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高二下学期文科练习题2



高二数学(文)试题 6
1.设复数 z ? ?

|z| 1 3 ? i ,则 的值为 z 2 2 1 3 1 3 A. ? ? i B. ? ? i 2 2 2 2
2

g ( x)

1 3 C. ? i 2 2

1 3 D. ? i 2 2
D.[ ?1,1]<

br />
2.已知集合 A ? {x | y ? 1 ? x , x ? Z } , B ? {y | y ? x2 ? 1, x ? A} ,那么 A ? B ? 3.将指数函数 f ? x ? 的图象向右平移一个单位,得到如图的 g ? x ? 的图象,则 f ?x ? ?

A. {1}

B.{?1,0,1,2}
x

C.[0,1]

?1? ?1? B. ? ? C. 2 x A. ? ? D. 3 x 2 3 ? ? ? ? 4.设 A、B、C 是三个集合,则 是 的 “A ? C ? B ? C” “A ? B” A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件

x

? log3 x ,若 x0 是函数 y ? f ( x) 的零点,且 0 ? x1 ? x0 ,则 f ( x1 ) B. 等于 0 C. 恒为负值 A. 恒为正值 D. 不大于 0 2 2 2 ? n ? 2 n 2 6.已知 且 n ? N ,对 进行如下方式的“ 分拆” : → (1,3) , 3 → (1,3,5) , 4 2 → (1,3,5,7) ,?,那么 361 的“分拆”所得的数的中位数是 A. 1 9 C .29 D.361 B.21 7.若 f ( x) 是定义在 R 上的可导函数,且满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有 B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
5.已知函数 f ( x) ? x 8.函数 y ? log 3 x 的定义域为 [m, n] ( m ? n ) ,值域为 [0,1] ,则 n ? m 的最小值为
4

?

1 2

A.

9.如图(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差) y 与乘客量 x 之间关系 的图象.由于目前该条公交线路亏损,公司有关人员提出了两种调整的建议,如图(2) (3)所示.

3 4

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

y

y

y

O

B A

x

O

B A

x

O

B A
(3)

x

(1) (2) 给出下说法: ①图(2)的建议是:提高成本,并提高票价; ②图(2)的建议是:降低成本,并保持票价不变;

y

③图(3)的建议是:提高票价,并保持成本不变; ④图(3)的建议是:提高票价,并降低成本. 其中正确说法的序号是 B. ② ③ C. ① ④ A. ① ③
3 2

o
x
D. ② ④
D C P F

10.若函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象如图所示,则一定有

B. b ? 0, c ? 0 A. b ? 0, c ? 0 C. b ? 0, c ? 0 D. b ? 0, c ? 0 11.已知 a ? R ,若 (a ? i)(3 ? 2i) 是纯虚数,则 a =
2 2




A

12.某同学为研究函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的性质,构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和
.

B

E

BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则 AP ? PF ? f ( x) . 请你参考这些信息,推知函数 g ( x) ? 4 f ( x) ? 9 的
零点的个数是 ▲ .
x

13.若直线 y ? ax( a 为实常数)与函数 f ( x) ? e

( e 为自然对数的底数) 的图象相切, 则切点坐标为
x





1? 时, f ( x) ? 2 ,则 f (log 1 18) ? 14.若奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x), 且当 x ? ? 0,
2





15 .先阅读下面的文字: “求 1 ? 1 ? 1 ? ??? 的值时,采用了如下的方式:令 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? x ,则有

x ? 1 ? x ,两边平方,得 1 ? x ? x2 ,解得 x ?

1? 5 1 (负值已舍去) ”.可用类比的方法,求 2 ? 的 1 2 2? 2 ? ???

值为 ▲ . 16. 定义方程 f ( x) ? f ?( x) 的实数根 x0 叫做函数 f ( x) 的 “好点” , 如果函数 g ( x) ? x , h( x) ? 2 ? ln x , ? ( x) ? cos x ( x?( , ?) )的“好点”分别为 ? , ? , ? ,那么 ? , ? , ? 的大小关系是

? ?





