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河南省南阳市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(理科) Word版含解析



河南省南阳市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷(理科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)在复平面内,复数 A.第一象限 +(1+ i) 的共轭复数对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限
2

B.第二象限

2. (5 分)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的 是() A.假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60 度 C. 假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度

3. (5 分)用数学归纳法证明 时,等式左边应为() A.1 B.1+a C.1+a+a
2

(a≠1,n∈N ) ,在验证当 n=1

*

D.1+a+a +a

2

3

4. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(e)+lnx,则 f′(e)= () A.1 B.﹣1 C.﹣e
﹣1

D.﹣e

5. (5 分)设圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的高为() A. B. C. D.3π

6. (5 分)若 a= A.a<c<b

,b= B.a<b<c

,c= C.c<b<a
2

,则 a,b,c 大小关系是() D.c<a<b

7. (5 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= x +a(a 为常数) ,直线 l 与函数 f(x) ,g(x) 的图象都相切,且 l 与函数 f(x)图象的切点的横坐标为 1,则 a 的值为() A.1 B. ﹣ C.﹣1 D.2

8. (5 分)将正奇数按照如卞规律排列,则 2015 所在的列数为()

A.15

B.16

C.17

D.18

9. (5 分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车 的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是()

A.

B.

C.
3

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=x(x﹣m) 在 x=2 处取得极小值,则常数 m 的值为() A.2 B. 8 C. 2 或 8 D.以上答案都不对 11. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为() A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞) 12. (5 分)定义在 R 上的可导函数 f(x) ,且 f(x)图象连续不断,f′(x)是 f(x)的导 数,当 x≠0 时,f′(x)+ A.0 B. 1 >0,则哈数 g(x)=f(x)+ 的零点的个数() C. 2 D.0 或 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列 为等差数列,公差

为 . 类似地, 若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q, 前 n 项的积为 Tn, 则数列 为等比数列,公比为.

14. (5 分)由曲线 y= 体的体积为.

,直线 y=x﹣4 以及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转

15. (5 分)若 f(x)=﹣ x +bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是.

2

16. (5 分)已知 g(x)=mx+2,f(x)=x ﹣ 得 g(x1)>f(x2) ,则实数 m 的取值范围是.

2

,若对任意的 x1∈,总存在 x2∈,使

三、解答题 2 2 17. (10 分)已知复数 z=(2m ﹣3m﹣2)+(m ﹣3m+2)i. (Ⅰ)当实数 m 取什么值时,复数 z 是: ①实数; ②纯虚数; (Ⅱ)当 m=0 时,化简 .
x

18. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣2x+2(x∈R) . (1)求 f(x)的最小值; (2)求证:x>0 时,e >x ﹣2x+1. 19. (12 分)已知点 P 在曲线 y=x ﹣1 上,它的横坐标为 a(a>0) ,过点 P 作曲线 y=x 的 切线. (1)求切线的方程; (2)求证:由上述切线与 y=x 所围成图形的面积 S 与 a 无关. 20. (12 分)设 an=1+ + +…+ (n∈N ) ,是否存在一次函数 g(x) ,使得 a1+a2+a3+…+an﹣ (an﹣1)对 1=g(n) 21. (12 分)设函数 n≥2 的一切自然数都成立,并试用数学归纳法证明你的结论. ,g(x)=2x +4x+c.
2 * 2 2 2 x 2

(1)试问函数 f(x)能否在 x=﹣1 时取得极值?说明理由; (2)若 a=﹣1,当 x∈时,函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,求 c 的取值范围. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜 率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>e 恒成立,求 k 的最大值.
2

河南省南阳市 2014-2015 学年高二下学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)在复平面内,复数 A.第一象限 +(1+ i) 的共轭复数对应的点位于() C.第三象限 D.第四象限
2

B.第二象限

考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简复数为 a+bi 的形式,然后判断即可. 解答: 解:复数 = ﹣2+2 i. )在第二象限. +(1+ i) =
2

+1﹣3+2

=﹣ +

复数对应点为: (﹣ ,

故选:B. 点评: 本题考查复数的基本运算,复数的几何意义,考查计算能力. 2. (5 分)用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,假设正确的 是() A.假设三内角都不大于 60 度 B. 假设三内角都大于 60 度 C. 假设三内角至多有一个大于 60 度 D.假设三内角至多有两个大于 60 度 考点: 反证法与放缩法. 专题: 常规题型. 分析: 一些正面词语的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定: “不都是”; “至多有一个”的否定:“至少有两个”;“至少有一个”的否定:“一个也没有”;“是至多有 n 个” 的否定:“至少有 n+1 个”; “任意的”的否定:“某个”;“任意两个”的否定:“某两个”;“所有的”的否定:“某些”. 解答: 解:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定:“一 个也没有”;即“三内角都大于 60 度”. 故选 B

点评: 本题考查反证法的概念, 逻辑用语, 否命题与命题的否定的概念, 逻辑词语的否定.

