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河北省定州中学2015-2016学年高二数学6月月考试题(新)



河北省定州中学 2015-2016 学年高二数学 6 月月考试题
一、选择题(共 12 小题,共 60 分) 1.曲线 y= A.1

1 2 3 x ? 2 在点(1,- )处切线的倾斜角为( ) 2 2 ? 5? ? B. C. D.- 4 4 4


2.由曲线 y ? x2 , y ? x3 围成的封闭图形面积

为( A.

1 12

B.

1 4

C.

1 3

D.

7 12

3.定义在 ? 0, ??? 上的可导函数 f ? x ? 满足 f ' ? x ? ?x ? f ? x? ,且 f ? 2? ? 0 ,则 为( ) B. ? 0,2? ? ? 2, ??? D. ? 0,3? ? ?3, ???

f ? x? ? 0 的解集 x

A. ? 0, 2 ? C. ? 2, ???

4.点 P 是曲线 y ? x 2 ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值为(



A. 1
3 2

B. 2

C.

2 2

D. 2

5.若函数 f ? x ? ? x ? x ? 2x ? 2 的—个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下 表:

3 2 那么方程 x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 的一个近似根(精确度为 0.05 )为(

) D. 1.5

A. 1.275 6.不等式

B. 1.375

C. 1.415

1 ? ?1 的解集为( x ?1

) C. ? ??,0? ? ?1, ??? D. ?0,1? ? ?1, ???

A. ? ??,0? ? ?1, ???

B. ?0, ???

7. 已知 f ( x ) 为偶函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? m( x ? 2 ? x ? 4),(m ? 0) , 若函数 y ? f ? f ( x)? ? 4m

1

恰有 4 个零点,则实数 m 的取值范围是( A. (0, ) ? ( , )

) C. (0, ) ? ( , )

1 4

5 5 6 2

B. (0, ) ? ( , )

1 6

5 5 4 2

1 4

5 5 4 2

D. (0, ) ? ( , )

1 6

5 5 6 2

8.已知 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点
M, N ,若直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为(

) D.
3 2

A. 3 ? 1

B. 2 ? 3

C.

2 2

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 , O 为坐标原点, P 为双曲线右支上一点, ?F1PF2 4 3


的内切圆 的圆心为 Q,过 F2 作 PQ 的垂线,垂足为 B,则 OB 的长度为( A. 7 B.4 C.3 D.2

10. ??? C 中,若 sin C ? A. ? ?

?

3 cos ? ? sin ? cos ? ,则(

?



?

3 B. 2b ? a ? c C. ??? C 是直角三角形
D. a 2 ? b2 ? c 2 或 2? ? ? ? C 11.已知向量 a, b 满足 a ? 1 , a 与 b 的夹角为

? ?

?

?

?

? b 的取值范围是(
A. [ , ??)

? ? ? ? ? ,若对一切实数 x , xa ? 2b ? a ? b 恒成立,则 3

) B. ( , ??)

1 2

1 2

C. [1, ??)

D. (1, ??)

12.若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? 2 y ? 0 相切,则圆 O 的方程是 ( ) B. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

A. ( x ? 5)2 ? y 2 ? 5 C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(4 小题,共 20 分) 13.在△ABC 中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,M 是 BC 的中点,N 在线段 AM 上,且 BN⊥AM,则向量 BN 在向量 AC 上的投影为

??? ?

??? ?

.

2

14.已知函数 f ? x ? ? 2x ? ax ? ln x 在其定义域上不单调,则实数 a 的取值范围是
2



15 .已知 O 为正三角形 ABC 内一点,且满足 OA ? ? OB ? ?1 ? ? ? OC ? 0 ,若 ?OAB 的面积与

??? ?

??? ?

??? ?

?

?OAC 的面积之比为 3,则 ? ? ___________.
16.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 若 S4 ? 4, S5 ? 15 ,则 a4 的最小值为_________. 三、解答题(8 小题,共 70 分)

5 x ? ( x ? 1) ln x 。 2 ln x 18.已知函数 f ? x ? ? kx, g ? x ? ? . x ln x (1)求函数 g ? x ? ? 的单调区间; x
2 2 17.当 x ? (0, e] 时,证明 e x ?