?2 ? x , x ?1 ? 17.已知函数 f ( x) ? ? x , g ( x) ? x 2 ? 2 x ,若关于 x 的方程 f [ g ( x )] ? k 有 x ?1 ? ? 2 ,x ? 1 四个不相等的实根,则实数 k ? ▲ . 2 18.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? 2ax ? 3 ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 2} . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 A ? ( CU B ) ; (Ⅱ)设满足 A ? B ? B 的实数 a 的取值集合为 C ,试确定集合 C 与 B 的关系。
19. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,对任意 x、y ? R ,记命题 P : “若 x ? y ? 0 ,则 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ? x) ? f ( ? y ) ” (Ⅰ)证明:命题 P 是真命题; (Ⅱ)写出命题 P 的逆命题 Q ,并用反证法证明 Q 也是真命题.

20.已知函数 f ( x) ?

3x ?1 ? 1 ,函数 g ( x) ? 2 ? f (? x) . 3x ? 1 (Ⅰ)判断函数 g ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)若当 x ? (?1,0) 时, g ( x) ? tf ( x) 恒成立,求实数 t 的最大值.

21. 定 义 在 D ? {x ? R | x ? 0} 上 的 函 数 f ( x) 满 足 两 个 条 件 : ① f (1) ? 0 ; ② 对 于 任 意 x、y ? D , 都 有

x2 ? y2 . f ( x) f ( y ) ? f ( xy) ? xy (Ⅰ)求 f (1) 的值,并求函数 f ( x) 解析式; 1 (Ⅱ)求过点 ( ?1, ) 的曲线 y ? f ( x) 的切线的一般式方程. 4
22.

1 2 ax ? (1 ? a) x ? ln x ,其中 a ? ?1 . 2 (Ⅰ)若 f ( x ) 有两个极值点,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性; (III)证明:当 ?1 ? a ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有且只有一个实数根。
已知函数 f ( x) ?

.

高二数学(文)参考答案
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B

B

C

A

A

A

D

C

B

D

二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置. 11.

2 3

12.2 16. ? > ? > ?
2

13. (1, e) 17. ( ,1)

14. ?

9 8

15. 1 ? 2

1 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (Ⅰ)当 a ? 1 时, A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ? {x | ?3 ? x ? 1} , ?????2 分 ?????7 分

A?( C )? { x ? | 3 ? x? ? 1} U B (Ⅱ)由 A ? B ? B 知, B ? A , 2 令 f ( x) ? x ? 2ax ? 3 , ? f ( ?1) ? 0 则条件等价于 ? , ? f ( 2) ? 0

{ x x |? 或 ? 1 x?

2? } x{ ? | ?3 x ;?? ? ? 6 1} 分

????10 分

?(?1) 2 ? 2a ? 3 ? 0 ? 1 ? a ? ?1 , ? 2 ?a ? ? 1 ,解得 ? 1 ? a ? ? , 4 ? ? 2 ? 4a ? 3 ? 0 4 ?
因此 C ? {a | ?1 ? a ? ? } 从而 C ? B .

1 4

?????13 分 ?????14 分

?

19. (Ⅰ)证明:因为 x ? y ? 0 ,即 x ? ? y ,又 f ( x) 是定义在 R 上的增函数, 所以 f ( x) ? f ( ? y) 同理 f ( y) ? f (? x) , 所以 f ( x) ? f ( y) ? f ( ?x) ? f ( ? y) . ?????6 分 注:若构造函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,并利用函数的单调性的定义的同样给分,若只是描述性的得出单调 性但没有用定义给出证明的扣 2 分. (Ⅱ)解:逆命题 Q 为“若 f ( x) ? f ( y) ? f (? x) ? f (? y) ,则 x ? y ? 0 ”.??8 分 证明如下:假设结论“ x ? y ? 0 ”不成立,则 x ? y ? 0 ,即 x ? ? y , 因为 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,所以 f ( x) ? f (? y) , 同理 f ( y) ? f (? x) , 所以 f ( x) ? f ( y) ? f (? x) ? f (? y) . 与条件“ f ( x) ? f ( y) ? f (? x) ? f (? y) ”矛盾, 所以假设错误,即结论 x ? y ? 0 成立. 所以逆命题 Q 是真命题. 20.(Ⅰ) g ( x) ? 2 ? ?????14 分
x x

?????3 分

?????10 分 ?????12 分

3 ?1 3?3 3 ?1 ? 2? ? x , ?x x 3 ?1 1? 3 3 ?1 其定义域是 {x ? R | x ? 0} 关于原点对称,
?x x x

? x ?1

?????2 分 ?????3 分

又 g (? x) ?
.

