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对数函数(一).ppt



一、复习回顾:
1、对数的概念:
如果a
b

═N ,那么数b叫做以a为底N的对数,记作 log a N=b(a>0,a≠1)

2、指数函数的定义:
函数 y = ax ( a > 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做指数函数,其中

x是自变量.函数的定义域是 R.

/>
问题: 求指数函数 y = ax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的反函数

解: 从 y = ax 可以解得:x = logay
因此指数函数 y = ax 的反函数是 y=logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )

又因为 y = ax 的值域为(0,+∞) 所以 y=logax ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) 的定义域为(0,+∞)

一般地 函数 y = logax (a>0,且a≠1)是指数函数 y = ax的反函数

对数函数的定义: 函数 y = loga x (a>0,且a≠ 1 )
叫做对数函数.其中 x是自变量,函数 的定义域是( 0 , +∞)

对数函数和指数函数 互为反函数

作出函数 y = log 2 x的图象

作图过程
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3

y= 2x

y=x

1、建立直角坐标系; 2、描点作出 y= 2x 的图象; 3、作直线y=x;

y=log2x

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x

4、描出关于y=x的 对称点; 5、用平滑曲线连结 所得的点。

y= log0.5 x
y
8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3

的函数图象也可以直接描点作 出

1、列表 x
0.125 0.25 1 2 4 8

y

3

2

0

-1

-2

-3

2、建立直角坐标系

3、描点
4、用平滑曲线连结各点

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x

y=

log 1 x
2

y 1

㈠ y = log2x x ㈡ y=log 0.5 x

0

图象特征

函数性质

定义域是( 0,+∞) 图像都在 y 轴右侧 1 的对数是 0 图像都经过 (1,0) 点 图像㈠在(1,0)点右边的 当底数a>1时; x>1 , 则logax>0 0<x<1 ,则 logax<0 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左边的纵坐标都小于0; 当底数0<a<1时; x>1 , 则logax<0 0<x<1 ,则logax>0 图像㈡则正好相反 当a>1时, 自左向右看, 图像㈠逐渐上升 y=logax在(0,+∞)是增函数 图像㈡逐渐下降 当0<a<1时, y=logax在(0,+∞)是减函数

对数函数y=log a x (a>0, a≠1)

a>1 图 象
o y (1, 0) x y

0<a<1

(1, 0) o

x

(1) 定义域: (0,+∞) 性 (2) 值域:R (3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0 (4) 0<x<1时, y<0; (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0



x>1时, y>0

(5) 在(0,+∞)上是增函数 (5)在(0,+∞)上是减函数

例1

比较下列各组数中两个值的大小: (1) log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )



⑴考察对数函数 y = log 2x,因为它的底数2>1, 所以它在(0,+∞)上是增函数,于是 log 23.4<log 28.5
⑵考察对数函数 y = log 0.3 x,因为它的底数0.3, 即0<0.3<1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是 log 0.31.8>log 0.32.7

⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 ) 分析:对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是 小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因此 需要对底数a进行讨论: 解:当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1<log a5.9 当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数, 于是 log a5.1>log a5.9

注: 例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小的, 对底数与1的大小关系未明确指出时, 要 分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.

练习1: 比较下列各题中两个值的大小: < log108 ⑴ log106 < log0.54 ⑵ log0.56 > log0.10.6 ⑶ log0.10.5 > log1.51.4 ⑷ log1.51.6

练习2: 已知下列不等式,比较正数m,n 的大小: (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1) 答案: (1) m < n (3) m > n (2) m < n (4) m > n

例2

比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . (2) log a1=0 ⑵ ∵ log3π>log31=0 log20.8<log21=0 ∴ log3π>log20.8

分析 : (1) log aa=1
解: ⑴ ∵ log67>log66=1 log76<log77=1 ∴ log67>log76

注: 例2是利用对数函数的单调性比较两个对数的大 小. 当不能直接进行比较时, 可在两个对数中间 插入一 个已知数 ( 如1或0等 ) , 间接比较上述两 个对数的大小

练习:
将 log 0.7
0.8

, log

0.9 1.1

,1.1

0.9

由小到大排列

解:利用对数函数的单调性可知:
log1.10.9 ? log1.11 ? 0
log 0.7
0.8

? log

1 0.7

?0

∴ log

0.9 1.1

? log 0.7

0.8

log 0.7 0.8 ? log 0.7 0.7 ? 1 又

由指数函数的 单调性可知: 0.8 0.9 0.9 0 1.1 ? 1.1 ? 1 ∴ log 0.7 ? 1.1
log ∴从小到大的排列是: 1.10.9 ? log0.7 0.8 ? 1.10.9

对数函数的定义 对数函数的图象和性质 比较两个对数值的大小

〖比较〗
指数函数y=ax (a>0,a≠1) y y=ax y=ax (0<a<1) (a>1) 1 x o (1)定义域:R (2)值域:(0,+∞) 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) y y=logax (a>1) 1 x o y=logax (0<a<1) (1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R (3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0

图 象

性 (3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1

(4) a>1时, x<0,0<y<1; x>0,y>1 (4) a>1时,0<x<1,y<0; x>1,y>0



0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0

(5) a>1时, 在R上是增函数;
0<a<1时,在R上是减函数

(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数;
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数


2.课本P85.



1. 理解掌握对数函数 的图象和性质

习题2.8 :1,2,3



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