3. (5 分)用数学归纳法证明 时,等式左边应为() A.1 B.1+a C.1+a+a
2

(a≠1,n∈N ) ,在验证当 n=1

*

D.1+a+a +a

2

3

考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据等式的特点,即可得到结论. 解答: 证明:∵
2 3

(a≠1,n∈N ) ,

*

∴当 n=1 时,等式左边应为 1+a+a +a , 2 3 故答案为:1+a+a +a . 点评: 本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 4. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2xf′(e)+lnx,则 f′(e)= () A.1 B.﹣1 C.﹣e
﹣1

D.﹣e

考点: 导数的运算. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 首先对等式两边求导得到关于 f'(e)的等式解之. 解答: 解:由关系式 f(x)=2xf′(e)+lnx,两边求导得 f'(x)=2f'(x)+ ,令 x=e 得 f'(e)=2f'(e)+e ,所以 f'(e)=﹣e ; 故选:C. 点评: 本题考查了求导公式的运用;关键是对已知等式两边求导,得到关于 f'(x)的等 式,对 x 取 e 求值. 5. (5 分)设圆柱的表面积为 S,当圆柱体积最大时,圆柱的高为() A. B. C. D.3π
﹣1 ﹣1

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征. 专题: 综合题;空间位置关系 与距离. 2 分析: 设圆柱底面半径为 R,高为 H,则 S=2πRH+2πR ,求出 H,可得 V,利用导数求 最值,即可得出结论. 2 解答: 解:设圆柱底面半径为 R,高为 H,则 S=2πRH+2πR , ∴H= ﹣R(0<R≤ ) ,

∴V=πR H= ∴V'(R)=

2

﹣πR ,

3

当 V'(R)=0 时,有 R= 递减, ∴R=

,在(0,

)上单调递增,在(



)上单调

时,体积最大,因此 H=



故选:C. 点评: 本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,考查学生的计算能力,比较基础. 6. (5 分)若 a= A.a<c<b 考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 根据 x 的原函数为 x ,x 的原函数为 x ,sinx 的原函数为﹣cosx,分别在 0 到 2 上求出定积分的值,根据定积分的值即可得到 a,b 和 c 的大小关系. 解答: 解:a=∫ 0 x dx=
2 2 2 2 2 3 3 4

,b= B.a<b<c

,c= C.c<b<a

,则 a,b,c 大小关系是() D.c<a<b

|0 = ,b=∫0 x dx=

2

2 3

=4,

c=∫0 sinxdx=﹣cosx|0 =1﹣cos2, 因为 1<1﹣cos2<2,所以 c<a<b. 故选 D. 点评: 此题考查学生掌握积分与微分的关系,会进行定积分的运算,是一道基础题.
2

7. (5 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= x +a(a 为常数) ,直线 l 与函数 f(x) ,g(x) 的图象都相切,且 l 与函数 f(x)图象的切点的横坐标为 1,则 a 的值为() A.1 B. ﹣ C.﹣1 D.2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合 应用. 分析: 求出两个函数的导数,利用导数的几何意义,即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=lnx,g(x)= x +a, ∴f′(x)= ,g′(x)=x, ∵l 与函数 f(x)图象的切点的横坐标为 1, ∴k=f′(1)=1,又 f(1)=0, 则切线 l 的方程为 y﹣0=x﹣1,即 y=x﹣1,
2

当 x=1 时,y=1﹣1=0,即切点坐标为(1,0) , ∵切点(1,0)也在函数 g(x)上, 即 g(1 )= +a=0,解得 a=﹣ , 故选:B 点评: 本题主要考查导数的几何意义, 根据条件求出对应的切线斜率和切点坐标是解决本 题的关键,比较基础. 8. (5 分)将正奇数按照如卞规律排列,则 2015 所在的列数为()

