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几何概型(一轮复习)



[备考方向要明了] 考什么 1.了解随机数的意义, 能运用模拟方法估计 概率. 2.了解集合概型的意义. 怎么考 几何概型是高考的一个重点, 多以选择题或填空题的形式考查, 并进一步强调知识间的横向联系, 如2012年福建T6.

[归纳· 知识整合]
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积) 成比例,则称这样的

概率模型为几何 __________________ 概率模型,简称几何概型. [探究] 1.几何概型有什么特点? 提示:几何概型的特点: ①无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无 限个.

②等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.

2.几何概型和古典概型有什么区别? 提示:几何概型和古典概型中基本事件发生的可能 性都是相等的,但古典概型的基本事件有有限个,而几

何概型的基本事件则有无限个.
2.几何概型的概率公式

构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积? P(A)=___________________________________________.

[自测· 牛刀小试]
1.容量为 400 mL 的培养皿里装满培养液,里面有 1 个细 菌,从中倒出 20 mL 的培养液,则细菌被倒出的概率是 ( )

1 A. 200 1 C. 400

1 B. 20 1 D. 40

20 1 解析:细菌被倒出的概率为 P= = . 400 20 答案:B

2.已知地铁列车每 10 min(含在车站停车时间)一班,在车站 停 1 min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( 1 1 A. B. 10 9 )

1 C. 11

1 D. 8

解析:试验的所有结果构成的区域长度为 10 min,而构 1 成所求事件的区域长度为 1 min,故 P= . 10
答案:A

3.某人向一个半径为 6 的圆形靶射击,假设他每次射击必 定中靶,且射中靶内各点是随机的,则此人射中靶点与 靶心的距离小于 2 的概率为 1 1 A. B. 13 9 ( )

1 C. 4

1 D. 2

1 解析:射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是 . 9 答案:B

4.点 A 为周长等于 3 的圆周上一个定点,若在该圆周上随
AB 的长度小于 1 的概率为_______. 机取一点 B, 则劣弧 ?

解析:试验的全部结果构成的区域长度为 3,所求事件 2 发生的区域长度为 2,故所求的概率为 P= . 3
2 答案: 3

5.如图所示,已知正方形的面积为 10,向 正方形内随机地撒 200 颗黄豆,数得落 在阴影外的黄豆数为 114 颗,以此试验 数据为依据,可以估计出阴影部分的面 积约为________.

200-114 解析: 根据随机模拟的思想, 这个面积是 10× = 200 4.3.

答案:4.3

与长度有关的几何概型

[例 1]

(2012· 辽宁高考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取

一点 C.现作一矩形,邻边长分别等于线段 AC,CB 的长,则 该矩形面积大于 20 cm2 的概率为
1 A. 6 2 C. 3 1 B. 3 4 D. 5

(

)

[自主解答]

设 AC=x cm,CB=(12-x)cm,0<x<12,

所以矩形面积大于 20 cm2 即为 x(12-x)>20, 8 2 解得 2<x<10,故所求概率为 = . 12 3

[答案]

C

在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,并以线段 AC 为边作正方形,则这个正方形的面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率是多少?

解:面积为 36 cm2 时,边长 AC=6,面积为 81 cm2 9-6 3 1 时,边长 AC=9,故 P= = = . 12 12 4

求解与长度有关的几何概型的两点注意
(1)求解几何概型问题,解题的突破口为弄清是长度 之比、面积之比还是体积之比; (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法,是把题 中所表示的几何模型转化为线段的长度,然后求解,应

特别注意准确表示所确定的线段的长度.

? π π? 1. 在区间?-2,2 ?上随机取一个数 ? ?

1 x, 则 cos x 的值介于 0 到 之 2

间的概率为________.

π π 1 π π 解析:当- ≤x≤ 时,由 0≤cos x≤ ,得- ≤x≤- 2 2 2 2 3 π π 1 或 ≤x≤ ,根据几何概型概率公式得所求概率为 . 3 2 3 1 答案: 3

2.已知集合

? x-2 ? ? ? ? ? ? >0? A={x|-1<x<5},B= x? ? ? ? ?3-x ?

,在集合 A 中

任取一个元素 x,则事件“x∈A∩B”的概率是_______.
解析:由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3},由几 何概型知,在集合 A 中任取一个元素 x,则 x∈A∩B 的 1 概率为 P= . 6 1 答案: 6

与面积(体积)有关的几何概型
[例 2] (1)已知平面区域 U={(x,y)|x+y≤6,x≥0,

y≥0},A={(x,y)|x≤4,y≥0,x-2y≥0},若向区域 U 内 随机投一点 P,则点 P 落入区域 A 的概率为________.

