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高中数学必修3选修1-2综合练习


高二文科数学开学考试题
一.选择题 1.已知 a、b 为不等于 0 的实数,则 >1 是 a>b 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

a b

)

2.某大学中文系共有本科生 5000 人,其中一、二、三、四年级的学生比为 5:4:3:1,要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 260 的样 本,则应抽二年级的学生( )

A、100 人

B、60 人

C、80 人

D、20 人

3.如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,每个图形涂 一种颜色,现用红、蓝两种颜色为其涂色,则三个形状颜色不全相同的概率 为( )

3 3 1 1 (B) (C) (D) 4 8 4 8 5 3 2 4.若 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 x ? x ? 1 ,用秦九韶算法计算 f ? 3? ? ( )
(A) A. 327 B. 328 C. 165 D. 166

5.为了调查学生携带手机的情况,学校对高一、高二、高三三个年级的学生进行分层抽样 调查,已知高一有学生 1200 人、高二有 1100 人;三个年级总共抽取了 65 人,其中高一抽 取了 20 人,则高三年级的全部学生数为( A. 1500 B. 1200 ) D. 1300

C. 1600

6.从只含有二件次品的 10 个产品中取出三件,设 A 为“三件产品不全是次品”,B 为“三 件产品全不是次品”, C 为“三件产品全是次品”,则下列结论正确的是( A.事件 A 与 B 互斥 C.任两个均互斥 B.事件 A 是随机事件 D.事件 C 是不可能事件 )

7.已知函数 g ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, g ( x) ? ? ln(1 ? x) ,设函数

? x3 f ( x) ? ? ? g ( x)
A. (??, ?3)

( x ? 0) ( x ? 0)
(2, ??)

,若 f ( x ? x) ? f ? 6 ? 2 x ? ,则实数 x 的取值范围是(
2



B. (??, ?2)

(3, ??)

C. (?2,3)

D. (?3, 2)

8.若函数 f(x)=x + (a∈R),则下列结论正确的是( A.? B.? C.? D.?

2

a x

)

a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数 a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数 a∈R,f(x)是偶函数 a∈R,f(x)是奇函数


9.如图是 f '( x) 的图像,则正确的判断个数是(

(1) f ( x) 在 (?5,?3) 上是减函数;(2) x ? 4 是极大值点; (3) x ? 2 是极值点;(4) f ( x) 在 (?2,2) 上先减后增; A.0 B .1 C .2 D. 3

10. 命 题 p : " x ? 0" 是 " x 2 ? 0" 的 必 要 不 充 分 条 件 , 命 题 q : ?ABC 中 " A ? B" 是

" sin A ? sin B" 的充要条件,则(
A. p 真 q 假 C. p ? q 为假



B. p ? q 为真 D. p 假 q 真

11. 当 5 个整数从小到大排列时,其中位数是 4,如果这个数集的唯一众数是 6,则这 5 个 整数可能的和的最大值是( A. 21 B. 22 ) C. 23 D. 24

12. 过点 M (1,1) 作斜率为 ?

x2 y 2 1 的直线与椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A, B , 若M a b 2
) C.

是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率为( A.

2 2

B.

1 2

1 3

D.

3 3

二.选择题 13.把“二进制”数 1011001(2) 化为“五进制”数为______324(5)___ . 14.用辗转相除法或更相减损术求得 4557 与 5115 的最大公约数为
2

93

.

15.已知抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 到抛物线焦点的距离为_____5__. 16.下列命题中, ①命题“ ?x ? (0, 2), x ? 2 x ? 2 < 0 ” 的否定是“ ?x ? (0, 2), x ? 2 x ? 2 > 0 ” ;
2 2

②?