A.15

B.16

C.17

D.18

考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 第一行有 1 个奇数,第二行有 2 个奇数,…第 n 行有 n 个奇数,每行的最后的奇数 是第 1+2+3+…+n=(1+n)×n÷2 个奇数,这个奇数是 2×(1+n)×n÷2﹣1=(1+n)×n﹣1,这 就是行数 n 和这行的最后一个奇数的关系,依照这个关系,采用试商法,看 2015 所在行的 最后一个奇数是多少,上一行的最后一个奇数是多少,推算出它所在的行和是第几个数,即 可得解. 解答: 解:依据规律,第 n 排最后一个数为 n×(n+1)﹣1, 经试商,44×45=1980, 45×46=2070, 则知道,第 44 行末数字为 1979;第 45 行最后数字是 2069; ÷2=18, 故 2015 所在的列数为 18, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是归纳推理,先找到规律,再根据规律求解. 9. (5 分)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车 的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图象可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象与图象变化. 专题: 压轴题;数形结合. 分析: 由已知中汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,汽车的行驶路 程 s 看作时间 t 的函数,我们可以根据实际分析函数值 S(路程)与自变量 t(时间)之间变 化趋势,分析四个答案即可得到结论. 解答: 解:由汽车经过启动后的加速行驶阶段, 路程随时间上升的速度越来越快, 故图象的前边部分为凹升的形状; 在汽车的匀速行驶阶段, 路程随时间上升的速度保持不变 故图象的中间部分为平升的形状; 在汽车减速行驶之后停车阶段, 路程随时间上升的速度越来越慢, 故图象的前边部分为凸升的形状; 分析四个答案中的图象, 只有 A 答案满足要求, 故选 A 点评: 从左向右看图象,如果图象是凸起上升的,表明相应的量增长速度越来越慢;如果 图象是凹陷上升的,表明相应的量增长速度越来越快;如果图象是直线上升的,表明相应的 量增长速度保持不变;如果图象是水平直线,表明相应的量保持不变,即不增长也不降低; 如果图象是凸起下降的,表明相应的量降低速度越来越快;如果图象是凹陷下降的,表明相 应的量降低速度越来越慢;如果图象是直线下降的,表明相应的量降低速度保持不变. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x(x﹣m) 在 x=2 处取得极小值,则常数 m 的值为() A.2 B. 8 C. 2 或 8 D.以上答案都不对 考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 通过对函数 f(x)求导,根据函数在 x=2 处有极值,可知 f'(2)=0,解得 m 的值, 再验证可得结论. 2 解答: 解:求导函数,可得 f′(x)=(4x﹣m) (x﹣m) , ∵在 x=2 处取得的极小值,
3

∴f′(2)=(8﹣m) (2﹣m) =0, ∴m=2 或 8, m=2 时,f′(x)≥0,在 x=2 处不取极值,舍去, 3 m=8 时,函数 f(x)=x(x﹣m) 在 x=2 处取得极小值. 故选:B. 点评: 本题考查了函数的极值问题,考查学生的计算能力,正确理解极值是关键. 11. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为() A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 构造函数 g(x)=f(x)﹣2x﹣4,利用导数研究函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2, ∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则∵函数 g(x)单调递增, ∴由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B 点评: 本题主要考查不等式的求解, 利用条件构造函数, 利用导数研究函数的单调性是解 决本题的关键. 12. (5 分)定义在 R 上的可导函数 f(x) ,且 f(x)图象连续不断,f′(x)是 f(x)的导 数,当 x≠0 时,f′(x)+ A.0 B. 1 >0,则哈数 g(x)=f(x)+ 的零点的个数() C. 2 D.0 或 2

2

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由题意可得得 >0,进而可得函数 xf(x)单调性,而函数 g ,的零点个数等价为函数 y=xf(x)+1 的零点个数,

(x)=f(x)+ =

可得 y=xf(x)+1>1,无零点 解答: 解:由 f'(x)+x f(x)>0,得
﹣1

>0,

当 x>0 时,xf'(x)+f(x)>0,即'>0,函数 xf(x)单调递增; 当 x<0 时,xf'(x)+f(x)<0,即'<0,函数 xf(x)单调递减. 又 g(x)=f(x)+ = ,函数 g(x)= 的零点个数等价为函数 y=xf

(x)+1 的零点个数. 当 x>0 时,y=xf(x)+1>1,当 x<0 时,y=xf(x)+1>1,所以函数 y=xf(x)+1 无零点, 所以函数 g(x)=f(x)+x 的零点个数为 0 个, 故选:A. 点评: 本题考查根的存在性及根的个数的判断,涉及函数的单调性,属中档题,关键是构 造函数 g(x)=xf(x)+1 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)若等差数列{an}的公差为 d,前 n 项的和为 Sn,则数列 为 等差数列,公差
﹣1

为 . 类似地, 若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为 q, 前 n 项的积为 Tn, 则数列 为等比数列,公比为 考点: 类比推理. 专题: 计算题. 分析: 仔细分析数列 可写出对应数列 为等差数列,且通项为 为等比数列的公比. 的特点,类比 .

