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计算机科学与数学的关系



计算机科学与数学的关系 计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前,计算机科学基本上还是数学的一个分 支。而现在,计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员,在很多方面反过来推动 数学发展,从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。 但不管怎么样,这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是 the mathematical underpi nning of computer s

cience(计算机科学的数学基础),-- 也就是理论计算机科学。

现代计算机科学和数学的另一个交叉是计算数学/数值分析/科学计算,传统上不包含在理 论计算机科学以内。所以本文对计算数学全部予以忽略。 最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么?答:离散数学。这两者的关系是如此密 切,以至于它们在不少场合下成为同义词。 传统上,数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析,然后是复 变,实变,泛函等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理,化学,工程 上应用的,也以分析为主。

随着计算机科学的出现,一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现,这 些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别:分析研究的对象是连续的,因而微分 ,积分成为基本的运算;而这些分支研究的对象是离散的,因而很少有机会进行此类的计 算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮,最后导致以 分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。 离散数学经过几十年发展,基本上稳定下来。一般认为,离散数学包含以下学科:

1) 集合论,数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础,也是计算机科学的基础。

2) 图论,算法图论;组合数学,组合算法。计算机科学,尤其是理论计算机科学的核心是 算法,而大量的算法建立在图和组合的基础上。

3) 抽象代数。代数是无所不在的,本来在数学中就非常重要。在计算机科学中,人们惊讶 地发现代数竟然有如此之多的应用。

但是,理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗?一直到大 约十几年前,终于有一位大师告诉我们:不是。

D.E.Knuth(他有多伟大,我想不用我废话了)在 Stanford 开设了一门全新的课程 Concrete Mathematics。 Concrete 这个词在这里有两层含义:

第一,针对 abstract 而言。Knuth 认为,传统数学研究的对象过于抽象,导致对具体的问题 关心不够。他抱怨说,在研究中他需要的数学往往并不存在,所以他只能自己去创造一些 数学。为了直接面向应用的需要,他要提倡“具体”的数学。

在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中,数学家关心的都是最根本的问题--公理系 统的各种性质之类。而一些具体集合的性质,各种常见集合,关系,映射都是什么样的, 数学家觉得并不重要。然而,在计算机科学中应用的,恰恰就是这些具体的东西。Knuth 能 够首先看到这一点,不愧为当世计算机第一人。

第二,Concrete 是 Continuous(连续)加上 discrete(离散)。不管连续数学还是离散数学, 都是有用的数学! 前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看,理论计算机科学目前主要的研究领域 包括:可计算性理论,算法设计与复杂性分析,密码学与信息安全,分布式计算理论,并 行计算理论,网络理论,生物信息计算,计算几何学,程序语言理论等等。这些领域互相 交叉,而且新的课题在不断提出,所以很难理出一个头绪来。 下面随便举一些例子。 由于应用需求的推动,密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论(尤其是计算数论) ,代数,信息论,概率论和随机过程的基础上,有时也用到图论和组合学等。 很多人以为密码学就是加密解密,而加密就是用一个函数把数据打乱。这就大错特错了。 现代密码学至少包含以下层次的内容: 第一,密码学的基础。例如,分解一个大数真的很困难吗?能否有一般的工具证明协议正 确? 第二,密码学的基本课题。例如,比以前更好的单向函数,签名协议等。 第三,密码学的高级问题。例如,零知识证明的长度,秘密分享的方法。 第四,密码学的新应用。例如,数字现金,叛徒追踪等。



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