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高中数学对勾函数学案自编


对勾函数学案
一、类耐克函数性质探讨 函数 y ? ax ?
b x

,在 a ? 0 或 b ? 0 时 为简单的单调函数,不予讨论。

在 a ? 0 且 b ? 0 时 有如下几种情况: (1) a ? 0 , b ? 0 (2) a ? 0 , b ? 0 (3) a ? 0 , b ? 0 (4) a ? 0 , b ? 0 设 y 1 ? ax , y 2 ?
b x

,则 y ? y 1 ? y 2 ? ax ?
b x

b x

,其定义域为 ?x | x ? R , 且 x ? 0 ?

(1) a ? 0 , b ? 0 时, y 1 ? ax , y 2 ? 故 y ? y 1 ? y 2 ? ax ?
b x

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 上分别单调递增。

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 为单调递增函数。
b x

(2) a ? 0 , b ? 0 时, y 1 ? ax , y 2 ? 故 y ? y 1 ? y 2 ? ax ?
b x

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 上分别单调递减。

在 ( ?? , 0 ), ( 0 , ?? ) 为单调递减函数

(3) a ? 0 , b ? 0 图像略
1 当 x ? 0 时, y 1 ? ax ? 0 , y 2 ?
b x b a b x
?

b x

? 0

y ? y 1 ? y 2 ? ax ?

? 2

ax ?

? 2

ab 。

当且仅当 ax ?
?

b x

,即 x ?

取等号。
b x

2 当x ? 0 时

y 1 ? ax ? 0 , y 2 ?
b x b a ?b x

? 0

y ? y 1 ? y 2 ? ax ?

? ? ( ? ax ?

) ? ?2

ax ?

b x

? ?2

ab ,

当且仅当 ax ? 4) a ? 0 , b ? 0

b x

,即 x ? ?

(因为 x ? 0 ,故舍掉 x ?

b a

)取等号。

1 当 x ? 0 时, y 1 ? ax ? 0 , y 2 ?
b x b a ?b x

?

b x

? 0

y ? y 1 ? y 2 ? ax ?

? ? ( ? ax ?

) ? ?2

ax ?

b x

? ?2

ab 。

当且仅当 ax ?
?

b x

,即 x ?

取等号。
b x

2 当x ? 0 时

y 1 ? ax ? 0 , y 2 ?
b x b a
1 x

? 0

y ? y 1 ? y 2 ? ax ?

?? 2

ax ?

b x

? 2

ab ,

当且仅当 ax ?

b x

,即 x ? ?

取等号。

二、关于求函数 y ? x ?

?x

? 0?

最小值的十种解法

1. 均值不等式
? x ? 0 ,? y ? x ?

1 x

? 2 ,当且仅当 x ?

1 x

,即 x ? 1 的时候不等式取到“=” 。

? 当 x ? 1 的时候, y min ? 2

2.

?


1 x ? x
2

y ? x?

? yx ? 1 ? 0
2

若 y 的最小值存在,则 ? ? y ? 4 ? 0 必需存在,即 y ? 2 或 y ? ? 2 (舍) 找到使 y ? 2 时,存在相应的 x 即可。通过观察当 x ? 1 的时候, y min ? 2

3. 单调性定义
设 0 ? x1 ? x 2
f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ? ? x 1 ? x 2 ?? 1 ? ? x1 x 2 ? ? x x ?1 ? ? ? x1 ? x 2 ? 1 2 ? x1 x 2 ?

当对于任意的 x 1 , x 2 ,只有 x 1 , x 2 ? ? 0 ,1 ? 时, f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,? 此时 f ? x ? 单调递增; 当对于任意的 x 1 , x 2 ,只有 x 1 , x 2 ? ?1, ?? ? 时, f ? x 1 ? ? f ? x 2 ? ? 0 ,? 此时 f ? x ? 单调递减。
? 当 x ? 1 取到最小值, y min ? f ?1 ? ? 2

4. 复合函数的单调性
? y ? x? ? ? ? x ? 1 1 ? x ? ? ? 2 ? x ?
2

t ?

x ?

1 x

在 ? 0 , ?? ? 单调递增, y ? t ? 2 在 ? ? ? , 0 ? 单调递减;在 ?0 , ?? ? 单调递增
2

又? x ? ? 0 ,1 ? ? t ? ? ? ? , 0 ? x ? ?1, ?? ? ? t ? ?0 , ?? ?
? 原函数在 ? 0 ,1 ? 上单调递减;在 ?1, ?? ? 上单调递增

即当 x ? 1 取到最小值, y min ? f ?1 ? ? 2

5. 求一阶导
y ? x? 1 x
'

? y ?1?
'

1 x
2

当 x ? ? 0 ,1 ? 时, y ? 0 ,函数单调递减;当 x ? ?1, ?? ? 时, y ? 0 ,函数单调递增。
'

? 当 x ? 1 取到最小值, y min ? f ?1 ? ? 2

6. 三角代换
令 x ? tan ? , ? ? ? 0 ,
? ?