解答: 解:因为在等差数列{an}中前 n 项的和为 Sn 的通项,且写成了 . 所以在等比数列{bn}中应研究前 n 项的积为 Tn 的开 n 方的形式. 类比可得 .其公比为

故答案为 . 点评: 本小题主要考查等差数列、 等比数列以及类比推理的思想等基础知识. 在运用类比 推理时,通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积. 14. (5 分)由曲线 y= 体的体积为 . ,直线 y=x﹣4 以及 x 轴所围成的图形绕 x 轴旋转一周所得旋转

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据题意, 这旋转一周所得旋转体的体积应该用定积分来求. 此几何体的体积可以 看作是 π ﹣ ,求出定积分的值,即求得题中的体积.

解答: 解:由曲线 y= 交点坐标为(4,0) , 则旋转体的体积为 π 故答案为: .

,直线 y=x﹣4 可得交点坐标为(8,4) ,直线 y=x﹣4 与 x 轴的 ﹣ =π?x
2



=



点评: 本题考查用定积分求简单几何体的体积, 属于基础题. 利用定积分求旋转体的体积, 求解的关键是找出被积函数和相应的积分区间,准确利用公式进行计算.
2

15. (5 分)若 f(x)=﹣ x +bln(x+2)在(﹣1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是 b≤ ﹣1. 考点: 函数单调性的性质;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 根据函数在(﹣1,+∞)上是减函数,对函数 f(x)进行求导,判断出 f′(x)<0 进而根据导函数的解析式求得 b 的范围. 解答: 解:由题意可知 f′(x)=﹣x+
2

<0,

在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立,即 b<x(x+2)在 x∈(﹣1,+∞)上恒成立, ∵f(x)=x(x+2)=x +2x 且 x∈(﹣1,+∞) ∴f(x)>﹣1 ∴要使 b<x(x+2) ,需 b≤﹣1 故答案为 b≤﹣1 点评: 本题主要考查了函数单调性的应用. 利用导函数来判断函数的单调性, 是常用的方 法.

16. (5 分)已知 g(x)=mx+2,f(x)=x ﹣

2

,若对任意的 x1∈,总存在 x2∈,使

得 g(x1)>f(x2) ,则实数 m 的取值范围是(﹣ ,1) .

考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 命题“对任意的 x1∈,总存在 x2∈,使得 g(x1)>f(x2)”?g(x)最小值>f(x)最 小值,只要 g(x)最小值>1 即可. 解答: 解:∵x∈,∴x ∈,∴f(x)=x ﹣ 当且仅当 x =
2 2 2 2

=x +

2

﹣3≥2﹣3=1,

,即 x =2 时取等号.∴f(x)最小值= 1,

命题“对任意的 x1∈,总存在 x2∈,使得 g(x1)>f(x2)”?g(x)最小 值>f(x)最小值 只要 g(x)最小值>1 即可.

当 m>0 时,g(x)=mx+2 是增函数, 对任意的 x1∈,g(x)min=g(﹣1)=2﹣m. 由题设知 2﹣m>1,解得 m<1, ∴0<m<1. 当 m<0 时,g(x)=mx+2 是减函数, 对任意的 x1∈,g(x)min=g(2)=2m+2. 由题设知 2m+2>1,解得 m>﹣ , ∴﹣ <m<0. 当 m=0 时,g(x)=2>1,成立. 综上所述,m∈(﹣ ,1) . 故答案为: (﹣ ,1) . 点评: 本题考查函数恒成立问题的应用, 对数学思维的要求比较高, 要求学生理解“存在”、 “恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有一定的探索性. 综合性强,难度大, 易出错. 三、解答题 17. (10 分)已知复数 z=(2m ﹣3m﹣2)+(m ﹣3m+2)i. (Ⅰ)当实数 m 取什么值时,复数 z 是: ①实数; ②纯虚数; (Ⅱ)当 m=0 时,化简 .
2 2

考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: (I)利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出. (II)当 m=0 时,z=﹣2+2i,再利用复数的运算法则即可得出. 2 解答: 解: (Ⅰ)①当 m ﹣3m+2=0 时,即 m=1 或 m=2 时,复数 z 为实数. ②当 时,解得 ,

即 m=﹣ 时,复数 z 为纯虚数. (Ⅱ)当 m=0 时,z=﹣2+2i, ∴ .

