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两招破解三角形解的个数问题
学了正、余弦定理后,不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼,当三角形中已知两边和其中一边的对角时,可能出现 一解、二解、无解等情况,虽然书上也有相应的方法,可是一些同学茫然依旧,下面提供“两招”供同学们选择,希望能帮 助同学们顺利破解。 第一招:大角对大边 在已知三角形 ABC 中的边长 a,b 和角 A,且已知 a,b 的大小关系,常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形 解的个数,一般的做法如下,首先利用大边对大角,判断出角 B 与角 A 的大小关系,然后求出 B 的值,根据三角函数的有 界性求解。 例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A、C 及 c。 解:由正弦定理,得

a sin B 3 sin 45? 3 ? ? b 2 2 , 因为 B ? 45? ? 90? , b ? a ,所以 A ? 60? 或 120? 。 当 A ? 60? 时, C ? 75? , sin A ?
b sin C 2 sin 75? 6? 2 ? ? sin B sin 45? 2 ; A ? 120 ? C ? 15 ? 当 时, , c?
b sin C 2 sin15? 6? 2 ? ? sin B sin 45? 2 。 点评:在三角形中, a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B 这是个隐含条件,在使用时我们要注意挖掘。 c?
第二招:二次方程的正根个数 一般地,在△ ABC 中,已知 a , b 和角 A ,常常可对角 A 应用余弦定理,并将其整理为关于 c 的一元二次方程

c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? a 2 ? 0 ,若该方程无解或只有负数解,则该三角形无解;若方程有一个正数解,则该三角形有一解;若 方程有两个不等的正数解,则该三角形有两解。 例 2. 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA= 60 ? ,∠BCD= 135? ,求 BC 的长。

解:在△ABD 中,设 BD=x,
2 2 2 则 BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD ? cos ?BDA ,

2 2 2 即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10x ? cos 60? , 2 整理得 x ? 10x ? 96 ? 0 ,解得 x 1 ? 16 , x 2 ? ?6 (舍去) 。

由正弦定理,得 点评:已知三角形两边和其中一边的对角,我们可以采用正弦定理或余弦定理求解,从上述例子可以看出,利用余弦定 理结合二次方程来判断显得更加简捷。

BC ?

BD 16 ? sin ?CDB ? ? sin 30? ? 8 2 sin ?BCD sin135? 。


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