(2)若不等式 f ? x ? ? g ? x ? 在区间, ? 0, ??? 内恒成立,求实数 k 的取值范围; (3)求证:

ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ? ... ? 4 ? (n ? 2, n ? N ? , e 为自然对数的底数). 4 2 3 n 2e
2

x 19.已知 f ? x ? ? xe , g ? x ? ? ? ? x ? 1? ? a 若 ?x1 , x2 ? R 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,求实数 a 的取

值范围. 20.有以下三个不等式:

?1

2

? 42 ?? 92 ? 52 ? ? ?1? 9 ? 4 ? 5 ? ;
2

?6

2

? 82 ?? 22 ? 122 ? ? ? 6 ? 2 ? 8 ?12 ? ;
2 2

? 20

? 102 ??1022 ? 7 2 ? ? ? 20 ?102 ? 10 ? 7 ? .
2

请你观察这三个不等式,猜想岀一个一般性的结论,并证明你的结论. 21 . 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? a ln x 在 x ? 1 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

g ? x? ? f ? x? ?

1 2 x ? bx . 2

(1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ? x ? 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值. 2 1 2 22. 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? bx . 2
(3)设 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ? (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ? x ? 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

3

(3)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ? 23.已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 2 . (1)解不等式 f ? x ? ? 0 ;

7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小值. 2

(2)若存实数 x 使得 f ? x ? ? x ? a ,求实数 a 的取值范围. 24. 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) , 在以坐标原点为极点, ? y ? sin ?
? ?

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ?

??

??2 2. 4?

(1)分别将曲线 C 的参数方程和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系下的普通方程; (2)动点 A 在曲线 C 上,动点 B 在直线 l 上,定点 P 的坐标为 ? ?2, 2 ? ,求 PB ? AB 的最小值.

4

参考答案 1.B 【解析】 试题分析: f ( x) ? x, k ? f (1) ? 1, 则
' '

tan ? ? k ? 1, ? ?

?

, 4 故选 B.

考点:1、导数的几何意义;2、函数的求导. 2.A 【解析】
1 1 ? 1 1 1 ?1 S ? ? ( x 2 ? x 3 )dx ? ? x 3 ? x 4 ? |1 ? ? . 0? 0 4 ? 3 4 12 故选 A. ?3 试题分析:由图知,封闭图形面积

考点:1、定积分的应用;2、幂函数的图像. 3.A 【解析】

? f ? x ? ?? f ? ? x ? x ? f ? x ? ?0 ? ? f ' ? x ? ?x ? f ? x ? f ' ? x ? ?x ? f ? x ? ? 0 ? x ? x2 ? 试题分析: 因为 , 所以 ,



g ? x? ?

f ? x? f ? 2? ? 0 g ? 2? ? 0 g ? x? ? 0 g ? x ? ? 0, ??? x , 则 为 上的减函数, 又因为 , 所以 , 所以 f ? x? ?0 ? 0, 2 ? ,故选 A. x 的解集为

? 0, 2 ? 即 的解为

考点:利用导数研究函数的单调性及不等式的解法. 【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,考查考生的推理运算能力,及数学 转化与化归的思想,属于基础题.本题解答的关键是把题目条件

f ' ? x ? ?x ? f ? x ?

变形为

g ? x? ? f ' ? x ? ? x ? f ? x? ?0 2 从而构造函数
并求得其零点,不等式的解即 4.D 【解析】

1

f ? x? x ,并判断出 g ? x ? 是定义域上是单调递减函数,

g ? x?

图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围.

5

试题分析:由题意作图如下,当点 P 是曲线 y ? x ? ln x 的切线中与直线平行的直线 y ? x ? 2
2

y? ? 2 x ?
的切点时, 距离最近.令

1 ? 1? x ? 0 ? ?1,1? ,由点到直线的距离公式得: x 得 x ?1, 故切点为

点 P 到直线 y ? x ? 2 的距离的最小值为

d?

1 ? 2 ?1 2

? 2,
故选 D.

考点:导数几何意义的应用. 5.C 【解析】 试题分析:由题目条件可知

f ?1? ? f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? f ?1.5? ? 0, f ?1.375? ? f ?1.438? ? 0 1.438 ?1.4065 ? 0.0315 ? 0.05



f ?1.438? ? f ?1.4065? ? 0
方程的近似解在区间 C.