3 ?1 1? 3 3 ?1 ? ?? x ? ? g ( x) ,故 g ( x) 是奇函数.?6 分 ?x x 3 ?1 1 ? 3 3 ?1

(Ⅱ)法 1:由 g ( x) ? tf ( x) 得,

3x ? 1 3 x ?1 ? 1 ? t ? , (? ) 3x ? 1 3x ? 1 1 2 x x x ?1 当 x ? (?1,0) 时, ? 3 ? 1 , ? ? 3 ? 1 ? 0 , 3 ? 1 ? 0 , 3 3 x 3 ?1 ( ? )式化为 t ? x ?1 , ?????9 分 3 ?1 1 x ?1 4 (3 ? 1) ? 3x ? 1 3 4 3 ?1? 而 x ?1 ,?????11 分 ? x ?1 x ?1 3 ?1 3 ?1 3 3(3 ? 1) 1 4 2 1 4 x x ?1 ? , ? x ?1 ?1, 又 ? 3 ? 1 ,所以 0 ? 3 ? 1 ? 2 , x ?1 3 3 ?1 3 3 3 ?1 因此 g ( x) ? tf ( x) 恒成立等价于 t ? 1 ,故实数 t 的最大值为 1. ?????14 分 3x ? 1 3 x ?1 ? 1 ? t ? , (? ) 3x ? 1 3x ? 1 1 2 x x 当 x ? (?1,0) 时, ? 3 ? 1 , ? ? 3 ? 1 ? 0 , 3 3 x x ?1 ( ? )式化为 3 ? 1 ? t (3 ? 1) , ( ? ? ) ?????9 分 1 x 设 3 ? u , u ? ( ,1) ,则( ? ? ) 式化为 (3t ? 1)u ? t ? 1 ? 0 ,????11 分 3 ? 1 ?h ( ) ? 0 再设 h(u) ? (3t ? 1)u ? t ? 1 ,则 g ( x) ? tf ( x) 恒成立等价于 ? 3 , ? h ( 1 ) ? 0 ? 1 ? ?t ? R ?(3t ? 1) ? ? t ? 1 ? 0 ,? ,解得 t ? 1 ,故实数 t 的最大值为 1. ? 3 t ?1 ? ? ( 3 t ? 1 ) ? 1 ? t ? 1 ? 0 ?
法 2:由 g ( x) ? tf ( x) 得, ?????14 分

21.(Ⅰ)令 x ? y ? 1 得, f (1) ? f (1) ? 2 ,解得 f (1) ? ?1 (舍去)或 f (1) ? 2 , 则 f (1) ? 2 , ?????3 分
2

此时,令 y ? 1 得, f ( x ) ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ?

x2 ?1 . x

?????7 分

1 1 , f ?( x) ? 1 ? 2 , ?????8 分 x x 1 1 1 设过点 ( ?1, ) 的切线切曲线于 ( x0 , x0 ? ) ,则切线的斜率为 1 ? 2 , x0 x0 4 1 1 1 其方程为, y ? x0 ? ? (1 ? 2 )( x ? x0 ) ,把点 ( ?1, ) 的坐标代入整理得, x0 x0 4 2 2 5 x0 ? 8 x0 ? 4 ? 0 ,解得 x0 ? ? 或 x0 ? 2 , ?????12 分 5 3 21 分别代入上述方程得所求的切线方程是 y ? ? x ? 5 和 y ? x ?1, 4 4 即 21x ? 4 y ? 20 ? 0 和 3x ? 4 y ? 4 ? 0 ???15 分

.

22.(Ⅰ)法 1: f ?( x) ? ax ? (1 ? a) ?

