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福建省福州市高中毕业班质量检查数学文科试卷



2011 年福州市高中毕业班质量检查数学文科试卷
(满分 150 分,考试时间 120 分钟) 参考公式: 样本数据 x1,x2,? ,xn 的标准差 锥体体积公式

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x ) 2 ? ? n? 其中 x 为样本平均数
s=
柱体体积公式 V=S

h

V=

1 Sh 3

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

4 S ? 4?R2 , V ? ?R3 3

其中 S 为底面面积,h 为高 其中 R 为球的半径 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置. ) 1.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={3,4,5},则 CU ? A ? B ? 等于( A.{1,2,3,4} C.{1,2,5} B.{1,2,4,5} D.{3} ).

2.某学校为了调查高三年级的 200 名文科学生完成课后作业所需时间,采取了两种抽样调查的方式: 第一种由学生会的同学随机抽取 20 名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编 号,从 001 到 200,抽取学号最后一位为 2 的同学进行调查,则这两种抽样的方法依次为( A.分层抽样,简单随机抽样 C.分层抽样,系统抽样 B.简单随机抽样, 分层抽样 D.简单随机抽样,系统抽样 ) C. ).

3.下列各选项中,与 sin2011° 最接近的数是( A. ?

1 2

B.

1 2

2 2

D. ?

2 2


4.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若a1 ? a9 ? a11 ? 30 ,那么 S13 值的是( A.65 B.70 C.130 D.260 )

5.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则 ( A.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 B.a=-1,b=-1 D.a=1,b=1

6.某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表: x y 1.99 1.5 3 4.04 4 7.5 5.1 12 6.12 18.01

对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是(

)

A.y=2x-2

1 x B.y=( ) 2

C.y=log2x

1 2 D.y= (x -1) 2

7. 给出下列四个命题: ①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( A. ①和② 8. 双曲线 ) B. ②和③ C. ③和④ ) D. 4 个.
开始 输入 a, b 是

D. ②和④

x2 y 2 ? ? 1 上到定点(5,0)的距离是 9 的点的个数是( 16 9
B. 2 个; C. 3 个;

A. 0 个;

9. 对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算规则如右图 的程序框图所示,则 (3 ? 2) ? 4 的值是( A.0 C. B. ).

1 2
输出

a ? b?



3 2
?? ?? ?

D.9

b ?1 a

输出

a ?1 b

10. 已 知 a1 , a2 均 为 单 位 向 量 , 那 么 a1 ? ?

??

? 3 1? ? 2 ,2? ?是 ? ?

结束

?? ?? ? a1 ? a2 ?

?

3,1 的(

?

) B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

11.在区间 [?π , π] 内随机取两个数分别记为 a, b ,则使得函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? b2 ? ? 2 有零点的概 率为( A.1- )

? 8

B.1-

? 4

C.1-

? 2

D.1-

3? 4

12. 已知函数 f(x+1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的 不等实数 x1 、 x2 ,不等式

( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解集为(
A.(1,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,1)

).

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填写在答题卷相应位置. ) 13.已知复数 z ?

1? i (i 是虚数单位) ,则 | z |? 1? i
.

.

14.命题“ ? x∈R,ex>x”的否定是

15.四棱锥 P ? ABCD 的顶点 P 在底面 ABCD 中的投影恰好是 A, 其三视图如右图所示,根据图中的信息, 在四棱锥 P ? ABCD 的任两个顶点的连线中,互相垂直的异面直线对数 为 . 16.将正整数按下表的规律排列,把行与列交叉处的一个数称为 某行某列的数, 记作 aij (i, j ? N ) , 如第 2 行第 4 列的数是 15,
*

主 视 a 图 D 俯 视 图 A a B C

左 视 图

a

记作 a24 ? 15 ,则有序数对 ?a82 , a 28 ? 是 1 2 9 10 …… 4 3 8 11 5 6 7 12 …… 16 15 14 13 …… …… …… …… …… ……

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写在答题卷相应位置,要写出文字说明、证明 过程或演算过程. ) 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 3, a 4 ? 12 , (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a 4 分别为等比数列 {bn } 的第 1 项和第 2 项,试求数列 {bn } 的通项公式 及前 n 项和 S n .