,但只有

满足给出的精确度,说明

?1.4065,1.438? 上,所以在该区间上的任意值都可以作为方程的近似解,故选

考点:二分法求方程的近似解. 【方法点晴】本题主要考查了二分法求方程近似解的应用,属于基础题.本题解答时应先根据解 的存在性定理判断方程近似解所在的区间,这一点根据题目给出的条件容易判断;难点在于取解, 即如何利用题目给出的精确度取出方程的近似解,方法是当某个区间的长度(区间的右端点减去左 端点)小于给出的精确度时,我们可在该区间上任取一个值作为方程的近似解. 6.C 【解析】

1 1 x ? ?1 ? ?1 ? ?0 x ?1 x ?1 试题分析:由题意得, x ? 1 ,解得 x ? 0 或 x ? 1 ,所以不等式的
解集为

? ??,0? ? ?1, ??? ,故选 C.

考点:分式不等式的求解. 7.D 【解析】 试 题 分 析 : 设

f

?x ??

, t( ? t 0 )

[ , 则 y? f

f( x )? ]

f 4m ? ,0 即

?t ??4

m

, 则
6

m( t ? 2 ? t ? 4 ) ? 4m f ( x? ) m( ? x 2 ?

, 则

t ?2 ? t ? 4 ?

4

, 得 t ? 5 或 t ?1 , 若 t ?1 , 则

1 x ? 2 ? x ? 4 ? ? x 4 ? ) 1 m ,若 t ? 5 ,则 f (x) ? m( x ?2 ? x ? 4) ?5 , ,即

x?2 ? x?4 ?


5 m ,设 g ? x? ? x ? 2 ? x ? 4 ( x ? 0),因为函数 f ? x ? 是偶函数,所以要使得
恰有 4 个零点,则等价为当 x ? 0 时,函数

y ? f ? f ( x)? ? 4m

y ? f ? f ( x)? ? 4m

恰有 2 个零点,作

1 ?1 ? ?2 m? ? ? 5 5 ?m ? 2 ?? ? ?m? ? 6 2 ?2 ? 5 ? 6 ? 5 ? m ? 5 g ? x? ? ? 2 m ?6 出 在 [0, ??) 上 的 图 象 如 图 , ① ? , ② 1 ?1 ? ? 2 ?0 ? m ? ? 1 ?m ? 6 ?? ?0?m? ? 6 1 5 5 ? 5 ? 6 ?0 ? m ? 5 (0, ) ? ( , ) ?m ? 6 ? ? 6 6 2 ,故选 D. ,综上实数 m 的取值范围是

考点:根的存在性及根的个数判断;函数奇偶性的性质. 【方法点晴】本题主要考查了函数与方程的应用,利用换元法结合函数与方程之间的关系,利 用数形结合思想以及分类讨论进行求解是解答的关键,试题综合性强,难度较大,同时着重考查了 学生分析问题、解答问题的能力和转化与化归思想的应用,本题的解答中,利用换元化简后,正确 作出函数的图象是解答的本题的关键和易错点. 8.A 【解析】 试题分析: 因为直线 MF1 是圆 F2 的切线, 所以∠F1MF2=90°, |MF2|=c.因为|F1F2|=2c, 所以|MF1|

c 2 1? 3 ? 3 ?1 c e? ? a 1? 3 = 3 c. |MF2|+|MF1|=2a,a= 2 , .故选 A.
考点:椭圆的定义与几何性质. 9.D 【解析】 试题分析: 根据题意得

F1 ? ?c,0? , F2 ? c,0?

, 设

?F1PF2 的内切圆分别与 PF1 , PF2 切于点 A1 , B1 ,
7



F1F2 切于点 A ,则 PA 1 ? PB 1, F 1A 1? F 1 A, F 2B 1 ? F 2 A ,又点 P 在双曲线右支上,∴
, ,而

PF1 ? PF2 ? 2a


F1 A ? F2 A ? 2a

F1 A ? F2 A ? 2c

,设 A 点坐标为(x,0) ,则由

F1 A ? F2 A ? 2a



得(x+c)-(c-x)=2a,解得 x=a,∵|OA|=a,∴在

?FCF 1 2 中,

OB ?

1 1 1 1 CF1 ? ? PF1 ? PC ? ? ? PF1 ? PF2 ? ? ? 2a ? a 2 2 2 2

考点:双曲线的简单性质 10.D 【解析】 试 题 分 析 :

s

? i

?

n

C?

?

