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高三数学滚动检测试题(二)理科(含解析)人教版



滚动检测试题(二) (时间:120 分钟 满分:150 分) 【选题明细表】 知识点、方法 集合与常用逻辑用语 函数与导数 三角函数 解三角形 平面向量基本定理及线性运算 平面向量的数量积及向量的应用 综合问题 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.(2013 马鞍山质检)设集合 A={x|x2-4>0},B={x|2x<1},则 A∩B 等于 ( B ) 题号 1、3 7、11、20 4、5、10、16 9、13、18 6、12 2、8、15、17 14、19、21

(A){x|x>2} (B){x|x<-2} (C){x x< } (D){x|x<-2 或 x>2}

解析:A={x|x<-2 或 x>2},B={x|x<0}, 则 A∩B={x|x<-2}. 故选 B. 2.(2014 哈尔滨市第三中学模拟)△ABC 中,m=(cos A,sin A),n=(cos B,-sin B),若 m·n= ,则角 C 为( B )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:m·n=cos Acos B-sin Asin B= , 即 cos(A+B)= , 所以 A+B= , 所以 C= . 故选 B. 3.(2013 蚌埠模拟)A,B,C 是△ABC 的内角,则 “cos A+sin A=cos B+sin B”是“C=90°”的( B )

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:当 cos A+sin A=cos B+sin B 时,不一定有 C=90°,例如当 A=B=30°时;但当 C=90°时,A+B=90°,有 cos A=sin B,sin A=cos B, 必有 cos A+sin A=cos B+sin B, 故是必要不充分条件.故选 B. 4.(2013 唐山模拟)已知α ∈(0,π ),cos(α + )= ,则 tan 2α 等于 ( A ) (B)- (C) (D)-

(A)

解析:∵cos(α + )= ,α ∈(0,π ), ∴α + = ,

解得α = . ∴tan 2α =tan = . 故选 A. 5.已知 f(x)=cos 的图像与 y=1 的图像的两相邻交点间的距离 )

为π ,要得到 y=f(x)的图像,只需把 y=sin ω x 的图像( A (A)向左平移 π 个单位长度 (B)向右平移 π 个单位长度 (C)向左平移 π 个单位长度 (D)向右平移 π 个单位长度 解析:依题意 y=f(x)的最小正周期为π ,故ω =2, 因为 y=cos =sin =sin , =sin

所以把 y=sin 2x 的图像向左平移 个单位长度即可得到 y=cos 故选 A. 的图像.

6.在△ABC 中, =c, =b,若点 D 满足 (A) b+ c (B) c- b (C) b- c (D) b+ c 解析:如图所示,

=2 ,则

等于(

A

)

= +

= +

= +( - ) =c+ (b-c)= b+ c, 故选 A. 7.(2013 郑州市第二次质检)函数 f(x)=x-ex 在 R 上的零点个数是 ( A )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:f'(x)=1-ex,令 f'(x)>0 得 x<0,令 f'(x)<0 得 x>0,即 f(x)在(∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,f(x)max=f(0)=-1<0,因此 f(x)不存在零点.故选 A. 8.(2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中, =(1,2), 四边形的面积为( (A) C ) =(-4,2),则该

(B)2 (C)5 (D)10

解析:因为 ·

=(1,2)·(-4,2)

=1×(-4)+2×2=0, 所以 ⊥ | |= ,且| |= =2 , |= × ×2 =5.故选 C. = ,

所以 S 四边形 ABCD= | ||

9.(2013 年高考辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B 等于( (A) (B) (C) (D) A )

解析:由 asin Bcos C+csin Bcos A= b 得 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B, 因为 sin B≠0,所以 sin Acos C+cos Asin C= , 即 sin(A+C)= ,sin B= , 又 a>b,则∠B= .故选 A. 10.已知函数 f(x)=asin x+bcos x(a,b 为常数,a≠0,x∈R)在 x= 处 取得最小值,则函数 y=f( -x)( D )

