+cos 2x=2+sin 2x+cos 2x

=2+ =2+ ∴当

? 2 ? 2· sin ? 2 ?

? 2 ? 2x+ 2 cos 2x? ?

? π? 2sin?2x+4?, ? ?

? π? sin?2x+4?=-1 ? ?

时,

π π 即 2x+4=2kπ-2(k∈Z)时,函数取得最小值. 3π 即 x=kπ- 8 (k∈Z)时,函数的最小值为 2- 2.

? 应用三角函数解决实际问题的策略:一般情况下,引入恰当的辅助角, 建立有关辅助角的三角函数表达式,并利用和、差、倍、半角公式进 行化简整理.由于引入辅助角的恰当与否直接影响该题的计算量,故 求解时多注意分析题意,恰当引入,提高解题能力. ? 【特别提醒】在求解三角函数最值的问题时,一般需利用三角函数的 有界性来解决,要特别注意角的范围.

?

点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1, ∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?

写出面积关 利用三角函 【思路点拨】 作图 → → 于α的函数 数性质求解

? 解:如图,连接PB.

? ? ? ? ? ?

∵AB为直径,∴∠APB=90°. ∵∠PAB=α,AB=1, ∴PB=sin α,PA=cos α. 又PT切圆于P点, 则∠TPB=∠PAB=α. ∴S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB

1 1 =2PA· PB+2PT· sin α PB· 1 1 2 =2cos α· α+2sin α sin 1 1 =4sin 2α+4(1-cos 2α) π? 1 2 ? = 4 sin?2α-4?+4. ? ? π π π 3 ∵0<α<2,-4<2α-4<4π, π π 3 ∴当 2α-4=2, α=8π 时, 即 四边形 ABTP 的面积最大.

? 【题后总结】解决此类问题,关键是合理引入自变量,恰当表示题中 的有关量,将实际问题转化为三角函数问题,再利用三角函数的有关 知识求解.在求解过程中,要注意角的范围.

? 2.如图所示,在一块半径为R的半圆形的铁板中截取一个内接矩形 ABCD,使其一边CD落在圆的直径上,问应该怎样截取,才可以使矩 形ABCD的面积最大?并求其最大面积.

解:如图,连接 OA,设∠AOD=θ,则 OD=OAcos θ =Rcos θ,AD=OAsin θ=Rsin θ,所以矩形 ABCD 的面积为 S=CD· AD=2OD· AD=2Rcos θ· Rsin θ=R2sin 2θ ≤R2,所以 π 当 sin 2θ=1,即 θ=4时 S 最大,所以使矩形的边长 CD 与 2 AD 之比为 2∶1,点 C、点 D 距 O 点的距离为 2 R 时,矩形 ABCD 的面积最大,S 最大=R2.

误区:扩大了角的取值范围 π 【典例】 (12 分)已知 0≤α≤π,0≤β≤4,且有 α+β=
? ? 1-cos?π-2α? α 2π 2 π ,求函数 y= · 2-cos ?4-β?的最大值,并 α tan 3 ? ? 1-tan22

求出相应的 α,β 的值.

1+cos 2α 【错误解答】y= α α- 2 cos2 sin2 α- α sin2 cos2 sin αcos2 α 1 1 1 1 1 = cos α -2-2sin 2β=2sin 2α-2sin 2β-2 1 1 1 =2sin[(α+β)+(α-β)]-2sin[(α+β)-(α-β)]-2 1 =2[sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)] 1 1 -2[sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)]-2 1 =cos(α+β)sin(α-β)-2,

?π ? 1+cos?2-2β? ? ?

2π 又 α+β= 3 , 1 1 1 ∴y=cos(α+β)sin(α-β)-2=-2sin(α-β)-2. π π ∵0≤α≤π,0≤β≤4,∴-4≤α-β≤π. 2 ∴- 2 ≤sin(α-β)≤1, 2 π 从而当 sin(α-β)=- 2 ,即 α-β=-4时, 1 ? 2 1 2? 1 ? ? y 取得最大值-2×?- ?-2= 4 -2. 2? ?

