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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 压轴函数与导数



压轴题目突破练——函数与导数
A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 f(x)=x3+3x2-1 相切的直线方程是 A.3x+y+2=0 C.x+3y+2=0 答案 A
3 解析 设切点的坐标为(x0,x0 +3x2 0-1),

(

)

r />B.3x-y+2=0 D.x-3y-2=0

则由切线与直线 2x-6y+1=0 垂直, 可得切线的斜率为-3, 又 f′(x)=3x2+6x,故 3x2 0+6x0=-3, 解得 x0=-1,于是切点坐标为(-1,1), 从而得切线的方程为 3x+y+2=0. 2. 设 f(x),g(x)在[a,b]上可导,且 f′(x)>g′(x),则当 a<x<b 时,有 A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)>g(x)+f(b) 答案 C 解析 ∵f′(x)-g′(x)>0,∴(f(x)-g(x))′>0, ∴f(x)-g(x)在[a,b]上是增函数, ∴当 a<x<b 时 f(x)-g(x)>f(a)-g(a), ∴f(x)+g(a)>g(x)+f(a). 3. 三次函数 f(x)=mx3-x 在(-∞,+∞)上是减函数,则 m 的取值范围是 A.m<0 C.m≤0 答案 A 解析 f′(x)=3mx2-1,依题可得 m<0. ) B.m<1 D.m≤1 ( ) ( )

4.点 P 是曲线 x2-y-2ln x=0 上任意一点, 则点 P 到直线 4x+4y+1=0 的最短距离是( A. 2 (1-ln 2) 2 B. 2 (1+ln 2) 2

C.

2?1 +ln 2? ? 2 ?2

1 D. (1+ln 2) 2

答案 B 解析 将直线 4x+4y+1=0 平移后得直线 l: 4x+4y+b=0, 使直线 l 与曲线切于点 P(x0, y0), 1 由 x2-y-2ln x=0 得 y′=2x- , x 1 ∴直线 l 的斜率 k=2x0- =-1 x0 1 ?x0= 或 x0=-1(舍去), 2 1 1 ? ∴P? ?2,4+ln 2?, 1 1 |2+?1+4ln 2?+1| ? 所求的最短距离即为点 P? ?2,4+ln 2?到直线 4x+4y+1=0 的距离 d= 4 2 = 2 (1+ln 2). 2

3 ? 5.函数 f(x)在定义域? 记 f(x)的导函数为 f′(x), 则不等式 f′(x)≤0 ?-2,3?内的图像如图所示, 的解集为 ( )

3 1? A.? ?-2,2?∪[1,2) 1? ?4 8? B.? ?-1,2?∪?3,3? 1 ? C.? ?-3,1?∪[2,3) 3 1? ?1 4? ?4 ? D.? ?-2,-3?∪?2,3?∪?3,3? 答案 C 解析 不等式 f′(x)≤0 的解集即为函数 f(x)的单调递减区间, 从图像中可以看出函数 f(x) 1 ? ? 1 ? 在? ?-3,1?和[2,3)上是单调递减的,所以不等式 f′(x)≤0 的解集为?-3,1?∪[2,3),答 案选 C.

二、填空题 5π sin θ 3 3cos θ 2 0, ?,则导数 f′(1)的取值范围是 6. 设函数 f(x)= x+ · x +tan θ,其中 θ∈? 12? ? 3 2 ________. 答案 [ 2,2]

解析 ∵f′(x)=sin θ· x2+ 3cos θ· x, π? ∴f′(1)=sin θ+ 3cos θ=2sin? ?θ+3?. 5π? π ?π 3π? ∵θ∈? ?0,12?,∴θ+3∈?3, 4 ?, π? ? 2 ? ∴sin? ?θ+3?∈? 2 ,1?.∴f′(1)∈[ 2,2]. 4π 5π 7.已知函数 f(x)=xsin x,x∈R,则 f(-4),f( ),f(- )的大小关系为________(用“<”连 3 4 接). 答案 4π 5π f( )<f(-4)<f(- ) 3 4

5π 4π? 解析 ∵f′(x)=sin x+xcos x,当 x∈? ? 4 , 3 ?时,sin x<0,cos x<0,∴f′(x)=sin x+ xcos x<0, 5π 4π? 则函数 f(x)在区间? ? 4 , 3 ?上为减函数, ∵ 5π 4π 4π 5π <4< ,∴f( )<f(4)<f( ), 4 3 3 4

4π 5π 又函数 f(x)为偶函数,∴f( )<f(-4)<f(- ). 3 4 8. 把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长 与高的比为________. 答案 2∶1 6-x 6-x?2 1 3 2 解析 设圆柱高为 x,底面半径为 r,则 r= ,圆柱体积 V=π? 2π ? 2π ? x=4π(x -12x +36x)(0<x<6), 3 V′= (x-2)(x-6). 4π 当 x=2 时,V 最大. 此时底面周长为 6-x=4,4∶2=2∶1. 三、解答题 9. (2013· 重庆)设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于点(0,6).

(1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 (1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x,

6 故 f′(x)=2a(x-5)+ . x 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y-16a=(6-8a)(x-1), 1 由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x(x>0), 2 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知, f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 2 10.已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实 x 数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5),

∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知,得 6a=12,∴a=2, ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). 37 (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0 x 设 h(x)=2x3-10x2+37, 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10). 10? 当 x∈? ?0, 3 ?时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 10 ? 当 x∈? ? 3 ,+∞?时,h′(x)>0,h(x)是增函数.