(2)(2012· 湖北高考)如图所示,在圆心角 为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为 直径作两个半圆,在扇形 OAB 内随机取一 点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )

1 1 A. - 2 π

1 B. π

2 C.1- π

2 D. π

[自主解答]

(1)依题意可在平面直

角坐标系中作出集合 U 与 A 所表示的平 面区域(如图), 由图可知 SU=18, SA=4, SA 2 则点 P 落入区域 A 的概率为 P=S = . 9 U

r (2)设 OA=OB=r,则两个以 为半径的半圆的公共部分 2 面积为
?1 ? r ? ? r ? ? ?π-2?r2 1 2 2? ? ? ? ? π· - × 2? , 两个半圆外部的阴影部 ?4 ?2? ?= 2 2 8 ? ? ? ?

2 2? ? ? ? π - 2 ? r ? π - 2 ? r 1 2 ? r 1 ? ? 分面积为 πr -? π? ?2×2- ,所以所求概 ?= 4 8 2 2 8 ? ? ? ?

?π-2?r2 2× 8 2 率为 =1- . 1 2 π πr 4 2 [答案] (1) (2)C 9

求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事 件对应的面积,以求面积,必要时可根据题意构造两

个变量,把变量看成点的坐标,找到实验全部结果构
成的平面图形,以便求解.

3.如图所示,边长为 2 的正方形中有一封 闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随 机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概 2 率为 ,则阴影区域的面积为 ( ) 3 4 8 2 A. B. C. D.无法计算 3 3 3 S阴 2 解析:由几何概型知, = , S正方形 3

2 2 8 故 S 阴= ×2 = . 3 3

答案:B

?x2-4x≤0, ? 4. 若不等式组?-1≤y≤2, ?x-y-1≥0 ?

表示的平面区域为 M, (x-4)2

+y2≤1 表示的平面区域为 N,现随机向区域内抛一粒豆 子,则该豆子落在平面区域 N 内的概率是________.
解析:如图所示: π P= = . 1 15 ×?1+4?×3 2 π 答案: 15 1 ×π×12 2

与角度有关的几何概型

[例 3]

如图所示,在直角坐标系内,

射线 OT 落在 30° 角的终边上, 任作一条射 线 OA, 则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为 ________.
[自主解答] 如题图, 因为射线 OA 在坐标系内是等可能

60° 1 分布的,则 OA 落在∠yOT 内的概率为 = . 360° 6 1 [答案] 6

求解与角度有关的几何概型的注意点

当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,
应以角的大小作为区域度量来计算概率,切不可用线段 代替,这是两种不同的度量手段.

5.如图,M 是半径为 R 的圆周上一个定点,在 圆周上等可能地任取一点 N,连接 MN,则 弦 MN 的长度超过 2R 的概率是________.
解析:连接圆心 O 与 M 点,作弦 MN 使∠ MON = 90° ,这样的点有两个,分别记为 N1,N2,仅当点 N 在不包含点 M 的半圆弧 上取值时,满足 MN> 2R,此时∠ N1ON2

1 180° 1 =180° ,故所求的概率为 = . 答案:2 360° 2

? 1 条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识
几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关,而 与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测度”为长度、 面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法.

? 2 种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法

(1)当题干是双重变量问题,一般与面积有关系;
(2)当题干是单变量问题,要看变量可以等可能到达 的区域:若变量在线段上移动,则几何度量是长度;若 变量在平面区域(空间区域)内移动,则几何度量是面积 (体积),即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能

变化的区域.

创新交汇——几何概型与定积分的完美结合 1.几何概型是近几年高考的热点之一,主要考查形式 有两种:一是以实际问题为背景直接考查与长度、面积有

关的几何概型的概率求解,多涉及三角形、矩形、圆等平
面图形的计算;二是与定积分、解析几何、函数、立体几 何、线性规划、等知识交汇命题. 2.解决此类问题关键是理解几何概型的含义及其求法 原理,并熟练掌握相关知识.

