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3.2 等差数列前n项和(一)


? an?1 ? d(n ? 2) ,d 为常数. 2.通项公式:an ? a1 ? (n ? 1)d
1. 定义: n a 3.性质1: an

? am ? (n ? m)d
m?n ? p?q

性质2:若

则am ? an ? ap ? aq
(其中

m , n, p , q 均为正整数)

引例
2008年北京奥运会的体育馆中有一块地 的方砖成扇形铺开,有人数了第一排的方砖个 数为8个,往上每一层都比它下面一层多放2个, 而且一共有101排,问这一块地的方砖有多少 块?

an ? 8 ? 2(n ?1)
8 + 10 + 12 + 14 + … + 208 =

好好学习,天天向上

1+2+3+4+…+100=

上课讲话 高斯 邓达华 上课睡觉 黄秩龙 黄达祥

?!!
heihei …看 你还 嚣张

高斯,你这么 高斯,你再 高斯, 有空,罚你在 不停下来, 不要动 放学前算完这 我可不客气 来动去 个加法!!! 啦!! 的!

小case啦!

5050 xixi 高斯(Carl Friedrich Gauss 1777年~1855年),德国著名 数学家

观察归纳
1+2+3+4+…+97+98+99+100= 5050
1+100=101 2+ 99=101 3+ 98=101 …… 50+ 51=101

100(1 ? 100) ? 5050 2 S100 100(a1 ? a100 ) ? 2

猜测
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即: Sn=a1+a2+·+an · ·

n S n ? ( a 1 ? an ) · 2

?

则am ? an ? ap ? aq



m?n ? p?q

公式推导

设等差数列{an}的前n项和为Sn,即: Sn=a1+a2+·+an · · a1+a2+a3+a4…+ an-2+ an-1+an=
a1+an = a2+an-1 = a3+an-2 =……

?

Sn=(a1+an)n/2

公式推导
设等差数列{an}的前n项和为Sn,即: Sn=a1+a2+·+an · ·
Sn = a1+a2 + a3 +…+ an-2 + an-1 +an Sn = an+an-1+an-2+…+ a3+ a2 +a1 2Sn = (a1+an )×n Sn = (a1+an ) n/2
特点: 此种求 该公式与梯形面积 和法称 公式 为倒序 1 相加法

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(上底 ? 下底) 高 ? 2 相似

公式变形
? an ? a1 ? (n ?1)d
n(a1 ? an ) n[ a1 ? a1 ? ( n ? 1) d ] ? Sn ? = 2 2 n( n ? 1) ? na1 ? d 2

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d ? Sn ? 2 或 Sn ? na1 ? 2

引例:2008年北京奥运会的体育馆中有一块地的 方砖成扇形铺开,有人数了第一排的方砖个数为 8个,往上每一层都比它下面一层多放2个,而且 一共有101排,问这一块地的方砖有多少块?

解:设自第一排到101排各排的 分析:这块地共有101排方砖,且自 方砖数成等差数列 ?an ? ,其中
101(101 ? 1) 则:S1011 ? 8, d ? 2, n ? 101 a 101? 8 ? ?2 2
第一排到101排各排的方砖数成等差 a1 ? 8, d ? 2, n ? 数列,可记为 ?an?,其中 101

? 10908

答:这一块地的方砖有10908块.

例:等差数列-10,-6,-2, 2,… 前多少项的和是54? 解:设题中的等差数列为?an ? ,前n项的和为 Sn ,
由题意可知:

a1 ? ?10, d ? (?6) ? (?10) ? 4, Sn ? 54.
由等差数列前n项求和公式可得:
n(n ? 1) ?10n ? ? 4 ? 54 2

整理,解得: n1 ? 9, n2 ? ?3(舍去). 故等差数列-10,-6,-2,2,…前9项的和 是54.

练一练

1.根据下列各题中的条件,

求等差数列中另两个量.

a1 an
5 100 14.5 95

n
10 50 26

d Sn
10 500 2550

2
32

-2

0.7 604.5

五个元素 : a1 , an , n, d , Sn “知三求二”

2. (1) 求正整数列中前n个数的和.
(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
n ? ( 2 ? 2n ) ? Sn ? ? n( n ? 1). 2 n ? (1 ? n) n( n ? 1) ? Sn ? ? . 2 2

3. 等差数列 5,4,3,2, · 前多少项和是 –30? · ·
解: a1=5 , d = -1 , Sn = -30 n( n ? 1) ? S n ? 5n ? ? ( ?1) ? ?30 2 n ? 15 或 n ? ?4(舍 )

1.等差数列前n项和Sn公式的推导 ——倒序求和法 2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用:
n(a1 ? an ) Sn ? 2
n( n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

说明:两个求和公式的使用
-------知三求一.

若Sn=an2+bn,则{an}是等差数列吗?

习题3.3

1,2,3


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