10? 1 ∵h(3)=1>0,h? ? 3 ?=-27<0,h(4)=5>0, 10? ?10 ? ∴方程 h(x)=0 在区间? ?3, 3 ?,? 3 ,4?内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞) 内没有实数根, 37 ∴存在唯一的自然数 m=3, 使得方程 f(x)+ =0 在区间(m, m+1)内有且只有两个不等 x 的实数根. B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟) 1. 已知函数 f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0, y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2 0-1)(x-x0), 那么函数 f(x)的单调减区间是 A.[-1,+∞) C.(-∞,-1),(1,2) 答案 C 解析 根据函数 f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0,y0)处的切线方程为 y-y0=(x0-2)(x2 0- B.(-∞,2] D.[2,+∞) ( )

1)(x-x0),可知其导数 f′(x)=(x-2)(x2-1)=(x+1)(x-1)(x-2),令 f′(x)<0 得 x<-1 或 1<x<2.因此 f(x)的单调减区间是(-∞,-1),(1,2). 2. 给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可导,则称 函数 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′.若 f″(x)<0 在 D 上恒成立,则称 π? 函数 f(x)在 D 上为凸函数,以下四个函数在? ?0,2?上不是凸函数的是 A.f(x)=sin x+cos x C.f(x)=-x3+2x-1 答案 D 解析 对于选项 A,f(x)=sin x+cos x, π? 则 f″(x)=-sin x-cos x<0 在? ?0,2?上恒成立, 故此函数为凸函数; 对于选项 B,f(x)=ln x-2x, π 1 0, ?上恒成立, 则 f″(x)=- 2<0 在? 2? ? x 故此函数为凸函数; 对于选项 C,f(x)=-x3+2x-1, π? 则 f″(x)=-6x<0 在? ?0,2?上恒成立, 故此函数为凸函数; B.f(x)=ln x-2x D.f(x)=-xe
-x

(

)

对于选项 D,f(x)=-xe x,


π? - - - 则 f″(x)=2e x-xe x=(2-x)e x>0 在? ?0,2?上恒成立,故此函数不是凸函数. 3. 函数 y=x2(x>0)的图像在点(ak,a2 k )处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak+1,其中 k∈N+. 若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是________. 答案 21
2 解析 因为 y′=2x,所以过点(ak,a2 k )处的切线方程为 y-ak =2ak(x-ak).

又该切线与 x 轴的交点为(ak+1,0), 1 所以 ak+1= ak,即数列{ak}是等比数列, 2 1 首项 a1=16,其公比 q= , 2 所以 a3=4,a5=1. 所以 a1+a3+a5=21. e2x2+1 e2x g?x1? f?x2? 4. 设函数 f(x)= ,g(x)= x ,对任意 x1、x2∈(0,+∞),不等式 ≤ 恒成立, x e k k+1 则正数 k 的取值范围是________. 答案 [1,+∞)

解析 因为对任意 x1、x2∈(0,+∞), g?x1?? g?x1? f?x2? k 不等式 ≤ 恒成立,所以 ≥? . k k+1 k+1 ? f?x2? ?max e2x 因为 g(x)= x , e 所以 g′(x)=(xe2 x)′=e2 x+xe2 x· (-1)=e2 x(1-x).
- - - -

当 0<x<1 时,g′(x)>0;当 x>1 时,g′(x)<0, 所以 g(x)在(0,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 所以当 x=1 时,g(x)取到最大值,即 g(x)max=g(1)=e; e2x2+1 因为 f(x)= ,当 x∈(0,+∞)时, x 1 1 f(x)=e2x+ ≥2e,当且仅当 e2x= , x x 1 即 x= 时取等号,故 f(x)min=2e. e 所以? g?x1?? e 1 k 1 ? f?x2? ?max=2e=2.所以k+1≥2.

又因为 k 为正数,所以 k≥1. 5. (2012· 辽宁)设 f(x)=ln x+ x-1,证明:

3 (1)当 x>1 时,f(x)< (x-1); 2 9?x-1? (2)当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 证明 3 (1)方法一 记 g(x)=ln x+ x-1- (x-1), 2

1 1 3 则当 x>1 时,g′(x)= + - <0. x 2 x 2 3 又 g(1)=0,所以有 g(x)<0,即 f(x)< (x-1). 2 x 1 方法二 当 x>1 时,2 x<x+1,故 x< + . 2 2 1 令 k(x)=ln x-x+1,则 k(1)=0,k′(x)= -1<0, x 故 k(x)<0,即 ln x<x-1. 3 由①②得,当 x>1 时,f(x)< (x-1). 2 9?x-1? (2)方法一 记 h(x)=f(x)- , x+5 1 1 54 由(1)得 h′(x)= + - x 2 x ?x+5?2 = 2+ x x+5 54 54 - < - 2x ?x+5?2 4x ?x+5?2 ② ①

?x+5?3-216x = . 4x?x+5?2 令 G(x)=(x+5)3-216x,则当 1<x<3 时, G′(x)=3(x+5)2-216<0, 因此 G(x)在(1,3)内是减函数. 又由 G(1)=0,得 G(x)<0,所以 h′(x)<0. 因此 h(x)在(1,3)内是减函数. 又 h(1)=0,所以 h(x)<0. 9?x-1? 于是当 1<x<3 时,f(x)< . x+5 方法二 记 h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1), 则当 1<x<3 时, 由(1)得 h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9 3 ?1+ 1 ?-9 < (x-1)+(x+5)· 2 ?x 2 x?

1 = [3x(x-1)+(x+5)(2+ x)-18x] 2x x 1? 1 ? < ? 3x?x-1?+?x+5?? ?2+2+2?-18x? 2x? 1 = (7x2-32x+25)<0. 4x 因此 h(x)在(1,3)内单调递减. 9?x-1? 又 h(1)=0,所以 h(x)<0,即 f(x)< . x+5



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