18. (本小题满分 12 分) “ 石头、剪刀、布 ” 是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是:用三种不同的手势 分别表示石头、 剪刀、 布; 两个玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏, “ 石头 ”胜 “剪刀 ” , “ 剪刀 ” 胜 “ 布 ” ,“布 ”胜 “石头 ” ;双方出示的手势相同时,不分胜负.现假设玩家甲、乙双方 在游戏时出示三种手势是等可能的. (Ⅰ)写出玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果; (Ⅱ)求出在 1 次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率.

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

3 1 sin ? x ? cos ? x , x ? R . 2 2
y P

(Ⅰ)求函数 f(x)的最大值和最小值; (Ⅱ) 如图,函数 f(x)在[-1,1]上的图象与 x 轴的 交点从左到右分别为 M、N,图象的最高点为 P,求
-1 M

???? ? ???? PM 与 PN 的夹角的余弦.

O

N 1

x

20. (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 与 A' ABB' 都是边长为 a 的正方形,点 E 是 A' A 的中点,

A ' A ⊥平面 ABCD.
(I)计算:多面体 A'B'BAC 的体积; (II)求证: A' C
B'

A' E? A B C D

// 平面 BDE;

(Ⅲ) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE.

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 ? ? ? 1(常数 m 、 n ? R ,且 m ? n )的左右焦点分别为 F1 , F2 ,M、N 为短 m n

轴的两个端点,且四边形 F1MF2N 是边长为 2 的正方形. (Ⅰ)求椭圆方程;
m]

(Ⅱ)过原点且斜率分别为 k 和-k(k≥2)的两条直 线与椭圆

x2 y2 + = 1 的交点为 A、B、C、 m n

D(按逆时针顺序排列,且点 A 位于第一象限内) ,求四边形 ABCD 的面积 S 的最大值..

22.(本小题满分 14 分) 已知对任意的实数 m,直线 x ? y ? m ? 0 都不与曲线 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) 相切. (I)求实数 a 的取值范围; (II)当 x ?[?1,1] 时,函数 y=f(x)的图象上是否存在一点 P,使得点 P 到 x 轴的距离不小于 试证明你的结论.

1 . 4

2011 年福州市高中毕业班质量检查

数学文科试卷参考答案和评分标准
一.选择题 1.B 二.填空题 13.1 三.解答题 2.D 3.A 4.C 5.D
x

6.D 15.6

7.D 8.C 9.C 10.B 16.(51,63)

11.B 12.C

14. ?x ? R, e ? x

17.解: (I)设数列 ?a n ?的公差为 d , 由已知有 ? 解得 d ? 3

?a1 ? 3 ?a1 ? 3d ? 12

…………2 分 …………4 分 …………6 分

? a n ? 3 ? ?n ? 1?3 ? 3n

(Ⅱ)由(I)得 a 2 ? 6, a 4 ? 12, 则 b1 ? 6, b2 ? 12 ,…………8 分 设 ?bn ? 的公比为 q, 则 q ? 从而 bn ? 6 ? 2
n ?1

b2 ? 2, b1

…………9 分

? 3 ? 2n

…………11 分

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n ?

6 1 ? 2n ? 6 2 n ? 1 …………12 分 1? 2

?

? ?

?

18. 解: (Ⅰ)玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果是: (石头,石头) ; (石 头,剪刀) ; (石头,布) ; (剪刀,石头) ; (剪刀,剪刀) ; (剪刀,布) ; (布,石头) ; (布, 剪刀) ; (布,布) . …………6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,基本事件共有 9 个,玩家甲不输于玩家乙的基本事件分别是: (石头,石 头) ; (石头,剪刀) ; (剪刀,剪刀) ; (剪刀,布) ; (布,石头) ; (布,布) ,共有 6 个.所 以,在 1 次游戏中玩家甲不输于玩家乙的概率 P ? 19.解:(Ⅰ)∵ f ( x) ? = sin(? x ? ∵ x?R

6 2 ? . …………12 分 9 3

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

?
6

y 1

P

) …………2 分
∴ ?1 ? sin(? x ?