? 3



c?

o



s ?



s

i

sinC ? sin ? A ? B? ? sin Acos B ? cos Asin B
cos ? =0 或 3cos ?-sin ? ? 0 ,故
考点:解三角形. 11.C 【解析】 试题分析:由若对一切实数

, 代入整理得 3cos ? cos ?-cos ? cos ?=0 ,解得

?=

?
2或

?=

?
3 ,选 D.

x,

? ? ? ? xa ? 2b ? a ? b

恒成立,得

? ?2 ? ?2 xa ? 2b ? a ? b

?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 ? ? ? 2 ?2 ? ? 2 2 x2 a ? 4 b + 4 x a ? b ? a ? b ?2 a ?,整理得 b x2 a ? 4b +4xa ? b ? a ? b ? 2a ? b ,把
? ? ? 2 ? ? x2 ? 2 x b ? 3 b? b ? 1 与 b 的 夹 角 为 3 代 入 , 整 理 得 ?2 ?2 ? ? =4 b ? 4 3 b ? b ? 1 ? 0
,解得

? a ?1

,即 ,a

?

?

?

? 0
恒 成 立 , 故

?

?

? b ?1



考点:1、平面向量数量积的运算;2、一元二次不等式的解法与判别式的关系. 【方法点睛】首先由若对一切实数 x ,

? ? ? ? xa ? 2b ? a ? b

恒成立, 通过两边平方, 转化为

? ?2 ? ?2 xa ? 2b ? a ? b

恒成立,然后把

? a ?1

? ? ? , a 与 b 的夹角为 3 代入,化简整理成关于 x 的二次方程
? b
的不等式,

恒成立问题,根据一元二次不等式的解法与判别式的关系,可得 ? ? 0 ,从而得到关于 解不等式即可得到 12.D

? b

的取值范围.

8

【解析】 试题分析:圆的圆心在横轴上,且半径已知,可假设圆的方程为 ( x ? a) ? y ? 5 ,因为直线
2 2

a
与圆相切,即圆心到直线的距离等于半径,可求得 5
2 2

? 5 ? a ? ?5
,因为圆在纵轴的左侧,则

必有 a ? 0 ,所以 a ? ?5 ,则圆的方程为 ( x ? 5) ? y ? 5 ,正确选项为 D. 考点:圆的标准方程及其切线性质.

27 13. 38
【解析】以 A 为原点、AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,则 A(0,0) ,B(3,0) ,C(1, 3 ) ,

M( 2,
所以

3 3? ? ? ?? ? ? ? ?? ??? ? ???? ??? ? (2? ? 3, 3? ) ) (2? , ) ? A= B 2 , 设 A N ? ? A M= 2 ,因为 2 , ∴ B N? A N

???? 24 3 3? 9 12 3 ???? ? ??? ? 2(2? ? 3) ?? ? ? ?0 BN ? (? , ) AM ? BN , 19 , 2 2 19 19 , 所以 AM ? BN = , 解得 所以 uuu r uuu r BN × AC 27 uuu r uuu r uuu r ? 9 ? 3 ? 12 3 27 | AC | 19 = 19 ,所以向量 BN 在向量 AC 上的投影为 所以 BN ×AC = 19 = 38 .
【命题意图】本题主要考查向量的线性运算及向量数量积的应用,考查运算求解能力,是基础 题. 14.

? ??, ?4? ? ? 4, ???
f ? ? x ? ? 4x ? a ? 1 4 x 2 ? ax ? 1 ? f ? x? ? 2 x2 ? ax? ln x x x , 因为函数 在其定义域

【解析】

试题分析:

?0, ???

上不单调,所以

y ? 4x2 ? ax ? 1 存 在 变 号 零 点 , 故 ? ? a 2 ? 16 ? 0 , 解 得

? ??, ?4? ? ? 4, ??? .
考点:利用导数研究函数的单调性.

1 15. 2
【解析】 试题分析: 由

??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? ?OB ? ?1 ? ? ? OC ? 0

, 即

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? O A? O C ?? O B O ?C

?

? 0

?