点评: 本题考查了复数为实数、纯虚数的充要条件、复数的运算法则,属于基础题. 18. (12 分)已知函数 f(x)=e ﹣2x+2(x∈R) . (1)求 f(x)的最小值;
x

(2)求证:x>0 时,e >x ﹣2x+1. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;导数的运算. 专题: 导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出函数的导数,求得单调区间,即可得到极小值,也为最小值; x 2 (2)构造函数 g(x)=e ﹣x +2x﹣1,通过导数求出 g(x)的单调性,即可得到证明. x x 解答: 解: (1)由 f(x)=e ﹣2x+2(x∈R) .得 f′(x)=e ﹣2, x 令 f′(x)=e ﹣2=0 得,x=ln2, 当 x>ln2 时,f′(x)>0;当 x<ln2 时,f′(x)<0, 故当 x=ln2 时,f(x)有极小值也是最小值为 f(ln2)=2(2﹣ln2) ; x (2)证明:设. (x>0) ,则 g′(x)=e ﹣2x+2, x 由(1)知 g′(x)=e ﹣2x+2 有最小值 g′(ln2)=2(2﹣ln2) , 于是对于 x>0,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在(0,+∞)上递增, 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞) ,g(x)>0, x 2 即 x>0 时,e >x ﹣2x+1. 点评: 本题考查导数的运用:求单调区间和极值、最值,同时考查不 等式的证明,注意 构造函数,运用单调性证明,属于中档题. 19. (12 分)已知点 P 在曲线 y=x ﹣1 上,它的横坐标为 a(a>0) ,过点 P 作曲线 y=x 的 切线. (1)求切线的方程; 2 (2)求证:由上述切线与 y=x 所围成图形的面积 S 与 a 无关. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;定积分在求面积中的应用. 专题: 综合题;导数的概念及应用. 分析: (1)确定 P 的坐标,设切点 Q 的坐标,利用导数的几何意义,可得切线的方程; (2)利用定积分表示面积,即可得出结论. 解答: (1)解:点 P 的坐标为(a,a ﹣1) , 2 设切点 Q 的坐标为(x,x ) , 由 kPQ= 及 y′=2x 知 =2x,
2 2 2

x

2

解得 x=a+1 或 x=a﹣1. 2 2 所以所求的切线方程为 2(a+1)x﹣y﹣(a+1) =0 或 2(a﹣1)x﹣y﹣(a﹣1) =0…(6 分) (2)证明:S= dx+ dx= .

故所围成的图形面积 S= ,此为与 a 无关的一个常数…(12 分) 点评: 本题考查定积分在求面积中的应用、 利用导数研究曲线上某点切线方程, 考查学生 的计算能力,属于中档题.

20. (12 分)设 an=1+ + +…+ (n∈N ) ,是否存在一次函数 g(x) ,使得 a1+a2+a3+…+an﹣ (an﹣1)对 1=g(n) n≥2 的一切自然数都成立,并试用数学归纳法证明你的结论.

*

考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 假设存在一次函数 g(x)=kx+b(k≠0) ,依题意可求得 k=1,b=0,故猜想:g(x) =x;然后用数学归纳法加以证明即可. 解答: 解:假设存在一次函数 g(x)=kx+b(k≠0) ,使得 a1+a2+a3+…+an﹣1=g(n) (an﹣1) 对 n≥2 的一切自然数都成立, 则当 n=2 时有,a1=g(2) (a2﹣1) ,又∵ 当 n=3 时有,a1+a2=g(3) (a3﹣1) ,又∵ 即 3k+b=3…②, 由①②可得 k=1,b=0, 所以猜想:g(x)=x,…(5 分) 下面用数学归纳法加以证明: (1)当 n=2 时,已经得到证明;…(6 分) (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N)时,结论成立,即存在 g(k)=k,使得 a1+a2+a3+…+ak﹣1=g (k) (ak﹣1)对 k≥2 的一切自然数都成立,则 当 n=k+1 时,a1+a2+a3+… +ak=(a1+a2+a3+…+ak﹣1)+ak=k(ak﹣1)+ak=(k+1)ak﹣k,…(8 分) 又∵ ∴ak=ak+1﹣ ∴ ∴当 n=k+1 时,命题成立.…(11 分) 由(1) (2)知,对一切 n, (n≥2,n∈N )有 g(n)=n,使得 a1+a2+a3+…+an﹣1=g(n) (an ﹣1)都成立.…(12 分) 点评: 本题考查数列递推关系式及数学归纳法,着重考查推理与论证能力,属于中档题.
2 *