?
6

) ? 1,

-1 M O A N 1 x

∴函数 f ( x) 的最大值和最小值分别为 1,—1. …………4 分

? k? , k ? Z , 6 1 1 5 5 ∵ x ?[?1,1] ∴x ?? 或x? ∴ M (? , 0), N ( , 0), …………6 分 6 6 6 6 ? 1 1 由 sin(? x ? ) ? 1 ,且 x ?[?1,1] 得 x ? ∴ P ( ,1), …………8 分 6 3 3 ???? ? ???? 1 1 ∴ PM ? (? , ?1), PN ? ( , ?1), …………10 分 2 2 ???? ? ???? ???? ? ???? PM ? PN 3 ? ???? ? .…………12 分 ∴ cos ? PM , PN ?? ???? | PM | ? | PN | 5
(Ⅱ)解法 1:令 f ( x) ? sin(? x ?

?

6

) ? 0 得? x ?

?

解法 2:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, 由三角函数的性质知 | MN |?

1 T ? 1, 2

…………6 分

1 5 | PM |?| PN |? 12 ? ( ) 2 ? ,…………8 分 2 2
由余弦定理得 cos ? PM , PN ??

???? ? ????

| PM |2 ? | PN |2 ? | MN |2 …………10 分 2 | PM | ? | PN |

5 ? 2 ?1 3 =4 ? .…………12 分 5 5 2? 4
解法 3:过点 P 作 PA ? x 轴于 A ,则 | PA |? 1, 由三角函数的性质知 | MN |? 1 T ? 1 ,…………6 分 2

1 5 | PM |?| PN |? 12 ? ( ) 2 ? …………8 分 2 2
在 Rt ?PAM 中, cos ?MPA ?

| PA | 1 2 5 …………10 分 ? ? | PM | 5 5 2
2

∵PA 平分 ?MPN

∴ cos ?MPN ? cos 2?MPA ? 2cos ?MPA ? 1

? 2? (

2 5 2 3 ) ? 1 ? .…………12 分 5 5

20.解: (I)多面体 A'B'BAC 是一个以 A'B'BA 为底,C 点为

顶点的四棱锥,由已知条件,知 BC⊥平面 A'B'BA, ∴ VC ? A?B?BA ?

1 1 a3 S A?B?BA ? BC ? ? a 2 ? a ? ……3 分 3 3 3

(II)设 AC 交 BD 于 M,连结 ME.

?ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点,
又 ?E 为 A' A 的中点?ME 为 ?A' AC 的中位线
B'

A'

? ME // A' C ……………………………………5 分
又 ? ME ? 平面BDE, A' C ? 平面BDE

E? D M

A B

? A' C // 平面 BDE. ………………7 分
(Ⅲ)? ABCD为正方形

C

? BD ? AC ………………………… 9 分
……………………11 分

? A' A ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD ? A' A ? BD. 又AC ? A' A ? A ? BD ? 平面A' AC.
? BD ? 平面BDE ? 平面A ' AC ? 平面BDE.
21.解: (Ⅰ)依题意: ?

…………………………………………12 分

? m?n ? n ?m ? 4 ? ,? ? , ?2 n ? 2 2 ? n ? 2 ?

所求椭圆方程为 (Ⅱ)设 A(x,y).

x2 y2 ? ? 1 .………………………3 分 4 2

? y ? kx 2 2k ? , ) .………………………6 分 由 ? x2 y 2 得 A( ?1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? ? ?4 2
根据题设直线图象与椭圆的对称性,知…………8 分

S ? 4?
∴S ?

2 1 ? 2k 2

?

2k 1 ? 2k 2

?

16k (k ? 2). …………9 分 1 ? 2k 2

16 (k ? 2). 1 ? 2k k
1 1 1 , 则 M ?(k ) ? 2 ? 2 , 当 k ? 2 时, M ?(k ) ? 2 ? 2 ? 0 k k k 9 , ………11 分 2

设 M ( k ) ? 2k ?

∴ M (k ) 在 k ? ? 2, ?? ? 时单调递增,∴ ? M (k ) ?min ? M (2) ?

∴当 k ? 2 时, Smax ?