, 如图所示,D, E

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OC ? 2 OE , ? ( OB ? OC ) ? 2 ? OD 分别是 对应边的中点,由平行 四边形法则可知 ,所 以

9

1 1 1 1 1 ??? ? ???? S?AOC ? S?AOB ? ? S?ABC ? S?ABC ? S?ADC O C 与 OE ? ??OD , 3 3 2 6 3 在 ?ABC 中, 因为 , 且 ?A 1 ?ADC 同 底 边 , 所 以 O 点 到 底 边 AC 的 距 离 等 于 D 到 AC 的 距 离 的 3 , 所 以 ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ???? 1 OE ? DE ? OE ? OD ?? 3 2 2. ,所以

考点:平面向量的共线定理和向量的化简. 16. 7 【解析】 试题分析:因为

S4 ? 2(a1 ? a4 ) ? 4 ? 2a3 ? d ? 2 ,

S5 ? 5a3 ? 15 ? a3 ? 3 , 因 为

2a3 ? d ? 2 ,所以 d ? 2a3 ? ?2 ,又因为 a3 ? 3 ,所以 2a3 ? 6 ,所以 d ? 4 ,所以 a4 ? a3 ? d ? 7 ,
所以

a4 的最小值为 7 .

考点:等差数列的前 n 项和. 17.证明见解析. 【解析】

e 2 x 2 ? x ln x ?
试题分析: 原不等式变形为

5 x ? ln x, 2 因为 x ? (0, e], 不等式两边同除以 x,得到

e 2 x ? ln x ?
不等式 上证

5 ln x 5 ln x ? . ? ( x) ? ? , 2 2 x 构造新函数 F ( x) ? e x ? ln x 和 2 x 则问题转化为 (0, e]

F ( x) min ? ? ( x) max , 故只需求出 F ( x) 的最小值和 ? ( x) 的最大值即可.
2

试 题 解 析 : 令 F ( x) ? e x ? ln x

由 (2 ) 知 F ( x) min ? 3 令

? ( x) ?

ln x 5 ? , x ? (0, e] x 2 ,

? ?( x) ?

1 ? ln x x2
f ( x) 在 (0, e] 上 单 调 递 增 ∴

? 当 x ? (0, e] 时 , ? ( x) ? 0

10

? ( x) max ? ? (e) ?

1 5 1 5 ? ? ? ?3 e 2 2 2 ln x 5 ? x 2

e 2 x ? ln x ?


e2 x2 ?


5 x ? ( x ? 1) ln x 2

考点:1、应用导数求函数的单调性;2、应用导数求函数的最值.

18. (1) 解析. 【解析】

g ? x?

k? ? 0, e ? ,单调递减区间为 ?e, ??? ; 2e ; 的单调递增区间为 (2) (3)证明见

1

试题分析: (1)求出

g ? x?

的导数,并求出其零点和符号变化情况,即可得到其在

?0, ??? 上的

单调性; (2)不等式

f ? x? ? g ? x?

k?


ln x ? h(x) x2 ,利用导数在研究其单调性的基础上,得到其

ln x 1 1 ? ? 2 4 2e x ,根据 最大值,即得 k 的范围; (3)根据要证明不等式的形式,利用(2)的结论可得 x
不等式的性质逐项相加,即可得证.

试题解析: (1)

? g ? x? ?

ln x 1 ? ln x ? g ' x ? ? ? x ,故其定义域为 ? 0, ??? , x 2 令 g ' ? x ? ? 0 ,得

0? x ? e,



g ' ? x? ? 0

,得 x ? e 故函数

g ? x? ?

ln x x 的单调递增区间为 ? 0, e ? 单调递减区间为 ? e, ??? .

? x ? 0, kx ?
(2)

ln x ln x ln x 1 ? 2 ln x ,? k ? 2 h ? x? ? 2 h '? x? ? h ' ? x? ? 0 x x 令 x 又 x3 令 解得

x ? e ,当 x 在 ? 0, ??? 内变化时, h ' ? x ? , h ? x ? 变化如下表

11

由表知,当 x ?

e 时函数

h ? x?

1 1 k? 2e . 有最大值,且最大值为 2 e ,所以

ln x 1 ln x 1 1 ? ln 2 ? ln 3 ? ... ? ln n ? 1 ? 1 ? 1 ? ... ? 1 ? ? ? 4 ? ? 2 ? ? 4 2 34 n4 2e ? 22 32 n2 ? 2e x 2e x , 2 (3)由(2)知 x


1 1 1 1 1 1 1? 1 ? 1? ?1 1? ? 1 ? 2 ? ... ? 2 ? ? ? ... ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? 1? ? 1 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 ? n ?1? n ? 2 ? ? 2 3 ? n ? n ?1 n ? ,
? ln 2 ln 3 ln n 1 ? 1 1 1 ? 1 ln 2 ln 3 ln n 1 ? 4 ? ... ? 4 ? ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? ? ? 4 ? ... ? 4 ? 4 4 2 3 n 2e ? 2 3 n ? 2e 即 2 3 n 2e .

