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山西省忻州一中、长治二中、康杰中学、临汾一中2016届高三下学期第三次四校联考数学(文)试卷



2016 届高三年级第三次四校联考 数学(文)试题
命题:临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学 【满分 150 分,考试时间为 120 分钟】 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1. 已知全集 U ? R , A ? ? x A. x ?1 ? x ? 2? 2. 若

/>?

x ?1 ? ? 0 ? , B ? ?x l nx ? 0? ,则 A ? B ? ? ? 2? x B. ?x ? 1 ? x ? 2? C. x x ? ?1或x ? 2? D. ?x 0 ? x ? 2?

?

?

a ?i ? b ? 2i ,其中 a, b ? R , i 是虚数单位,则 a ? b 的值 i
B.-1 C.1 D.3

A.-3

3. 设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S8 ? 4a3 , a7 ? ?2 ,则 a9 = A. 6 4. 已知双曲线 B. ?6 C. 9

D. ?9

x2 y2 6 ,则此双曲线的渐近线方程为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 2 1 A. y ? ?2 x B. y ? ? 2 x C. y ? ? D. y ? ? x x 2 2 5. 执行图中的程序框图(其中 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数) ,则输出的

S 值为
A. 5 B. 7 C. 9 D. 12 6. 以下四个命题中,真命题的个数是 ① 若 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个不小于 1 ; ② a ? b ? 0 是 a ? b 的充要条件; ③ ?x ? ? 0 , ? ? ? , x ? x ? 0 ;
3

④ 函数 y ? f ( x ? 1) 是奇函数,则 y ? f ( x) 的图像关于 (1, 0) 对称. A. 0 B. 1 C. 2
2

D. 3

?cos x ? sin 2 x ? a1 a2 ? =a1 a4 ? a2 a3 ,若 f ( x) ? ? 7. 定义 2 ? 2 矩阵 ? ? ? cos( ? ? 2 x) ? a3 a4 ? ? ? 2 ? 移 个单位得到函数 g ( x) ,则函数 g ( x) 解析式为 3 A. g (x) ? ?2 cos 2 x B. g (x) ? ?2sin 2 x

3? ? ,则 f ( x) 的图象向右平 1? ? ?

·1·

C. g (x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)

D. g (x) ? ?2 cos(2 x ?

?
6

)

8. 在半径为 2 的圆内的一条直径上任取一点,过这个点作垂直该直径的弦,则弦长超过圆内接正三 角形边长的概率是

3 3 1 C. D. 4 2 2 2 9. 若点 P 在抛物线 y ? x 上,点 Q(0,3) ,则|PQ|的最小值是
A.

1 3

B.

1 2

1

A.

13 2

B.

11 2
1 3

C. 3

D. 5
正视图

10. 已知一个几何体的三图如图所示,则该几何体的体积为 A. 8 B. 7 C. 7

侧视图

2 3

D. 7
2 1 俯视图

2 ? ?n (n为奇数) 11. 已知函数 f (n) ? ? ,且 an ? f (n) ? f (n ? 1) ,则 2 ? ??n(n为偶数)

a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? ? ? a50 ?
A.50 B.60 C. 70 D.80

12. 若函数 f ( x) ? x ? A. ?? ?,?1? 增的是

b (b ? R) 的导函数在区间(1,2)上有零点,则 f ( x) 在下列区间上单调递 x

B.

?? 1,0?

C. ?0,1?

D. ?2,?? ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 已知 b ? (2, s ), c ? (1,?1), m ? ( s,1) ,若 b // c ,则 m 与 c 的夹角的余弦值为 . .

? x? y?2?0 ? 2 2 14. 已知变量 x, y 满足 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为 ? x? y?2?0 ?

15. 在四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 面ABCD , 若四边形 ABCD 为边长为 2 的正方形,

SA ? 3 ,则此四棱锥外接球的表面积为

.

16. 若定义在区间 D 上的函数 y ? f ( x) 满足:对 ?x ? D, ?M ? R, 使得 f ( x) ? M 恒成立,则称函 数 y ? f ( x) 在区间 D 上有界.则下列函数中有界的是: .

e x ? e?x 1 ① y ? sin x ;② y ? x ? ;③ y ? tan x ;④ y ? x ; x e ? e?x
⑤ y ? x ? ax ? bx ? 1 (?4 ? x ? 4) ,其中 a, b ? R .
3 2

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
·2·

17. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

A B 3 ? a cos 2 ? c ; 2 2 2 (I)求证: a, c, b 成等差数列;
已知 b cos 2 (II)若 C ?

