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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等差数列第二课时教案 北师大版必修5



§2.1 等差数列(二)
教学目标 1. 知识与技能:能在具体的问题情境中, 发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问 题;体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概 念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。 教学重点:会用公

式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。 教学难点:等差数列与一次函数之间的联系 教学过程: 一、等差数列的通项公式

an ? dn ? (a1 ? d )
特征:

f (n) ? dn ? (a1 ? d )

1? 等差数列的通项公式是关于 n 的一次函数,n 是自变量, n ? N ? 2? 如果通项公式是关于 n 的一次函数,则该数列成等差数列; 证明:若 an ? An ? B ? A(n ? 1) ? A ? B ? ( A ? B) ? (n ? 1) A 它是以 A ? B 为首项, A 为公差的等差数列。

an 是函数

3? 图象是直线 y ? dx ? (a1 ? d ) 上一些等间隔的点,公差 d 是该直线的斜率. 4? 公式中若 d ? 0 则数列递增, d ? 0 则数列递减; d ? 0 则数列为常数列 图像见教材 P13 页 等差数列与一次函数的异同: 等差数列 解析式 不同点 一次函数 f(x)=kx+b (k≠0) 1、定义域为 R, 2、图像是一条直线. 3、k≠0.

an ? dn ? (a1 ? d ) (n∈N+)
1、定义域为 N+, 2、 图像是直线 y ? dx ? (a1 ? d ) 上一些等 间隔的点. 3、d=0,{an}为常数列.

1

相同点

1、当 d≠0 时,其通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整 式. 2、d,k 都表示直线的斜率.

例 1:已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图像上的两点. (1)求这个数列的通项公式; (2)画出这个数列的图像; (3)判断这个数列的单调性. 解:(1)略. (2)图像是直线 y=2x-1 上一些等间隔的点. (3)因为一次函数 y=2x-1 是增函数, 所以数列{an}是递增数列. 二、等差中项的概念 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A, 使 a,A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项

a?b 或 2A ? a ? b 2 a ? b a ? a ? 2d ? ?a?d ? A 证明:设公差为 d ,则 A ? a ? d b ? a ? 2d ∴ 2 2
若 A 是 a 与 b 的等差中项,则 A ? 例 2:一个木制梯形架的上、下两底边分别为 33cm,75cm,把梯形的两腰各 6 等分,用平行 木条连接各对应点,构成梯形架的各级。试计算梯形架中间各级的宽度。 解: 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an},则由梯形中位 线的性质,易知每相邻三项均成等差数列,从而{an}成等差数列。 依题意有 a1 ? 33cm a7 ? 75cm 现要求 a2 , a3 , a4 , a5 a6 ,即中间 5 层的宽度。
33

d?

a7 ? a1 75 ? 33 ? ? 7(cm ) a2 ? 33 ? 7 ? 40cm , 7 ?1 6
75

a3 ? 40 ? 7 ? 47cm , a4 ? 54cm , a5 ? 61cm , a6 ? 68cm
答:梯形架中间各级的宽度自上而下依次是 40cm,47cm,54cm,61cm,68cm. 例 3:在?1 与 7 之间顺次插入三个数 a, b, c 使这五个数成等差数列,求此数列。 解:∵ ? 1, a, b, c,7成等差数列 ∴ b 是-1 与 7 的等差中项 ∴ b ?

?1? 7 ?3 2

a 又是-1 与 3 的等差中项 ∴ a ?

?1? 3 ?1 2

2

c 又是 1 与 7 的等差中项 ∴ c ?

3? 7 ?5 2
∴所求的数列为-1,1,3,5,7

解:设 a1 ? ?1 a5 ? 7 ∴ 7 ? ?1 ? (5 ? 1)d ? d ? 2 小结: ? 这节课你学习了哪些知识? ? 体会到了哪些数学思想方法? ? 你最大的收获是什么? 思考题:1、证明你刚才关于等差数列特征的猜想。

2、总结归纳:证明一个数列为等差数列的方法有哪些? 作业: P 19 习题 1-2 第 9、11、13 题

3



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