考点:利用导数研究函数的单调性和极值、最值及不等式的证明. 【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值、最值,属于中档题.研究函数 问题,首先要把握好定义域优先的原则,这是研究单调性时最常见的错误,判断符号可以列表也可 以串根来解答;第二问解决含参数的函数的恒成立时,能分离参数的优先考虑分离参数,转化为求 定函数的最值问题;证明不等式应先分析要证不等式的形式,考虑其前问的结论间的联系,合理构 造,利用不等式的性质合理变形达到证明的目的.

a??
19. 【解析】

1 e.

试题分析:分两步求解,要 导数研究其单调性求得

?x1 ? R 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则有 f ? x
最小值;要满足

?min ? g ? x2 ? ,利用

f ? x?

?x2 ? R 使 得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成 立 , 应 有

f ? x1 ?min ? g ? x ?max
围. 试题解析:

,根据二次函数知识求出

g ? x?

的最大值,从而得到关于 a 的不等式,求得其范

f ' ? x ? ? ex ? xex ? ?1? x ? ex

,当 x ? ?1 时,

f ' ? x? ? 0

函数递增;当 x ? ?1 时,

f ' ? x? ? 0

函数递减,所以当 x ? ?1 时,

f ? x?

取得极小 值即最小值

f ? ?1? ? ?

1 e . 函数 g ? x ? 的

最大值为 a ,若

f ? x2 ? ? g ? x2 ? f ? x? g ? x? ?x1 , x2 ? R , 使得 成立,则有 的最大值大于或等于 的最小

a??
值,即

1 e.

考点:存在性量词与不等式的有解问题. 【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题,属于中档题.含有存在性量词的 命题通常转化为有解问题,进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词,解答 时,先把其中一个函数看成参数,研究另一个的最值,再来解决另一个的最值,从而得到要求参数

12

的不等式,求得其范围.

?a 20.

2

? b2 ?? c 2 ? d 2 ? ? ? ac ? bd ?

2

,证明见解析.

【解析】 试题分析:根据题意,观察各式得其规律,用将将规律表示出来,再利用规律进行作差比较进 行证明即可.

?a 试题解析:结论为: ?a 证明:
2

2

? b 2 ?? c 2 ? d 2 ? ? ? ac ? bd ? .
2 2

? b 2 ?? c 2 ? d 2 ? ? ? ac ? bd ? ? a 2c2 ? a 2d 2 ? b2c2 ? b 2d 2 ? ? a 2 c 2 ? b2 d 2 ? 2abcd ?
2

? a 2 d 2 ? 2abcd ? b 2 c 2 ? ? ad ? bc ? ? 0
考点:归纳推理.

?a ,所以

2

? b 2 ?? c 2 ? d 2 ? ? ? ac ? bd ? .
2

15 ? 2 ln 2 21. (1) a ? 1 ; (2) (3, ??) ; (3) 8 .
【解析】

f ?( x) ? 1 ?
试题分析: (1)由于

a x ,利用导数的几何意义和两直线垂直时斜率间的关系即可求



a 的值; (2)由已知得

g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? x x ,由于 x ? 0 ,题意可知

x2 ? (b ?1) x ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上有解,根据二次函数知识即可求得实数 b 的取值范围; ( 3 )由
g?( x) ? 0得x2 ? (b ? 1)x ? 1? 0 , ?x 1 ?x 2 ? b ?1, x 1 x 2 ?1
, 整 理 可 得

2 x1 1 x12 ? x2 x 1 x x x g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ln ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) t? 1, ? 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? t ? 1 x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1 ,可设 x2 ,

b?


7 1 1 1 1 0?t? h(t ) ? ln t ? (t ? )(0 ? t ? ) 2 可得 4 ,则 2 t 4 ,利用导数即可求得 h(t ) 的最小值.