π ? ?α-β=-4 由? ?α+β=2π, 3 ?

5π ? ?α=24 得? ?β=11π 24 ?

5π 11π 2 1 故当 α=24,β= 24 时,ymax= 4 -2.

1+cos 2α 【正确解答】y= α α- cos2 sin2 α- α sin2 cos2

?π ? 1+cos?2-2β? ? ?

2

sin αcos2 α 1 1 1 1 1 = cos α -2-2sin 2β=2sin 2α-2sin 2β-2. 1 1 1 =2sin[(α+β)+(α-β)]-2sin[(α+β)-(α-β)]-2 1 =2[(sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)] 1 1 -2[sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)sin(α-β)]-2

2分

1 1 1 =cos(α+β)sin(α-β)-2=-2sin(α-β)-2. 2 2 2 ∵α+β=3π,∴α=3π-β,α-β=3π-2β. π π 2 2 又∵0≤β≤4,∴6≤3π-2β≤3π,
?2 ? 1 ≤sin?3π-2β?≤1, 2 ? ? ? 1 1 1 1 ?2 ∴y=-2sin(α-β)-2=-2sin?3π-2β?-2, ? ?

6分

8分



?2 ? 1 sin?3π-2β?=2, ? ?

2 π 即3π-2β=6时, 1 1 1 3 y 取得最大值-2×2-2=-4. π ?2 ?3π-2β=6, 由? ?α+β=2π, 3 ? 5 ? ?α=12π, 得? ?β=π. ? 4 12 分 10 分

5 π 3 ∴α=12π,β=4时,ymax=-4.

【纠错心得】上述在解题的过程中,犯了如下错误:忽 π 2 视了题目条件中 0≤α≤π,0≤β≤4,α+β=3π 是相互制约 的,从而扩大了 α-β 的范围,从而导致解题错误.



更多相关文章:
3.2 简单的三角恒等变换 学案(人教A版必修4)
搜试试 7 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...3.2 简单的三角恒等变换 学案(人教A版必修4)_高一数学_数学_高中教育_教育...
3.2 简单的三角恒等变换(必修4 共1讲)_数学必修四_教学...
高一、高二、高三视频教程,一点通视频全套教学,在线学习数学必修四课程,3.2 简单的三角恒等变换(必修4 共1讲)视频下载
高中数学 (3.2 简单的三角恒等变换)教案 新人教A版必修4
高中数学 (3.2 简单的三角恒等变换)教案 新人教A版必修4_其它课程_高中教育_教育专区。3.2 教学分析 简单的三角恒等变换整体设计 本节主要包括利用已有的十一个...
3.2简单的三角恒等变换(一)
新源二中数学导学案 必修 4 主备:石磊 3.2 简单的三角恒等变换(一)【学习目标】 1、知识与技能目标 二次备课: 通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、...
2016新课标创新人教A版数学必修4 3.2简单的三角恒等变换
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...2016新课标创新人教A版数学必修4 3.2简单的三角恒等变换_高二数学_数学_高中...
必修四3.2简单的三角恒等变换(4)
4页 2财富值 高中数学新人教A版必修四课... 暂无...【必修4课件】3.6简单的三... 6页 2财富值喜欢...第三章第二节第三课简单的三角恒等变换(4)小组 ...
2015必修四3.2.1 简单的三角恒等变换2 2015.03.13
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...2015必修四3.2.1 简单的三角恒等变换2 2015.03....A.2π B.π ) π C. 2 姓名 D.4π ) 2 ...
3.2简单的三角恒等变换 学案(人教A版必修4)
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 ...3.2简单的三角恒等变换 学案(人教A版必修4)_数学_高中教育_教育专区。§3.2...
3.2简单的三角恒等变换(2)教师版
3.2简单的三角恒等变换(2)教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。精心编写的新课程高中数学教案教师版,有答案,成套资料,必修1,2,3,4,5,选修2-1,2-2,2...
人教A版-数学-高一必修4-3.2简单的三角恒等变换(教案)
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...人教A版-数学-高一必修4-3.2简单的三角恒等变换(教案)_高一数学_数学_高中...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图