(A)是偶函数且它的图像关于点(π ,0)对称

(B)是偶函数且它的图像关于点( ,0)对称 (C)是奇函数且它的图像关于点( ,0)对称 (D)是奇函数且它的图像关于点(π ,0)对称 解析:当 x= 时, 函数 f(x)= sin(x+ ? )取得最小值,

∴ + ? =- +2kπ ,k∈Z, 即 ? =- +2kπ ,k∈Z, ∴f(x)= 所以 y=f( -x) = =sin( -x- ) sin x, sin(x- ),

由此函数为奇函数且它的图像关于点(π ,0)对称.故选 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.(2014 池州模拟)设函数 f(x)=g(x)+x2,曲线 y=g(x)在点(1,g(1)) 处的切线方程为 y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率 为 .

解析:因为曲线 y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为 y=2x+1, 所以 g'(1)=2,

又 f'(1)=g'(1)+2×1=4, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为 4. 答案:4 12.(2013 芜湖模拟)已知向量 a 与 b 垂直,|a|=2,若使得 (a-c)·(b-c)=0 的 c 的模的最大值为 ,则|b|= 解析:(a-c)·(b-c)=a·b+c2-(a+b)·c=0, 所以 c2=(a+b)·c,|c|=|a+b|cos θ ≤|a+b|, θ 为 a+b 与 c 的夹角, 所以|a+b|= = 得|b|=1. 答案:1 13. (2013 年高考福建卷)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD ⊥AC,sin∠BAC= ,AB=3 ,AD=3,则 BD 的长为 . = , .

解析:因为 AD⊥AC, 所以∠BAD=∠BAC-90°, 所以 cos∠BAD=cos(∠BAC-90°) =sin∠BAC = , 在△ABD 中,由余弦定理得,

BD= 答案:

= .

14.(2014 山西康杰中学模拟)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为 该抛物线上三点,若 + + =0,则| |+| |+| |= 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), ∵ + + =0 且 F(1,0), ∴(x1-1,y1)+(x2-1,y2)+(x3-1,y3)=(0,0). ∴x1+x2+x3=3. ∴| |+| |+| |=x1+x2+x3+3=3+3=6. 答案:6 15. (2013 宿州模拟)已知图中∠AOC+2∠BOC=π ,| |=| |,BC∥ OA,P 为图中的阴影中(含边界)任意点,并且 =x +y ,下列结论正 确的是 . .

(1)0≤x+y≤1; (2)|x|+|y|≤x2+y2; (3)x2+y2≤2; (4)存在无数个点 P,使得 x=-1;

(5)存在无数个点 P,使得 y=1. 解析:由条件知 = , 延长 OP 交 BC 于点 D, 设 =λ , =μ , = - .

则λ ∈[0,1],μ ∈[0,+∞), 于是 = + ,

所以 =λ = = =+ ( - )+ +λ ,

又 =x +y , 所以 (1)x+y=λ =λ × ∈[0,1),

满足 x+y∈[0,1],正确; (2)由于 x∈[-1,0],y∈[0,1],

所以|x|≥x2,|y|≥y2, 即|x|+|y|≥x2+y2,错误; (3)由于 x∈[-1,0],y∈[0,1],显然有 x2+y2≤2 成立,正确; (4)当 x=-1 时,即 误; (5)y=1,即λ =1,当点 P 在边 BC 上时满足,因此存在无数个点 P,正确. 答案:(1)(3)(5) 三、解答题(共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 已知 sin α = ,α ∈ (1)求 tan α 的值; (2)求 tan(α +2β )的值. 解:(1)∵sin α = ,α ∈ ∴cos α = ∴tan α = (2)法一 = = =. = . , ,tan β = . 此时仅对应点 B,即当点 P 在点 B 时,x=-1,错

∵tan β = , = =, = =2.

∴tan 2β =

∴tan(α +2β )=

法二

∵tan β = , = =1, = =2.