? f ( x) ? x ? a ln x, ? f ?( x) ? 1 ?
试题解析: (1)

a x,

?l与直线x ? 2 y ? 0 垂直,? k ? y? | x ? 1 ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1
? g ( x) ? ln x ?
(2)

1 2 x ? (b ? 1) x( x ? 0) 2

g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? x x

13



? ( x) ? x2 ? (b ?1) x ? 1





?(

? ?0

)只

1 须

0

?b ?1 ?0 ?b ? 1 ? ?? ?b?3 ? 2 ?? ? (b ? 1)2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b ? ?1 ?
? b 的取值范围为 (3, ??)
(3)令

g?( x) ? 0得x 2 ? (b ?1) x ?1 ? 0, ? x1 ? x2 ? b ?1, x1 x2 ? 1

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln ? ln

x1 1 2 x 1 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x12 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x2 2 x2 2 ?t ? x1 , ? 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? t ? 1 x2 ,

2 x1 1 x12 ? x2 x 1 x x ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1

2 ? 1 7 25 ? x1 ? x2 ? b ? 1 ( x1 ? x2 ) , ? (b ? 1) 2 得t ? ? 2 ? ( ? 1) 2 ? ? x1 x2 t 2 4 ? x1 x2 ? 1 又? ?

? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ?

1 1 1 1 h(t ) ? ln t ? (t ? )(0 ? t ? ) 4 ,令 2 t 4

1 1 1 (t ? 1)2 1 ? h (t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ? h(t )在(0, ]单减 2 4 t 2 t 2t ,
1 15 15 h(t ) ? h( ) ? ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值为 8 4 8 故
考点:导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和极值、最值. 【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的极值、最值等,着重考查 了学生转化与化归及构造的思想等,属于难题.第一问考查了导数的几何意义,函数图象上某点的导 数就是曲线在该点的切线的斜率;第二问结合函数的定义域把有解问题转化为一元二次不等式有解 问题,根据三个二次之间的关系来解答;第三问是本题的难点,首先是通过换元构造新函数,这个

x1 g ? x1 ? ? g ? x2 ? x ,x x 过程中要注意函数 的结构特点,把 2 作为“新元” ,其次是根据 b 的范围与 1 2 的
关系求 得“新元”范围及新函数的定义域,最后再利用导数求得函数最小值.

15 ? 2 ln 2 22. (1) a ? 1 ; (2) (3, ??) ; (3) 8 .
【解析】

f ?( x) ? 1 ?
试题分析: (1)由于

a x ,利用导数的几何意义和两直线垂直时斜率间的关系即可求

14



a 的值; (2)由已知得

g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? x x ,由于 x ? 0 ,题意可知

x2 ? (b ?1) x ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上有解,根据二次函数知识即可求得实数 b 的取值范围; ( 3 )由
g?( x) ? 0得x2 ? (b ? 1)x ? 1? 0 , ?x 1 ?x 2 ? b ?1, x 1 x 2 ?1
, 整 理 可 得

2 x1 1 x12 ? x2 x 1 x x x g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ln ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) t? 1, ? 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? t ? 1 x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1 ,可设 x2 ,

b?


7 1 1 1 1 0?t? h(t ) ? ln t ? (t ? )(0 ? t ? ) 2 可得 4 ,则 2 t 4 ,利用导数即可求得 h(t ) 的最小值.

? f ( x) ? x ? a ln x, ? f ?( x) ? 1 ?
试题解析: (1)

a x,

?l与直线x ? 2 y ? 0 垂直,? k ? y? | x ? 1 ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1
? g ( x) ? ln x ?
(2)

1 2 x ? (b ? 1) x( x ? 0) 2

g ?( x) ?

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? x x



? ( x) ? x2 ? (b ?1) x ? 1





?(

? ?0

)只

1 须

0

?b ?1 ?0 ?b ? 1 ? ?? ?b?3 ? 2 b ? 3 或 b ? ? 1 2 ? ?? ? (b ? 1) ? 4 ? 0 ?
? b 的取值范围为 (3, ??)
(3)令

g?( x) ? 0得x 2 ? (b ?1) x ?1 ? 0, ? x1 ? x2 ? b ?1, x1 x2 ? 1

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln

x1 1 2 x 1 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x12 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x2 2 x2 2 ?t ? x1 , ? 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? t ? 1 x2 ,

2 x1 1 x12 ? x2 x 1 x x ? ln ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1

2 ? 1 7 25 ? x1 ? x2 ? b ? 1 ( x1 ? x2 ) , ? (b ? 1) 2 得t ? ? 2 ? ( ? 1) 2 ? ? x1 x2 t 2 4 ?x x ? 1 又? ? 1 2

15

? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ?

