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11[1].3 角的平分线的性质 练习3


角的平分线的性质自测
夯实基础 一、耐心选一选,你会开心(每题 6 分,共 30 分) 1.如图 1 所示,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为 D、C,AD 相交于点 P,若 PA=PB,则∠1 与∠2 的大小是() A.∠1=∠2 C.∠1<∠2 B.∠1>∠2 D.无法确定 O 1 C P 2
图1

A

与 BC

D

B DE ⊥

2.△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,AD 是∠BAC 的平分线, AB,垂足为 E,若 AB=12cm,则△DBE 的周长为() A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm

3.如图 2 所示,已知 PA、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC、∠ECA 的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE,垂 足分别为 M、N,那么 PM 与 PN 的关系是() A.PM>PN B.PM=PN D M E A P C N E A 图3 4.如图 3 所示,△ABC 中,AB=AC,AD 是∠A 的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E、F,下 面给出四个结论,其中正确的结论有( ①AD 平分∠EDF; ) F C.PM<PN D.无法确定 B D C

B

图2

②AE=AF; ③AD 上的点到 B、C 两点的距离相等

④到 AE、AF 距离相等的点,到 DE、DF 的距离也相等 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 A P A.AD=CP C.△ABD≌△CBD B.△ABP≌△CBP D.∠ADB=∠CDB. B D C

5. 如图,已知点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC, 垂足分别为A,C.下列结论错误的是( ) .

二、精心填一填,你会轻松(每题 6 分,共 30 分) 6.在直角△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,若 CD=8,则点 D 到斜边 AB 的距离等
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于_____________. 7.如图 5 所示,已知点 C 是∠AOB 平分线上的一点,点 P、P′分别在边 OA、OB 上,如果要得到 OP =OP′, 需要添加以下条件中的某一个即可, 请你写出所有可能结果的序号为___________________. ① ∠OCP=∠OCP′;②∠OPC=∠OP′C;③PC=P′C;④PP′⊥OC. 8.如图,已知 BO 平分 ?CBA , CO 平分 ?ACB , MN ∥ BC ,且过点 O ,若 AB ? 12 , AC ? 14 , 则 △AMN 的周长是 .


B







E A

D





C

9.如图,在△ABC 中,∠C=900,AD 平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么 D 点到直线 AB 的距离 是 cm.

10.如图所示:⑴若∠BAD=∠CAD,且 BD⊥AB 于 B,DC⊥AC 于 C,则 BD=CD,⑵若 BD⊥AB 于 B,DC⊥AC 于 C,且 BD=CD,则∠BAD=∠CAD,试利用上述知识,解决下面的问题:三条公路两 两相交于 A、B、C 三点,现计划修建一个商品超市,要求这个超市到三条公路距离相等,问可供选择 的地方有 处.

三、细心做一做,你会成功(共 40 分) 11.已知:AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E、F,BD=CD,求证:∠B=∠ C. A E F

B

D

C

12. 如图, 已知在△ ABC 中,?C ? 90 , D 是斜边 AB 的中点,AB ? 2BC ,DE ? AB 交 AC 于 E . 点
?

求证: BE 平分 ?ABC .

B D

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13. 先作图,再证明. (1)在所给的图形(如图)中完成下列作图(保留作图痕迹) ①作 ?ACB 的平分线 CD ,交 AB 于点 D ; ②延长 BC 到点 E ,使 CE ? CA ,连结 AE . (2)求证: CD ∥ AE .







综合创新 14.如图,△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点. 求证:点P在∠C的平分线上. P B D A E

C

15.已知:如图, ?B ? ?C ? 90 , M 是 BC 的中点, DM 平分 ?ADC .
?

(1)若连接 AM ,则 AM 是否平分 ?BAD ?请你证明你的结论. (2)线段 DM 与 AM 有怎样的位置关系?请说明理由.


2 1





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3 4





中考链接 16. (2007 广东茂名) 在Rt△ ABC中,?C=90 ,?BAC 的角平分
?