?
3

, ?ABC 的面积为 2 3 ,求 c .

18.(本小题满分 12 分)某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计,随机抽取了 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频率分布统计表和频率 分布直方图如下: 分组 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 频数 20 50 m 4 M 频率 0.25 n p 0.05 N
频率 组距

a

0.05 0.01

o
区服务次数的中位数;

10 15 20 25 30 次数

(I)求表中 n, p 的值和频率分布直方图中 a 的值,并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社

(II)如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取 6 人,再从这 6 人 中选 2 人,求 2 人服务次数都在[10,15)的概率.

19.(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P ? ABCD 中, 侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形,底面 ABCD 为菱形,

P

?DAB ? 60 ?. (I)证明: PB ? AD; (II)若 PB ? 3, 求四棱锥 P ? ABCD 的体积.

D

C

A

B

·3·

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 E 的中心在坐标原点,且抛物线 x 2 ? ?4 5 y 的焦点是椭圆 E 的 一个焦点,以椭圆 E 的长轴的两个端点及短轴的一个端点为顶点的三角形的面积为 6. (I)求椭圆 E 的方程; (II)若斜率为

3 4 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B, 又点 C ( , 2) ,求 ?ABC 面积最大时对 2 3

应的直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (a ? 1) ln x ? x ? 1 . (I)讨论函数 f ( x) 的单调性;
2

(II)若对任意不相等的 x1 , x 2 ? (0,??) ,恒有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x 1 ? x 2 成立,求非负实数 a 的取 值范围. 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明与选讲 已知 AD 是 ?ABC 的外角 ?EAC 的平分线, 交 BC 的延长线于点 D , 延长 DA 交 ?ABC 的外接圆于点 F ,连接 FB , FC . (I)求证: FB ? FC ; (II)若 AB 是 ?ABC 外接圆的直径, ?EAC ? 120 ? , BC ? 3 3 ,求 AD 的长.

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2sin ?

(I)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (II)已知 A(?2,0), B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ?ABM 面积的最大值.

24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | (I)解不等式 f ( x) ? 2; (II)若不等式 f ( x) ? kx ? 1 在 x ? [?3, ?1] 上恒成立,求实数 k 的取值范围.

·4·

BABCC DACBD 13. -

高三年级第三次四校联考数学试题答案(文) AD

3 10 10

14. 10 15. 17? 16.①④⑤ 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. 解(1)证明:由正弦定理得: sin Bcos 2 即 sin B ?

1 ? cos A 1 ? cos B 3 ? sin A ? ? sin C 2 2 2 ? sin B ? sin A ? sin Bcos A ? cos Bsin A ? 3sinC ??2 分
? sinB? sinA ? sin( A ? B) ? 3sinC

A B 3 ? sin Ac os 2 ? sin C 2 2 2

? sinB? sinA ? sinC ? 3sinC ??4 分 ? sinB? sinA ? 2sinC ? a ? b ? 2c
? a, c, b 成等差数列. ??6 分
(2) S ?

??5 分

1 3 ab sinC ? ab ? 2 3 2 4

? ab ? 8

??8 分

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? a 2 ? b 2 ? ab

? (a ? b) 2 ? 3ab ? 4c 2 ? 24
? c2 ? 8 得 c ? 2 2

??10 分

??12 分

18.解: (1)因 20÷ M =0.25,所以 M =80,所以 n ?

50 ? 0.625 , 80

p ? 1 ? 0.25 ? 0.625 ? 0.05 ?

3 n 1 ? 0.075 , a ? ? ? 0.125 ???3 分 40 5 8

中位数位于区间 [15, 20) ,设中位数为(15+x), 则 0.125x=0.25,所以 x=2,所以学生参加社区服务次数的中位数为 17 次。??6 分 (2)由题意知样本服务次数在[10,15)有 20 人,样本服务次数在[25,30)有 4 人. 如果用分层抽样 的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取 6 人,则抽取的服务次数在[10,15)和 [25,30)的人数分别为:
·5·

6?