1 1 1 1 h(t ) ? ln t ? (t ? )(0 ? t ? ) 4 ,令 2 t 4

1 1 1 (t ? 1)2 1 h?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ? h(t )在(0, ]单减 2 4 t 2 t 2t ,
1 15 15 h(t ) ? h( ) ? ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 g ( x ) ? g ( x ) 4 8 1 2 的最小值为 8 故
考点:导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性和极值、最值. 【方法点睛】本题主要考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的极值、最值等,着重考查 了学生转化与化归及构造的思想等,属于难题.第一问考查了导数的几何意义,函数图象上某点的导 数就是曲线在该点的切线的斜率;第二问结合函数的定义域把有解问题转化为一元二次不等式有解 问题,根据三个二次之间的关系来解答;第三问是本题的难点,首先是通过换元构造新函数,这个

x1 g ? x1 ? ? g ? x2 ? x ,x x 过程中要注意函数 的结构特点,把 2 作为“新元” ,其次是根据 b 的范围与 1 2 的
关系求得“新元”范围及新函数的定义域,最后再利用导数求得函数最小值. 23. (1) 【解析】

? ??, ?3? ? ?1, ??? ; (2) a ? ?3 .

1 a x ? ? x ? ?1 2 2 , 试题分析: (1) 化简函数的解析式, 分类讨论, 求得不等式的解集; (2) 不等式 x?
由题意得,不等式有解,根据绝对值的意义可得 的范围.

1 1 1 a 1 ? x ? [? , ] ?1 ? ? 2 2 2 ,故有 2 2 ,由此求得 a

1 ? ? 1 ?x ? ? ?? ? x ? 0 ?x ? 0 f ? x? ? 0 ? ? 2 ? 2 ? ? ??1 ? 2 x ? x ? 2 ? 0 或 ? ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? 0 或 ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? 0 试题解析: ( 1)
解得 x ? ?3 或 x ? 1 ,解集为

? ??, ?3? ? ?1, ??? .
1 a ? x ? 1? 2 2


f ? x ? ? x ? a ? 2x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ?
( 2 )

x?

1 1 1 1 a ? x ?? x? ?x ?? ? ? 1 ? ? a ? ?3 2 2 2 ,所以只需满足 2 2 .
考点:绝对值不等式的求解与绝对值的几何意义. 24. (1) 【解析】

? x ? 1?

2

? y2 ? 1

, x? y ? 4; (2) 37 ?1 .

16

试题分析: (1)消去参数,根据三角函数的基本关系式,即可得到曲线 C 的普通方程;利用极 坐标与直角坐标的对应关系得到直线 l 的普通方程; ( 2 )求出点 P 关于直线 l 的对称点 P? ,则

PB ? AB

的最小为 P? 到圆 心的距离减去曲线 C 的半径.

? x ? 1 ? cos ? 2 ? x ? 1? ? y 2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? y ? sin ? C ? 试题解析: (1)由曲线 的参数方程 可得 ,
x ? 1? ? y 2 ? 1 ? C 所以曲线 的普通方程为 .
2

由直线 l 的极坐标方程:

? sin ? ? ?

? ?

??

??2 2 ? ?sin? ? cos? ? ? 4 4? ,可得 ,即 x ? y ? 4 .

(2)设点 P 关于直线 l 的对称点为

Q ? a, b?

,有: ,故 .

? ?2 ? a 2 ? b ? ? 4, ? 2 ? 2 ? b?2 ? ? ? ?1? ? ?1 ? ? a ? ? ?2 ?

?a ? 2 ? b?6 ,解得: ?

由(1)知,曲线 C 为圆,圆心坐标为

C ?1,0?

PB ? AB ? QB ? AB ? QC ? 1 ? 37 ? 1

当 Q, B, A, C 四点共线时, 且 A 在 B, C 之间时, 等号成立, 所以

PB ? AB

的最小值为 37 ?1 .

考点:参数方程,极坐标方程与普通方程的互化、对称点的求解. 【方法点晴】本题主要考查了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化、对称点的求解及最短 距离的求法,属于中档试题,同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用,本题的解答 中求出点 P 关于直线 l 的对称点 P? ,则

PB ? AB

的最小为 P? 到圆心的距离减去曲线 C 的半径,

是解答第二问的关键,对于与圆有关的最值问题,要注意转化思想的应用,平时应注意总结.

17



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