1 ax2 ? (1 ? a) x ? 1 ( x ? 1)( ax ? 1) ? ? ,x ? 0, x x x
?????2 分

f ( x ) 有两个极值点等价于方程 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上有两个不等的实根,等价于 ? a ? ?1 ? a?0 ? ? 1 ?? ? 0 ,解得 ? 1 ? a ? 0 ,即为所求的实数 a 的取值范围. ?????5 分 ? a ?? 1 ? 1 ? ? a 1 ax2 ? (1 ? a) x ? 1 法 2: f ?( x) ? ax ? (1 ? a) ? ? ,x ? 0, ?????1 分 x x f ( x ) 有两个极值点等价于方程 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上有两个不等的实根,即方程 ax2 ? (1 ? a ) x ? 1 ? 0 在 (0, ?? ) 上有两个不等的实根,等价于

? a ? ?1且a ? 0 ?(1 ? a ) 2 ? 4a ? 0 ?a ? ?1且a ? 0 ? a ? ?2 ? ? ? 1? a ,? ,?????4 分 ?? ?0 a ? ? a ? 0或a ? 1 ?? 1 ? 0 ? ?a ? 0 ? ? a 解得 ? 1 ? a ? 0 ,即为所求的实数 a 的取值范围. ?????5 分 2 2 法 3:?,即方程 ax ? (1 ? a ) x ? 1 ? 0 在 ( 0, ?? ) 上有两个不等的实根,令 g ( x) ? ax ? (1 ? a ) x ? 1 ,则其图 a ?1 象对称轴为直线 x ? ,图象恒过 (0,?1) 点, 2a ? a ? ?1 ?a ? 0 ? 问题条件等价于 g ( x) 的图象与 x 轴正半轴有两个不同的交点,等价于 ?(1 ? a ) 2 ? 4a ? 0 ,? ? a ?1 ? ?0 ? 2a
得分情况同法 2

1 a( x ? 1)( x ? ) 1 a ,x ? 0, (Ⅱ) (1)当 ? 1 ? a ? 0 时, ? ? 1, f ?( x) ? a x x ? 0 ? ?x ? 0 1 ? 1 由? 得, ? ,解得 0 ? x ? 1或x ? ? ,?????6 分 ( x ? 1 )( x ? ) ? 0 a ? ? f ?( x) ? 0 a ? ? ?x ? 0 1 ?x ? 0 1 由? 得, ? ,解得 1 ? x ? ? , ?????7 分 ( x ? 1 )( x ? ) ? 0 a ? ? f ?( x) ? 0 a ? 1 1 此时 f ( x ) 在 (0,1) 、 ( ? ,?? ) 上递减,在 (1,? ) 上递增, ?????8 分 a a (2) 当 a ? 0 时, 因为 x ? 0 , 所以 ax ? 1 ? 0 , 则当 0 ? x ? 1 时,f ?( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时,f ?( x) ? 0 .从而 f ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1,??) 上递增, ?????10 分 (Ⅲ)法 1:由(Ⅱ)知,(1)当 ? 1 ? a ? 0 时, 1 ?????11 分 f ( x)极小值 ? f (1) ? 1 ? a ? 1 ? 0 , 2 4 4 4 4(a ? 1) 4 f (? ) ? 4 ? ? ln(? ) ? ? ln(? ) ,因为 ? 1 ? a ? 0 , a a a a a
.

a ?1 4 4 4 ? 0 ,又 ? ? 4 ,所以 ln(? ) ? 0 ,从而 f (? ) ? 0 .?????14 分 a a a a 又 f ( x ) 的图象连续不断,故当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x) 的图象与 x 轴有且仅有一个交点.所以当 ?1 ? a ? 0 时, 方程 f ( x ) ? 0 有且只有一个实数根. ?????15 分 4 4 4 4 ( ) , 令 ? ? t (t ? 4) , 考 察 函 数 g (t ) ? 4 ? t ? ln t , t ? 4 , 由 于 法 2 : ? ? f (? ) ? 4 ? ? l n ? a a a a 1 4 g ?(t ) ? ?1 ? ? 0 ,所以 g (t ) 在 ( 4,?? ) 上递减, g (t ) ? g (4) ? ? ln 4 ? 0 ,即 f ( ? ) ? 0 ,?? t a
所以 (如没有给出严格证明,而用极限思想说明的,扣 3 分)

.



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