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件; ? y ? 2 ? xy ? 2

③一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆”的充要条件. 15 ? k k ? 9 ⑤设 P 是以 F1 、 F2 为焦点的双曲线一点,且 PF1 ? PF2 ? 0 ,若 ?PF1 F2 的面积为 9 ,则
④“9< k <15”是“方程 双曲线的虚轴长为 6;

其中真命题的是 3.5. 三.解答题
2

(将正确命题的序号填上).
2

? ?x -4x+ 17.(10 分)已知 p:2x -9x+a<0,q:? 2 ?x -6x+8<0 ?

,且非

q 是非 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 2 ?x -4x+3<0 ?1<x<3 ? ?
17.解 由?
?x -6x+8<0 ?
2

,得? ?2<x<4 ?



即 2<x<3.∴q:2<x<3. 2 设 A={x|2x -9x+a<0},B={x|2<x<3}, ∵綈 p? 綈 q,∴q? p,∴B? A. 2 即 2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0. 2 设 f(x)=2x -9x+a, 2 要使 2<x<3 满足不等式 2x -9x+a<0,
? ?8-18+a≤0 ,即? . ? ? ?f ?18-27+a≤0 ∴a≤9.故所求实数 a 的取值范围是{a|a≤9}.

需?

? ?f

18.高三某班 40 名学生的会考成绩全部在 40 分至 100 分之间,现将成绩分成6段:
[40,50) 、[50,60) 、[60,70) 、[70,80) 、[80,90) 、[90,100] .据此绘制了如图所示

的频率分布直方图。在这 40 名学生中, (Ⅰ)求会考成绩的平均分 68 和中位数 66.67。 (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生, 求至少有 1 名学生成绩在区间 [90,100] 内的概率.
0.045

频率/组距

0.020 0.015 解(Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随 0.005 机选 2 名学生,至少有 1 名学生成绩在区间 [90,100] 内” , 55550

分数 40 50 60 70 80 90 100

由(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这 4 个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 40 ? 0.005 ? 10 ? 2 人, 记这 2 个人分别为 e, f , 则选取学生的所有可能结果为:

5

(a, b),(a, c),(a, d ),(a, e),(a, f ),(b, c),(b, d ),(b, e),(b, f ), (c, d ),(c, e),(c, f ) , (d , e),(d , f ),(e, f ) 基本事件数为15 ,
事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e),(c, f ),(d , e),(d , f ),(e, f ) ,
基本事件数为 9 , 所以 P ( A) ?

9 2 9 3 ? P ( A) ? ? . 15 5 15 5

19.某生物技术公司研制出一种新流感疫苗,为测试该疫苗的有效性(若疫苗有 效的概率小于 90 % ,则认为测试没有通过) ,公司选定 2000 个流感样本分成三 组,测试结果如下表:

A组

B组

C组
y

疫苗有效 疫苗无效 (Ⅰ)求 x 的值;

673

x
90

77

z

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33 . (Ⅱ)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,问 C 组应抽 取几个? (Ⅲ)已知 y ? 465, z ? 30 ,求不能通过测试的概率
解: (Ⅰ) 即 在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率为 0.33 ,

x ? 0.33 2000

∴ x ? 660 .

(Ⅱ) C 组样本个数为: y ? z ? 2000? (673? 77 ? 660? 90) ? 500, 用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果,应在 C 组抽取个数为

360 ?

500 ? 90 (个) . 2000

(Ⅲ)设测试不能通过事件为 M ,

C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为 ( y , z ) .
由(Ⅱ)知 y ? z ? 500 ,且

y, z ? N ,基本事件空间包含的基本事件有:

(465,35) 、 (466,34) 、 (467,33) 、 (468,32) 、 (469,31) 、 (470,30) 共 6 个 .
若测试不能通过,则 77 ? 90 ? z ? 200 ,即 z ? 33 . 事件 M 包含的基本事件有: (465,35) 、 (466,34) 共 2 个, ∴ P(M ) ?