∴tan(α +β )= ∴tan(α +2β )=

17.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,向量 =(sin α ,1), α ,2),点 P 满足 = . (1)记函数 f(α )= · ,α ∈ (2)若 O、P、C 三点共线,求| + 解:(1) =(cos α -sin α ,-1), 设 =(x,y), 则 =(x-cos α ,y). 由 = 得 x=2cos α -sin α ,y=-1, 故 =(2cos α -sin α ,-1). =(sin α -cos α ,1), =(2sin α ,-1), f(α )= · =(sin α -cos α ,1)·(2sin α ,-1)= ,求函数 f(α )的值域; |的值. =(cos α ,0), =(-sin

2sin2α -2sin α cos α -1=-(sin 2α +cos 2α )= - sin 又α ∈ , ,

故 0<2α + < , 所以 sin ∈ ,

故函数 f(α )的值域为[- ,1). (2)由(1)知 =(2cos α -sin α ,-1), =(-sin α ,2), 由 O、P、C 三点共线可得 (-1)×(-sin α )=2×(2cos α -sin α ), 得 tan α = . sin 2α = ∴| + |= = . 18.(本小题满分 12 分) (2013 兰州市第三次诊断)已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 2(a2+b2-c2)=3ab. (1)求 sin2 ; = = .

=

(2)若 c=2,求△ABC 面积的最大值. 解:(1)∵a2+b2-c2= ab, ∴cos C= ∵A+B=π -C, ∴sin2 = = =. =,

(2)∵a2+b2-c2= ab,且 c=2, ∴a2+b2-4= ab, 又∵a2+b2≥2ab, ∴ ab≥2ab-4, ∴ab≤8,当且仅当 a=b 时取等号. ∵cos C= ,

∴sin C=

=

= .

∴S△ABC= absin C≤ , 即△ABC 面积的最大值为 . 19.(本小题满分 13 分) (2014 哈师大附中模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 向量 m=(cos ,1),n=(-1,sin(A+B)),且 m⊥n.

(1)求角 C 的大小; (2)若 · = ,且 a+b=4,求 c. 解:(1)∵m⊥n, ∴m·n=0, ∴-cos +sin(A+B)=0, ∴-cos +sin C=0, ∴-cos +2sin cos =0, 且 0<C<π , ∴0< < , ∴cos ≠0, ∴sin = , ∴=, ∴C= .

(2)∵ · =abcos C= ab= , ∴ab=3. 又∵a+b=4, ∴c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-ab

=16-9=7, ∴c= . 20.(本小题满分 13 分) (2013 芜湖模拟)已知函数 f(x)=x-aln x,g(x)=(a∈R).

(1)当 a=2e 时,求函数 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的单调区间. 解:(1)当 a=2e 时,f(x)=x-2eln x, 则 f'(x)=1- , 于是 f'(e)=1- =-1, f(e)=e-2eln e=-e. 所以函数 y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为 y-(-e)=-(x-e), 即 x+y=0. (2)h(x)=x+ h'(x)=1= = . -aln x,定义域为(0,+∞),

①当 a+1>0,即 a>-1 时,在(0,1+a)上,h'(x)<0, 在(1+a,+∞)上,h'(x)>0,

所以 h(x)在(0,1+a)上单调递减, 在(1+a,+∞)上单调递增; ②当 1+a≤0,即 a≤-1 时,在(0,+∞)上,h'(x)>0, 所以函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增. 综上可知,当 a>-1 时,函数 h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞) 上单调递增; 当 a≤-1 时,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增. 21.(本小题满分 13 分) (2013 皖南八校联考)在△ABC 中,已知角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若(a+b+c)(sin A-sin B+sin C)=3asin C. (1)求角 B 的大小; (2)若函数 f(x)=cos(2x-B)+2sin2x,求 f(x)的最小正周期及单调递 增区间. 解:(1)由(a+b+c)(sin A-sin B+sin C)=3asin C, 得(a+b+c)(a-b+c)=3ac, 即(a+c)2-b2=3ac, 所以 a2+c2-b2=ac, 由余弦定理,得 cos B= , 所以 B= . (2)f(x)=cos(2x- )+2sin2x

=cos 2xcos +sin 2xsin +1-cos 2x = sin 2x- cos 2x+1 =sin(2x- )+1, 所以 f(x)的最小正周期 T= =π . 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + , 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 故 f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z).



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