? ?

1 ? ,则 ? cot ? x 2 ?
2 sin 2 ?

y ? x?
? ?

1 x

? tan ? ? cot ? ?

? ? ? 0,

? ?

? ? 2? ? ?0 , ? 2 ?

?
时, ?sin 2 ? ? max ? 1 , y min ? 2 ,显然此时 x ? 1

? 当? ?

?
4

,即 2 ? ?

?
2

7. 向量
y ? x? 1 x ? x ?1 ? 1 x ?1 ? a ? b ,
? 1 a ? ? x, x ? ? ? , b ? ?1,1 ? ?

a ? b ? a ? b cos ?

2 a cos ?
1 x

根据图象,a 为起点在原点, 终点在 y ?

?x

? 0 ? 图象

上 的

一个向量, a cos ? 的几何意义为 a 在 b 上的投影,显然当 a ? b 时, a cos ? 取得最小值。 此时, x ? 1 , y min ?
2 ? 2 ? 2

8.图象相减
y ? x? 1

1 ? 1? ? x ? ? ? ? ,即 y 表示函数 y ? x 和 y ? ? 两者之间的距离 x x ? x?

求 y min ,即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线 y ? x ,显然当 y ? x 与 y ? ?
y ? ? 1 x 1 x 1 x

相切时,两曲线竖直距离最小。
1 x

关于直线 y ? ? x 轴对称,若 y ? x 与 y ? ?



x ? 1 处有一

交点,根据对称性,在 0 ? x ? 1 处也必有一个交点,即此
y ? ?

时 y ? x 与

相交。显然不是距离最小的情况。

所以,切点一定为 ?1, ? 1 ? 点。 此时, x ? 1 , y min ? 2

9.平面几何
依据直角三角形射影定理,设 AE ? x , EB ? 显然, x ?
1 x 1 x

,则 AB ? AD ? x ?

1 x 1 x

为菱形的一条边,只用当 AD ? AB ,即 AD 为直线 AB 和 CD 之间的距离时, x ?

取得最

小值。即四边形 ABCD 为矩形。 此时, x ?
1 x

,即 x ? 1 , y min ? 2

10. 对应法则
设 ? f ? x ?? min ? t
f x

? ??
2

x ?
2

1 x
2

? x ? ? 0 , ?? ? , x ? ? 0 , ?? ? ,对应法则也相同
2

? f x

? ? ??
2

min

? t
1 x ? f
2

f ?x ? ? x ?

?x ? ?

x

2

?

1 x
2

? 2

? 左边的最小值 ? 右边的最小值

? t

2

? t ? 2 ? t ? ? 1 (舍)或 t ? 2
2

当 x ? P ? x ,即 x ? 1 时取到最小值,且 y min ? 2 四、对勾函数练习: 1.若 x>1.求 y ? x ?
x
2

1 x ?1

的最小值

2. 若 x>1. 求 y ?

? 2x ? 2 x ?1

的最小值

3. 若 x>1. 求 y ?

x

2

? x ?1 x ?1

的最小值

4. 若 x>0. 求 y ? 3 x ?
x
2

2 x

的最小值

5.已知函数 y
(1) 求 a ?
1 2

?

? 2x ? a x

( x ? [1, ?? ))

时,求 f ( x )的最小值

(2)若对任意 x∈[1,+∞],f(x)>0 恒成立,求 a 范围

?
6.: 方程 sin2x-asinx+4=0 在[ 0 ,
7. 函 数 y ? x ? _________。 8.函数 y ? 2 ? 3 x ?
4 x 10 x

2

]内有解 ,则 a 的取值范围是__________
10 x

?2 ?

x ? 7 ? 的 最 ' ;%bsPE' ;%bs 数 y ? x ?

?2 ?

x ? 7? 的最大值为

的最大值为
x
2



9、若 ? 4 ? x ? 1 ,则 y ? 10.函数 y ?
sin 9
2

? 2x ? 2 2x ? 2

的最值是



? 4 sin x ? a ? 1 x

2

x 的最小值是

。 。

11.若不等式
t

t
2

t? 2 t ?
2

?9

在 t ? ? 0 , 2 ? 上恒成立,则 a 的取值范围是

12. 求函数 f ? x ? ? x ?

16 x x
2

?1
2 4
x

?x
x

? 1 ? 的最值。

1 13. 当 x ? ( 0,)时,求 f ( x ) ?

?1

的值域

14. 求 f ( x ) ? x ? x ?
2

1 x
2

? x?3

的值域


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