16 32 .………………………12 分 ? 9 9 2
…………2 分

22.解: (I) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ?[?3a,??) , ∵对任意 m ? R ,直线 x ? y ? m ? 0 都不与 y ? f ( x) 相切, ∴ ? 1?[?3a,??) , ?1 ? ?3a ,实数 a 的取值范围是 a ?

1 ; 3

…………4 分

(II)存在,证明方法 1:问题等价于当 x ?[?1,1] 时, | f ( x) |max ? 设 g ( x) ?| f ( x) | ,则 g ( x) 在 x ?[?1,1] 上是偶函数, 故只要证明当 x ?[0,1] 时, | f ( x) |max ?

1 ,…………6 分 4

1 , 4

①当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在[0,1] 上单调递增,且 f (0) ? 0 , g ( x) ? f ( x)

g ( x) max ? f (1) ? 1 ? 3a ? 1 ?

1 ; 4

…………8 分

1 ②当 0 ? a ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )( x ? a ) ,列表: 3

x
f ?( x)

(??,? a )
+

? a
0

(? a , a )
-

a
0 极 小

( a ,??)
+

f ( x)

?

极大 2a a

?

? 2a a

?

f ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,
注意到 f (0) ? f ( 3a ) ? 0 ,且 a ? 3a ? 1 ,

…………10 分

∴ x ? (0, 3a ) 时, g ( x) ? ? f ( x) , x ? ( 3a ,1) 时, g ( x) ? f ( x) , ∴ g ( x) max ? max{ f (1),? f ( a )} ,…………12 分 由 f (1) ? 1 ? 3a ?

1 1 1 及 0 ? a ? ,解得 0 ? a ? ,此时 ? f ( a ) ? f (1) 成立. 4 3 4 1 . 4

∴ g ( x) max ? f (1) ? 1 ? 3a ? 由 ? f ( a ) ? 2a a ?

1 1 1 1 及 0 ? a ? ,解得 ? a ? ,此时 ? f ( a ) ? f (1) 成立. 4 3 4 3 1 . 4

∴ g ( x)max ? ? f ( a ) ? 2a a ?

∴在 x ?[?1,1] 上至少存在一个 x0 ,使得 | f ( x0 ) |? (II)存在,证明方法 2:反证法 假设在 x ?[?1,1] 上不存在 x0 ,使得 | f ( x0 ) |?

1 成立. 4

…………14 分

1 1 成立,即 ? x ?[?1,1] , | f ( x 0 ) |? , 4 4

设 g ( x) ?| f ( x) | ,则 g ( x) 在 x ?[?1,1] 上是偶函数, ∴ x ?[0,1] 时, | f ( x) | max ?

1 , 4

…………6 分

①当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在[0,1] 上单调递增,且 f (0) ? 0 , g ( x) ? f ( x)

g ( x) max ? f (1) ? 1 ? 3a ?

1 1 , a ? 与 a ? 0 矛盾; 4 4

…………8 分

1 ②当 0 ? a ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )( x ? a ) ,列表: 3

x
f ?( x)

(??,? a )
+

? a
0

(? a , a )
-

a
0 极 小

( a ,??)
+

f ( x)

?

极大 2a a

?

? 2a a

?

f ( x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,
注意到 f (0) ? f ( 3a ) ? 0 ,且 a ? 3a ? 1 ,

…………10 分

∴ x ? (0, 3a ) 时, g ( x) ? ? f ( x) , x ? ( 3a ,1) 时, g ( x) ? f ( x) , ∴ g ( x) max ? max{ f (1),? f ( a )} ,……………12 分 注意到 0 ? a ?

1 ,由: 3

1 1 ?? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a ? ?? f ( a ) ? f (1) ? 1 ? 3a ? 0?a? a? ? ? ? ? ? 4 矛盾; ? 4 矛盾; ,? ? ? 1 1 ,? 1 1 ? f (1) ? 1 ? 3a ? ?? f ( a ) ? 2 a a ? ?a ? ?a ? 4 4 ? ? ? ? 4 4 ? ?
∴ ? x ?[?1,1] , | f ( x 0 ) |?

1 1 与 a ? 矛盾, 3 4
…………14 分

∴假设不成立,原命题成立.

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