2 1 ? . 6 3 1 . 3

∴故不能通过测试的概率为

20.某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日 平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样 的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了 他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周 岁 以 下 ” 分 为 两 组 , 在 将 两 组 工 人 的 日 平 均 生 产 件 数 分 成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分别加以统计 ,得到如图所示的频 率分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人,求至少抽到一名“25 周 岁以下组”工人的频率.

(2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2 ? 2 的列联表,并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

【答案】解:(Ⅰ) 由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人 60 名, 25 周岁以下组工人 40

名 所 以 , 样 本 中 日 平 均 生 产 件 数 不 足 60 件 的 工 人 中 , 25 周 岁 以 上 组 工 人 有 60 ? 0.05 ? 3 (人), 记为 A1 , A2 , A3 ; 25 周岁以下组工人有 40 ? 0.05 ? 2 (人),记为 B1 , B2 从 中 随 机 抽 取 2 名 工 人 , 所 有 可 能 的 结 果 共 有 10 种 , 他 们 是: ( A1 , A2 ) , ( A1 , A3 ) , ( A2 , A3 ) , ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) ,

( B1 , B2 )
其 中 , 至 少 有 名 “ 25 周 岁 以 下 组 ” 工 人 的 可 能 结 果 共 有 7 种 , 它 们 是 : ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A3 , B1 ) , ( A3 , B2 ) , ( B1 , B2 ) . 故 所 求 的 概 率: P ?

7 10

(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 名工人中,“ 25 周岁以上组”中的生产能手 60 ? 0.25 ? 15 ( 人 ),“ 25 周岁以下组”中的生产能手 40 ? 0.375 ? 15 ( 人 ), 据此可得 2 ? 2 列联表如下: 生产能手 非生 产能手 合计

25 周岁以上组 25 周岁以下组
合计

15 15 30
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

45 25 70

60 40 100

所以得: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 100 ? (15 ? 25 ? 15 ? 45) 2 25 ? ? ? 1.79 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 30 ? 70 14

因为 1.79 ? 2.706 ,所以没有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”

21.已知点 D (1, 2) 在双曲线 C: 2 ? 是 3x ? y ? 0 .

x2 a

y2 且双曲线的一条渐近线的方程 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上, b2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 l 与双曲线 C 交于 A、B 两个不同点,若以线段 AB 为直径 的圆经过坐标原点,求实数 k 的值.
?1 2 ? ? 1, ? a 2 b2 21.解:(1)由题知,有 ? ? ? b ? 3. ? ?a

? 2 1 ?a ? , 解得 ? 3 ?b 2 ? 1. ?

2 2 因此,所求双曲线 C 的方程是 x ? y ? 1 .-------------------------------4 分 1 1 3

(2)∵直线 l 过点 (0,1) 且斜率为 k ,
2 2 2 ? 2 联立方程组 ?3 x ? y ? 1, 得 (3 ? k ) x ? y ? kx ? 1

∴直线 l : y ? kx ? 1 .

? 2kx ? 2 ? 0 .①----------------6 分
? 2k , 3 ? k 2 --------------------8 分 ? ? x x ? ?2 . 1 2 ? 3? k2 ? x1 ? x2 ?

? 设交点为 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,由①可得 ?

又以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,因此, OA ? OB (O 为坐标原点) . 于是, OA ? OB ? 0, 即 x1 x2

? y1 y2 ? 0 , (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ,

?2(1 ? k 2 ) 2k 2 ? ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 .--------------------------------10 分 3? k2 3? k2
又 k ? ?1 满足 3 ? k 2 ? 0 ,且 ? ? 0 , 所以,所求实数 k ? ?1 .----------------------------------------------------12 分

22.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ?

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然 2 x x

对数的底数). (Ⅰ )当 k ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )若函数 f ( x) 在 (0, 2) 内存在两个极值点,求 k 的取值范围.

当 x ? (2, ??) 时, f ( x) ? 0 ,函数 y ? f ( x) 单调递增.
'

所以 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) .



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