20 4 ? 5和6? ? 1 -------------------8 分 24 24

记服务次数在[10,15)为 a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5 , 在[25,30)的为 b . 从已抽取的 6 人中任选两人的所有可能为:

(a1 , a 2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a 4 ), (a1 , a5 ), (a1 , b), (a 2 , a3 ), (a 2 , a 4 ), (a 2 , a5 )(a 2 , b), (a3 , a 4 ), (a3 , a5 ), (a3 , b), (a 4 , a5 ), (a 4 , b), (a5 , b)
共 15 种.设“2 人服务次数都在[10,15)”为事件 A ,则事件 A 包括

(a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), (a1 , a5 ), (a2 , a3 ), (a2 , a4 ), (a2 , a5 )(a3 , a4 ), (a3 , a5 ), (a4 , a5 )
共 10 种. -------------------10 分, 所以 P ( A) ? 19. (1)证明:取 AD 的中点 E , 连接 PE , BD, BE ,

10 2 ? -------------------12 分 15 3
P

? 底面 ABCD 为菱形,?DAB ? 60 ? , ? ?ABD 为正三角形,
又? E 为 AD 的中点,? BE ? AD;

D

C

? 侧面 PAD 为正三角形, E 为 AD 的中点? PE ? AD;
? AD ? 面 PBE ,? AD ? PB .
??6 分

A

B

(2)由(1) AD ? 面 PBE 得:面 ABCD ? 面 PBE ,作 PO ? BE 于 E , PO ? 面 ABCD ; 由侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形、 ?ABD 为正三角形、 E 为 AD 的中点得: PE ? BE ? 又? PB ? 3, 设 PB 的中点为 F , EF ?

3,

EB 2 ? BF 2 ?

3 , ??8 分 2

? sin ?EBP ?

EF 1 3 ? ,? ?EBP ? 30 ? ,? PO ? PB ? sin 30 ? ? , ??10 分 EB 2 2
??12 分

1 3 ?VP ? ABCD ? ? 2 ? 3 ? ? 3 3 2
·6·

20. (1)设 1 a ? b ? c
2 2

2

由抛物线 x 2 ? ?4 5 y 的焦点是椭圆 E 的一个焦点得: c ?

5 , 5 ? a2 ? b2

1 ? 2a ? b ? 6 即 ab ? 6 即 a 2 b 2 ? 36 , (b 2 ? 5)b 2 ? 36 , (b 2 ? 9)(b 2 ? 4) ? 0 , b 2 ? 4 2

a2 ? 9 ? E :

y2 x2 ? ?1 9 4

??4 分

(2)设 l : y ?

3 y2 x2 x?m与E : ? ? 1 联立得: 9 x 2 ? 6mx ? 2m 2 ? 18 ? 0 2 9 4

? ? 36m 2 ? 36(2m 2 ? 18) ? 0 得: m 2 ? 18
2 2m 2 ? 18 ,??6 分 x1 ? x 2 ? ? m, x1 x 2 ? 3 9
9 4m 2 8(m 2 ? 9) 13 4m 2 72 13 AB ? (1 ? )[ ? ]? (? ? )? (?m 2 ? 18) 4 9 9 4 9 9 9

2?2? m 2m 4 3 C ( ,2) 到 l : y ? x ? m 的距离 d ? ? 3 2 9 13 ?1 4

S?

1 1 1 AB d ? (?m 2 ? 18)m 2 ? ? m 4 ? 18m 2 ??10 分 2 3 3
2

当 m =9 即 m ? ?3 时, S 最大,对应的直线 l 的方程为 y ?

