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河南省洛阳市2015届高三第二次统一考试数学理试题 Word版含答案



2014—一 2015 学年高中三年级第二次统一考试

数学试卷(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名,考号填写在答题卷上. 2.考试结束,将答题卷交回. 一、选择题:本大题共

12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中.只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则复数 z 的实部与虚部之和为 A.0 B.1 C.2 2 D.4

2.集合 A={x|x<0},B={x|y= lg[x(x+1)]},若 A- B={x|x∈ A,且 x ? B},则 A- B= A.{x|x<-1} B.{x|-1≤x<0} C.{x|-1<x<0} D.{x|x≤-1} 3.若函数 y=f(2x+1)是偶函数,则函数 y=f(x)的图象的对称轴方程是 A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2

4.设等比数列{ an }的公比为 q,则“0<q<1”是“{ an }是递减数列”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知函数 f(x)= x ,g(x)=lgx,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范围是 A.[0,+∞) B. (0,+∞) C.[1,+∞) D. (1,+∞)
2

6.在△ABC 中,三内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ,面积为 S,若 S+ a = (b+c)2 , 则 cosA 等于 A.

4 5

B.-

4 5
4

C.

15 17

D.-

15 17

7. ( x+ 1)( x-2)6 的展开式中 x 的系数为 A.-100 B.-15 C.35 D.220

8.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动,每天只需一人参加,其中甲参加三 天活动,乙、丙、丁每人参加一天,那么甲连续三天参加活动的概率为 A.

1 15

B.

1 5

C.

1 4

D.

1 2

x 2 y2 1 (a>0,b>0) 9.已知双曲线 C: 2 - 2 = ,斜率为 1 的直线过双曲线 C 的左焦点且与该 a b

-1-

曲线交于 A,B 两点,若 OA + OB 与向量 n =(-3,-1)共线,则双曲线 C 的离心率 为 A. 3 B.

uur

uuu r

r

2 3 3

C.

4 3

D.3

10.设函数 f(x)=x|x- a|, 若对 ?x1 , x2 ∈[3,+∞), x1 ≠ x2 , 不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. (-∞,-3] B.[-3,0) C. (-∞,3]

f ( x1 )-f ( x2 ) >0 x1-x2

D. (0,3]

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体 的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为 A.1 B.

5 2

C. 6

D.2 3

12.已知点 A、 B、C、D 均在球 O 上,AB= BC= 3 ,AC=

3,若三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 表面积为 A.36π C.12π

3 3 ,则球 O 的 4

B.16π D.

16 π 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.执行下面的程序,若输入的 x=2,则输出的所有 x 的值 的和为________________. 14.已知 tanα ,tanβ 分别是 lg(6x2-5x+2) =0 的两个实根,则 tan(α +β )=_________. 15.已知向量 a ,满足| a |=2,| b |=1,且对一切实数 x,| a + xb |≥| a + b | 恒成立,则 a , b 的夹角的大小为________________. 16.已知 F1 ,F2 分别是双曲线 3x -y = 3a (a>0)的左,右焦点,P 是抛物线 y =8ax 与 双曲线的一个交点,若|PF1 |+|PF2 |=12,则抛物线的准线方程为_____________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 2 2 2

r

r

r

r

r

r

r

r

r

-2-

17. (本小题满分 12 分)
2 已知正项数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,对 ?n ∈N﹡有 2 S n = an +an .

(1)求数列{ an }的通项公式; 。 (2)令 bn=

an

1 ,设{ bn }的前 n 项和为 Tn ,求 T 1 ,T 2 ,T3 ,?,T100 中 an+1+an+1 an

有理数的个数.

18. (本小题满分 12 分) 为了解某地高中生身高情况, 研究小组在该地高中生中 随机抽出 30 名高中生的身高编成如右所示的茎叶图 (单位:cm) : 若身高在 175cm 以上 (包括 175cm) 定义为 “高个子” , 身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个 子” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (2)用样本估计总体,把频率作为概率,若从该地所有高中生(人数很多)中选 3 名, 用ξ 表示所选 3 人中“高个子”的人数,试写出ξ 的分布列,并求ξ 的数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 中,AB⊥ AD,AD∥ BC,AD=6,BC=2AB=4,E,F 分别在 BC, AD 上,EF∥ AB.现将四边形 ABCD 沿 EF 折起,使平面 ABEF⊥平面 EFDC.

(1)若 BE=1,是否在折叠后的线段 AD 上存在一点 P,且 AP =λ PD ,使得 CP∥平 面 ABEF?若存在,求出λ 的值;若不存在,说明理由; (2)求三棱锥 A-CDF 的体积的最大值,并求此时二面角 E-AC-F 的余弦值.

uuu r

uuu r

-3-

20. (本小题满分 12 分) 设 M 是焦距为 2 的椭圆 E:

x 2 y2 + = 1(a>b>0)上一点,A、B 是其左、右顶点,直 a 2 b2
1 . 2

线 MA 与 MB 的斜率分别为 k1 ,k2 ,且 k1 k2 =- (1)求椭圆 E 的方程;

xx y y x 2 y2 (2) 已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a>b>0)上点 N( x0 ,y0 )处切线方程为 02 + 02 =1 , a b a b
若与椭圆 E 相切于 C ( x1 , y1 ) , D ( x2 , y2 ) 两点的切线相交于 P 点, 且 PC ·PD =0.求证点 P 到原点距离为定值.

uuu r

uuu r

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= a -xlna( a>1) ,g(x)=b-
x

3 2 x ,e 为自然对数的底数. 2

(1)当 a=e,b=5 时,求整数 n 的值,使得方程 f(x)=g(x)在区间(n ,n+1)内有 解; (2)若存在 x1 , x2 ∈[-1,1]使得 f( x1 )+g( x2 )+ 立,求实数 a 的取值范围.

1 ≥f( x2 )+g( x1 )+e 成 2

请考生在第 22、23、 24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答题 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分) (选修 4—1 几何证明选讲) 如图,⊙O1 与⊙O2 相交于 A, B 两点.点 P 在线段 BA 延长线上,T 是⊙O2 上一点,PT⊥O2T ,过 P 的直线交 ⊙O1 于 C,D 两点.

-4-

(1)求证:

PT PD = ; PC PT

(2)若⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 4,3,其圆心距 O1 O2 =5,PT =

24 2 ,求 PA 的长. 5

23. (本小题满分 10 分) (选修 4-4 坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系中,曲线 C1 的参数方程为: ?

? x=4cos? , (? 为参数) ,以坐标原点 O ?y=3sin ? .

为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =2cos θ . (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点,点 N 是曲线 C2 上任意一点, 求|MN|的取值范围.

24. (本小题满分 12 分) (选修 4—5 不等式选讲) 已知 a,b∈R+,a+b=1, x1 , x2 ∈R+. (1)求

x1 x2 2 + + 的最小值; a b x1 x2

(ax2+bx1 )≥x1x2 . (2)求证: (ax1+bx2 )

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-

- 10 -

- 11 -

- 12 -

- 13 -

- 14 -



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