线 AD 交 BC 于 点 D, CD=2 ,

则点 D 到 AB 的距离是( A.1 B.2

) C.3 D.4 A

A

B

D

C

B )

C

17. (2007 广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的( A.三条中线的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 B.三条高的交点 D.三条角平分线的交点

18. (2006 年镇江)⑴如图,已知△ABC,∠C=90°.按下列语句作图(尺规作图,保留作图痕迹) : ①作∠B 的平分线,与 AC 相交于点 D;②在 AB 边上取一点 E,使 BE=BC ③连接 ED;⑵根据所作图形,写出一组相等的线段和一组相等的锐角. (不包括 BE=BC,∠EBD=∠CBD) 答:________________________________________________. 参考答案 夯实基础 1.选 A,提示:∵AD⊥OB,BC⊥OA,PA=PB,由角平分线的判定可知∠1=∠2. 2.选 A;提示:∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,∠C=90°,易得△ACD≌△AED,∴CD=DE, AE=AC,∴△DBE 的周长=DE+EB+DE=CD+DB+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB= 12cm. 3.选 B,提示:过 P 作 PT⊥AC 于 T,因为 PA 平分∠DAC,PM⊥BD,∴PM=PT,又 PC 平分∠ACE, PT⊥AC,PN⊥BE,∴PN=PT,∴PM=PN.
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4.选 D,提示:①②③④都正确. 5.A 6.8,提示:根据角平分线的性质可得 D 到斜边 AB 的距离为 8. 7.①、②、④ 8.26 9.由∠C=90°,AD 平分∠CAB,可作 DE⊥AB 于 E,所以 D 点到直线 AB 的距离是 DE 的长,由角平 分线的性质可知 DE=CD.又 BC=8cm,BD=5cm,所以 DE=CD=3cm.所以 D 点到直线 AB 的距 离是 3cm. 10.四处. 提示:如图 2 所示:⑴作出△ABC 两内角的平分线, ⑵分别作出△ABC 两外角平分线,其交点分别为 O2, 足条件的修建点有四处,即 O1,O2,O3,O4. 图2 11. 因为 AD 是△ABC 的角平分线, DE⊥AB, DF⊥AC, O4 所以 DE=DF, 在 Rt△DEB 与 Rt△DFC 中,BD=CD,DE=DF,所以 Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ,所以∠B=∠C. 12.∵ D 是 AB 的中点,∴ BD ? B O1 C O3 A O2 其交点为 O1; O3 ,O4 ,故满

1 AB , 2

∵ AB ? 2BC ,∴ BC ?

1 AB ,∴ BD ? BC . 2
? ?

又∵ DE ? AB , ?C ? 90 ,∴?C ? ?BDE ? 90 , 又 BE ? BE , Rt△BDE ≌ Rt△BCE ( HL ) ,

∴?DBE ? ?EBC ,∴ BE 平分 ?ABC .
13.证明: (1)作图略; (2)∵ AC ? CE , AC ⊥CE , . ∴△ACE 为等腰直角三角形, ∴?ACD ? 45? 又∵CD 平分 ?ACB .∴?CAE ? 45 .
?

∴?ACD ? ?CAE .∴CD ∥ AE .

综合创新 14.如图,过点P作PM⊥AB,PN⊥BC,PQ⊥AC,垂足分别为M、N、Q.∵P在∠BAC的平分线AD上, ∴PM=PQ.P在∠ABC的平分线BE上,∴PM=PN.∴PQ=PN,∴点P在∠C的平分线.
A
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M P B D N

E Q C

15. (1) AM 平分 ?DAB . 证明:过点 M 作 ME ⊥ AD ,垂足为 E .

∵?1 ? ?2 , MC ⊥ CD , ME ⊥ AD ,
. ∴ME ? MC (角平分线上的点到角两边的距离相等) 又∵MC ? MB ,∴ME ? MB .


2 1



∵MB ⊥ AB , ME ⊥ AD ,
. ∴ AM 平分 ?DAB (到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上) E (2) AM ⊥ DM ,理由如下:



∵?B ? ?C ? 90? ,
. ∴CD ∥ AB (垂直于同一条直线的两条直线平行)

3 4





∴?CDA ? ?DAB ? 180? (两直线平行,同旁内角互补)
又∵ ?1 ?

1 1 ?CDA , ?3 ? ?DAB (角平分线定义) 2 2

∴2?1 ? 2?3 ? 180? ,∴?1 ? ?3 ? 90? , ∴?AMD ? 90? .即 AM ⊥ DM .

中考链接 16.B 17.D 18.⑴作出∠B 的平分线,标出交点 D;标出点 E,连接 ED; ⑵写出 DE=DC,∠BDE=∠BDC 或∠ADE=∠ABC.

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