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【金识源】高中数学 2.3 幂函数教案 新人教A版必修1


2.3 幂函数
(一)实例观察,引入新课 (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克,那么她需要支付 P = W 元 2 (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a S 是 a 的函数 2 (y=x ) 3 (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 V =a S 是 a 的函数 3 (y=x ) P 是 W 的函数 (y=x)

1

(4) 如 果 一 个 正 方 形 场 地 的 面 积 为 S, 那 么 正 方 形 的 边 长 a= S 2 (y= x )
1 2

a 是 S 的函数

(5) 如 果 某 人 t s 内 骑 车 行 进 1 km, 那 么 他 骑 车 的 平 均 速 度 v=t V 是 t 的函数 -1 (y=x ) 问题一:以上问题中的函数具有什么共同特征? 学生反应:底数都是自变量,指数都是常数. 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结,从而自然引出幂函数的一般特征. (二)类比联想,探究新知 1.幂函数的定义 ɑ 一般地,函数 y=x 叫做幂函数(power function) , 其中 x 为自变量,ɑ 为常数。 注意:幂函数的解析式必须是 y = xa 的形式,其特征可归纳为“系数为1,只有1项” . (让学 2 2 生判断 y=2x y=(x+1) y=x2+1 是否为幂函数) 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样,先画出函数的图像,再由图像来研究幂函数的相关性质(定 义域,值域,单调性,奇偶性,定点) 不妨也找出典型的函数作为代表: y=x y=x
2

-1

y=x

3

y= x

1 2

y=x

-1

让学生自主动手,在同一坐标系中画出这 5 个函数的图像

1

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x
1

3

2

y=x 2 (4,2) (1,1)
2

1

(-1,1)
-2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

问题三:所有图像都过第几象限,所有图像都不过第几象限,为什么? -4 学生反应:都过第一象限,而都不过第四象限,因为当 x>0 时所有幂函数都有意义,且函数值都 为正. 问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么? 学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚. 教师讲解:指数为正分为正分数和正整数,正无理数我们高中不做研究,当是正整数时很显然递 增,当是正分数时,可以化成根式,很显然当被开方数为正时,被开方数越大,整个根式值越大。 而负指数可以化为正指数的倒数,分母递增,整个函数递减. 问题五:所有图像都过哪些点,为什么? 学生反应:都过点(1,1) ,因为 1 的任何指数幂都为 1. 问题六:对于原点,什么样的幂函数过,什么样的幂函数不过,为什么? 学生反应:指数为正过,为负则不过,因为负指数幂可以化成分数形式,分母不能为零,所以在 原点没有意义. 问题七:图像在第一象限的位置关系是什么样子的,为什么? 学生反应:当 0<x<1 时,指数小的图像在上方,当 x>1 时,指数大的图像在上方,对于原因大部 分学生不能很快反应过来. 教师活动:在 0<x<1 内任取个 x 值,例如 a,肯定有 o<a<1,此时联系到指数函数的单调性,有指 数小的函数值越大,同样,当 x>1 时,指数大的函数值就大. 【总结】 幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域,所以幂函数的性质不可能全部总结清 楚,但我们在探索性质的过程中知道了研究方法:指数是分数则化为根式,指数为负数则化为分 式,这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来,不过要严格判断单调性和奇

2

偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出 5 个幂函数的相关性质: 函 性 质 定义域 值域 单调性 奇偶性 公共点 R R 增 奇 R [0,+∞) (-∞,0)增 [0,+∞)减 偶 R R 增 奇 (1,1) [0,+∞) [0,+∞) 增 非奇非偶 {x︱x≠0} {y︱y≠0} (-∞,0)减 (0+∞)减 奇 y=x
2

y=x

3



y=x

y= x

1 2

y=x

-1

【设计意图】通过创设问题情境,激发学生的思维,并在新知探究的过程中自然形成一般方法的 呈现,使学生易于领悟和接受. (三)新知应用 【性质证明】证明幂函数 y= x 在[0,+∞)上是增函数 证明:

任取x1, x2 ?[0, ??), 且x1 ? x2 , 则
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?

?

x1 ? x2 x1 ? x2

因为0 ? x1 ? x2 , 所以x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, 所以f ( x1 ) ? f ( x2 )

即幂函数f ( x) ? x在[0, ??)上的增函数.
教师活动:强调教材中此例题的地位和作用: (1)复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单 调性很容易观察,强调严格判断的时候要用单调性进行证明。 (3)幂函数的单调性很容易观察, 以至于在证明中直接用到了单调性,如直接判断

x1 ? x 2 ? 0
【例】比较下列各组数种两个值的大小 (1) (2) (3) 解::(1) (2) (3)

5.20.2

5.20.1

3.7 0.9 3.20.9

1.7 2.5 1.83.5
y= 5.2 是增函数, 0.1 0.2 ∵0.1<0.2 ∴ 5.2 < 5.2 0.9 y=x 在(0,+∞)内是增函数 0.9 0.9 ∵ 3.2<3.7∴ 3.2 <3.7 1.72.5<1.82.5<1.83.5
x

3

【 练 习 】

已 知 一 个 函 数

f (x ) ? m (2 ? m ?
m=2 或 m=-1

m ? x 1 )

2

m 2?

3

是幂函数,且在区间(0,+∞)内是减函数,求满足条件的实数 m 的集合。 解:依题意,得 m
2

? m ?1 ? 1

解方程,得

检验:当 m=2 时,函数为

f ( x) ? x?3 符合题意.

当 m=-1 时,不合题意,舍去.所以 m=2 【设计意图】增强学生对新知的应用能力,从而达到能力的转型和对知识理解的深化. (四)课堂小结,归纳提升 (1)知识总结:回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质. (2)思想方法:主要涉及到了归纳总结的思想,回顾研究一般具体幂函数的可行方法. (五)课后作业,巩固训练 P79 习题 2.3: 1,2,3.

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