3 x ? 3 ??12 分 2

0, ? ?) 21.解:(Ⅰ)? f ( x)的定义域为(
? f ?( x) ? a ?1 2x 2 ? a ? 1 ? 2x ? x x

当a ? 1 ? 0时,f ?( x) ? 0恒成立, ? 当a ? ?1时,y ? f ( x)在区间( 0, ? ?)单调递增

·7·

当a ? 1 ? 0时,若x ? ?

a ?1 a ?1 , f ?( x) ? 0; 若0 ? x ? ? , f ?( x) ? 0 2 2 a ?1 )上单调递减 2
??4 分

? 当a ? ?1时,函数y ? f ( x)在区间( 0,? ;在区间( ? a ?1 , ? ?)上单调递增 2

0, ? ?)上单调递增 (Ⅱ)不妨设 x1 ? x 2 ,又? a ? 0 ,? y ? f ( x)在区间(
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x 1 ? x 2 恒 成 立 , 等 价 于 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 x1 ? 4 x 2 恒 成 立 , 即 就 是

f ( x1 ) ? 4 x1 ? f ( x 2 ) ? 4 x 2 恒成立
令 g ( x) ? f ( x) ? 4 x, x ? (0,??) ,则 y ? g ( x) 为单调递增函数 即就是 g ?( x) ? 0 恒成立 ??8 分

? g ?( x) ?

2x 2 ? 4x ? a ? 1 ?0 x
2

令 h( x) ? 2 x ? 4 x ? a ? 1, x ? (0,??)

? h( x) min ? h(1) ? a ? 1
??12 分 请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明与选讲 已知 AD 是 ? ABC 的外角 ? EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延 长 DA 交 ? ABC 的外接圆于点 F,连接 FB,FC. (I)求证:FB=FC; (II)若 AB 是 ? ABC 外接圆的直径, ? EAC=120 ,BC= 3 3 ,求 AD 的长. (1)证明:? AD 平分 ? EAC,? ? EAD= ? DAC ? 四边形 AFBC 内接于圆 ? ? DAC= ? FBC. ? ? EAD= ? FAB= ? FCB ? ? FBC= ? FCB ? FB=FC. ??5 分 (2)? AB 是圆的直径 ? ? ACB= ? ACD=900, ? ? EAC=1200,? ? DAC=600,? ? D=300,
0

?a ?1

在 Rt ? ABC 中,? BC= 3 3 ,? ? BAC=60 ,
0

? AC=3
·8·

在 Rt ? ACD 中, ? D=30 ,AC=3 ??10 分 ? AD=6. 23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
0

在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2sin ?

(I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (II)已知 A(-2, 0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x, y),求 ? ABM 面积的最大值. 解: (1)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,? 圆 C 的普通方程为 ? y ? ?4 ? 2sin ?

( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4 ,所以圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6 ? cos ? ? 8 ? sin ? ? 21 ? 0
??5 分 (2)易求直线 AB 方程为 x ? y ? 2 ? 0

| AB |? 2 2

点 M(x, y)到直线 AB: x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

| x ? y ? 2 | | 3 ? 2 cos ? ? ( ?4 ? 2sin ? ) ? 2 | ? 2 2 | 2 cos ? ? 2sin ? ? 9 | 2

?

? ABM 的面积 S ?

1 ? | AB | d ?| 2 cos ? ? 2sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4

? ABM 的面积最大值为 9 ? 2 2 .??10 分
24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 3 | (I)解不等式 f ( x) ? 2; (II)若不等式 f ( x) ? kx ? 1 在 x ? [?3, ?1] 上恒成立,求实数 k 的取值范围. 解: (1) | x ? 1| ? | x ? 3 |? 2 可转化为① ?

? x ? ?3 ??3 ? x ? 1 或② ? ?1 ? x ? (? x ? 3) ? 2 ?1 ? x ? ( x ? 3) ? 2

或③ ?

?x ? 1 ? x ? 1 ? ( x ? 3) ? 2

解①得 x ? ?3 解②得 ?3 ? x ? ?2 解③得 x ? ?
·9·

? 原不等式的解集为 ? x | x ? ?2}

??5 分

(2) x ? [?3, ?1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 ? x ? 3 ? ?2 x ? 2

? 不等式 f ( x) ? kx ? 1 在 x ? [?3, ?1] 上恒成立, ? ?2 x ? 2 ? kx ? 1 在 [?3, ?1] 上恒成立

3 在 [ ?3, ?1] 上恒成立. x 3 设 g ( x) ? ?2 ? ,? g ( x) 在 [ ?3, ?1] 是上为增函数 x
? k ? ?2 ? ? ?1 ? g ( x) ? 1 ? k ? ?1 .
??10 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·10·



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