[典例]

(2012· 福建高考)如图所示,在边长

为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰 好取自阴影部分的概率为 1 A. 4 ( )

1 B. 5

1 C. 6 [ 解析 ]

1 D. 7 ?2 2 1 2? ? 3 1 1 | 阴影部分的面积为 ? 0 ( x - x)dx= ? x - x ? 0 2 ? ?3 ?

1 S阴影 6 1 2 1 1 = - = ,利用几何概型公式得,P= = = . 3 2 6 S正方形 1 6

[答案]

C

[名师点评]

1.本题有以下创新点

(1)考查方式的创新:对于定积分的考查,由常规方
式转换为以几何概型为载体考查定积分的计算; (2)考查内容的创新:本题将几何概型与定积分求面 积完美结合起来,角度独特,形式新颖,又不失综合性.

2.解决本题的关键点 解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积, 再利用几何概型公式求解.

3.在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时,应
注意以下两点 (1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型,为此必 须了解几何概型的含义及特征; (2)运用几何概型的概率公式时,注意验证事件是否等

可能性.

[变式训练]

(2013· 沈阳模拟)设集合 A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x, y)∈A|y≤x2},从集合 A 中随机地取出一个元素 P(x,y),则 P∈B 的概率是________.
解析: 在直角坐标系中分别作出集合 A,B 所表示的区域,从集合 A 中随 机地取出一个元素 P(x,y),则 P∈B 的区域为图中阴影部分,由定积分

知识可求得阴影部分的面积为

? 2? ?

?

1 0

? 17 1 x dx+ +2?= , 2 3 ?
2

则从集合 A 中随机地取出一个元素 P(x,y),则 P∈B 17 3 17 的概率为 = . 8 24

17 答案: 24

1.扇形 AOB 的半径为 1,圆心角为 90° .点 C 、 D、E 将弧 AB 等分成四份.连接 OC,OD, OE,从图中所有的扇形中随机取出一个, π 面积恰为 的概率是 8 3 A. 10 ( )

1 B. 5 1 D. 2

2 C. 5

解析:依题意得知,图中共有 10 个不同的扇形,分别为扇 形 AOB、AOC、AOD、AOE、EOB、EOC、EOD、DOC、 π π DOB、COB,其中面积恰为 的扇形(即相应圆心角恰为 的 8 4 扇形)共有 3 个(即扇形 AOD、EOC、BOD),因此所求的概 3 率等于 . 10

答案:A

2.点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到定 点 A 的距离|PA|<1 的概率为 1 1 A. B. 4 2 ( )

π C. 4

D.π

解析: 满足|PA|<1 的点 P 位于以 A 为圆心, 半径为 1 的圆在正方形 ABCD 内部(如图), π 4 π π 又 S 扇形 ABD= ,故 P(|PA|<1)= = . 4 1 4 答案:C

3.两人约定在下午 3 点和 4 点之间会面,要求先去的等后 1 去的不超过 小时,否则先去的可以离开,则两人会面的 2 概率为________.

解析:利用几何概型知识,结合线 性规划可求出答案,如图.

1 1 1 |x-y|≤ ?- ≤x-y≤ , 2 2 2 3 x∈[0,1],y∈[0,1],设阴影部分的面积为 d,可知 d= , 4 d 整个正方形的面积为 D,可知 D=1,则所求概率 P=D 3 = . 4
3 答案: 4

4.将长为 1 的棒任意地折成三段,求三段的长度都不超过
?1 ? a?3≤a≤1?的概率. ? ?

解:设第一段的长度为 x,第二段的长 度为 y,第三段的长度为 1-x-y,则 基本事件组所对应的几何区域可表示 为 O={(x, y)|0<x<1,0<y<1,0<x+y<1}, 1 此区域面积为 . 2

事件“三段的长度都不超过

?1 ? a?3≤a≤1?”所对应的几何区域 ? ?

可表示为 A={(x,y)|(x,y)∈O,x<a,y<a,1-x-y<a}. ?3a-1? 1 1 即图中六边形区域, 此区域面积: 当 ≤a≤ 时, 为 , 3 2 2 此时事件“三段的长度都不超过 ?3a-1?2 2 =(3a-1)2; 1 2
?1 ? a?3≤a≤1?”的概率为 ? ?
2

P=

2 1 1 3?1-a? 当 ≤a≤1 时,为 - ,此时事件“三段的长度都不 2 2 2

超过

?1 ? a?3≤a≤1?”的概率为 ? ?

P=1-3(1-a)2.

1 1 ? 2 ??3a-1? ,3≤a≤2, 综上,P=? ?1-3?1-a?2,1≤a≤1. 2 ?



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