,∴g(2)=2 即 2k+b=2…①. ,∴g(3)=3,

, , ,

21. (12 分)设函数

,g(x)=2x +4x+c.

(1)试问函数 f(x)能否在 x=﹣1 时取得极值?说明理由; (2)若 a=﹣1,当 x∈时,函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,求 c 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性; 函数的零点与方程根的关系; 函数在某点取得极值的 条件. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (1)利用反证法:根据 f(x)的解析式求出 f(x)的导函数,假设 x=﹣1 时 f(x) 取得极值,则把 x=﹣1 代入导函数,导函数值为 0 得到 a 的值,把 a 的值代入导函数中得到

导函数在 R 上为增函数,没有极值与在 x=﹣1 时 f(x)取得极值矛盾,所以得到 f(x)在 x=﹣1 时无极值; (2)把 a=﹣1 代入 f(x)确定出 f(x) ,然后令 f(x)与 g(x)相等,移项并合并得到 c 等于一个函数,设 F(x)等于这个函数,G(x)等于 c,求出 F(x)的导函数,令导函数 等于 0 求出 x 的值,利用 x 的值讨论导函数的正负得到 F(x)的单调区间,进而得到 F(x) 的极大值和极小值,函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x) 有两个公共点,根据 F(x)的极大值和极小值写出 c 的取值范围即可. 解答: 解: (1)由题意 f′(x)=x ﹣2a x﹣a, 假设在 x=﹣1 时 f(x)取得极值,则有 f′(﹣1)=1+2a﹣a=0,∴a=﹣1, 2 2 而此时,f′(x)=x +2x+1=(x+1) ≥0,函数 f(x)在 R 上为增函数,无极值. 这与 f(x)在 x=﹣1 有极值矛盾,所以 f(x)在 x=﹣1 处无极值; (2)令 f(x)=g(x) ,则有 x ﹣x ﹣3x﹣c=0,∴c= x ﹣x ﹣3x, 设 F(x)= x ﹣x ﹣3x,G(x)=c,令 F′(x)=x ﹣2x﹣3=0,解得 x1=﹣1 或 x=3. 列表如下:
3 2 2 3 2 3 2 2

由此可知:F(x)在(﹣3,﹣1) 、 (3,4)上是增函数,在(﹣1,3)上是减函数. 当 x=﹣1 时,F(x)取得极大值 F(﹣3)=F(3)=﹣9,而 . ;当 x=3 时,F(x)取得极小值

如果函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,则函数 F(x)与 G(x)有两个公共点, 所以 或 c=﹣9.

点评: 此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调区间, 会根据函数的增减性得到 函数的极值,掌握函数的零点与方程根的关系,是一道中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜 率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>e 恒成立,求 k 的最大值.
2

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 f'(x)=a+lnx+1,a+lne+1=3,由此能求出 a=1.

(Ⅱ)由 f(x)=x+xlnx,得



对任意 x>e 恒成立,由此利用构

2

造法结合导数性质能求出整数 k 的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)因为 f(x)=ax+xlnx,所以 f'(x)=a+lnx+1…(2 分) 因为函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e 处的切线斜率为 3, 所以,f'(e)=3,即 a+lne+1=3, 所以,a=1.…(4 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=x+xlnx, 所以, 即 对任意 x>e 恒成立, 对任意 x>e 恒成立.…(5 分)
2 2



,则

…(6 分)
2

令 h(x)=x﹣lnx﹣2(x>e ) ,则 所以函数 h(x)在(e ,+∞)上单调递增…(8 分) 2 2 所以 h(x)>h(e )=e ﹣4>0,可得 g'(x)>0 故函数 在(e ,+∞)上单调递增.
2 2



所以
2

…(11 分)

∴k≤g(e ) . 故整数 k 的最大值是 3.…(12 分) 点评: 本题考查实数值的求法,考查整数的最大值的求法,解题时要认真审题,注意构造 法和导数性质的合理运用.



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