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高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑


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高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑
第 1 课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能选择自然语言,图形语言, 集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集的 含义. 3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给定 集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集合的 关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等式 要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想. 【基础练习】 1. 集 合

{( x, y) 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y < 2, x, y ∈ Z }













{(0, 0), (0,1), (1, 0), (1,1), (2, 0), (2,1)} .

2.设集合 A = {x x = 2k ? 1, k ∈ Z } , B = {x x = 2k , k ∈ Z } ,则 A ∩ B = ? .
{0, 2} 3.已知集合 M = {0,1, 2} , N = {x x = 2a, a ∈ M } ,则集合 M ∩ N = _______.

4.设全集 I = {1,3,5, 7,9} , 集合 A = {1, a ? 5 ,9} ,CI A = {5, 7} , 则实数 a 的值为____8 或 2___. 【范例解析】 例 . 已 知 R 为 实 数 集 , 集 合 A = {x x 2 ? 3 x + 2 ≤ 0} . 若 B ∪ C R A = R ,

B ∩ C R A = {x 0 < x < 1 或 2 < x < 3} ,求集合 B.
分析:先化简集合 A,由 B ∪ C R A = R 可以得出 A 与 B 的关系;最后,由数形结合, 利用数轴直观地解决问题.

∴ 解:1) A = {x 1 ≤ x ≤ 2} , CR A = {x x < 1 或 x > 2} .又 B ∪ C R A = R , ∪ C R A = R , ( Q A
可得 A ? B . 而 B ∩ C R A = {x 0 < x < 1 或 2 < x < 3} ,

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∴ {x 0 < x < 1 或 2 < x < 3} ? B.

借助数轴可得 B = A ∪ {x 0 < x < 1 或 2 < x < 3} = {x 0 < x < 3} .

【反馈演练】 1.设集合 A = { ,2} , B = { ,2,3} , C = {2,3,4},则 ( A ∩ B ) U C =_________. 1 1 2 . 设

P , Q

为 两 个 非 空 实 数 集 合 , 定 义 集 合

P+Q= {a + b | a ∈ P, b ∈ Q}, 若P = {0,2,5}, Q = {1,2,6} , P+Q 中元素的个数是____8___个. 则
3.设集合 P = { x x 2 ? x ? 6 < 0} , Q = {x 2a ≤ x ≤ a + 3} . (1)若 P ∪ Q = P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P ∩ Q = ? ,求实数 a 的取值范围; (3)若 P ∩ Q = {x 0 ≤ x < 3} ,求实数 a 的值. 解: (1)由题意知: P = {x ?2 < x < 3} ,Q P ∪ Q = P ,∴ Q ? P . ①当 Q = ? 时,得 2a > a + 3 ,解得 a > 3 . ②当 Q ≠ ? 时,得 ?2 < 2a ≤ a + 3 < 3 ,解得 ?1 < a < 0 . 综上, a ∈ (?1, 0) ∪ (3, +∞) . (2)①当 Q = ? 时,得 2a > a + 3 ,解得 a > 3 ;

?2a ≤ a + 3, 3 ②当 Q ≠ ? 时,得 ? ,解得 a ≤ ?5或 ≤ a ≤ 3 . 2 ?a + 3 ≤ ?2或2a ≥ 3
3 综上, a ∈ ( ?∞, ?5] ∪ [ , +∞) . 2 (3)由 P ∩ Q = {x 0 ≤ x < 3} ,则 a = 0 .

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第 2 课 命题及逻辑联结词 【考点导读】 1. 了解命题的逆命题,否命题与逆否命题的意义;会分析四种命题的相互关系. 2. 了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能用“或”“且”“非”表述相 , , , , 关的数学内容. 3. 理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内 容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词的命 题进行否定. 【基础练习】 1.下列语句中:① x 2 ? 3 = 0 ;②你是高三的学生吗?③ 3 + 1 = 5 ;④ 5 x ? 3 > 6 . 其中,不是命题的有____①②④_____. 2.一般地若用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,则它的逆命题可表示为若 q 则 p ,否命题可表示为
若?p则?q ,逆否命题可表示为 若?q则?p ;原命题

与逆否命题互为逆否命题,否命题与逆命题互为逆否命题. 【范例解析】 例1. 写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假. (1) 平行四边形的对边相等; (2) 菱形的对角线互相垂直平分; (3) 设 a, b, c, d ∈ R ,若 a = b, c = d ,则 a + c = b + d . 分析:先将原命题改为“若 p 则 q” ,在写出其它三种命题. 解: (1) 原命题:若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题; 逆命题:若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题; 否命题:若一个四边形不是平行四边形,则其两组对边至少一组不相等;真命题; 逆否命题:若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四 边形;真命题. (2) 原命题:若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题; 逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题; 否命题:若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题; 逆否命题:若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真 命题.
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(3) 原命题:设 a, b, c, d ∈ R ,若 a = b, c = d ,则 a + c = b + d ;真命题; 逆命题:设 a, b, c, d ∈ R ,若 a + c = b + d ,则 a = b, c = d ;假命题; 否命题:设 a, b, c, d ∈ R ,若 a ≠ b 或 c ≠ d ,则 a + c ≠ b + d ;假命题; 逆否命题:设 a, b, c, d ∈ R ,若 a + c ≠ b + d ,则 a ≠ b 或 c ≠ d ;真命题. 点评:已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式,找 出其条件 p 和结论 q, 再根据四种命题的定义写出其它命题; 对于含大前提的命题, 在改写命题时大前提不要动;在写命题 p 的否定即 ?p 时,要注意对 p 中的关键词 的否定,如“且”的否定为“或”“或”的否定为“且”“都是”的否定为“不 , , 都是”等. 例 2.写出由下列各组命题构成的“p 或 q”“p 且 q”“非 p”形式的命题,并判 , , 断真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x 2 ? x + 1 = 0 的两实根的符号相同,q:方程 x 2 ? x + 1 = 0 的两实根的 绝对值相等. 分析:先写出三种形式命题,根据真值表判断真假. 解: (1)p 或 q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p 且 q:2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数,真命题; 非 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p 或 q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p 且 q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 非 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p 或 q:方程 x 2 ? x + 1 = 0 的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;

p 且 q:方程 x 2 ? x + 1 = 0 的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非 p:方程 x 2 ? x + 1 = 0 的两实根的符号不同,真命题. 点评:判断含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假,先要把结构弄清 , , 楚,确定命题构成的形式以及构成它们的命题 p,q 的真假然后根据真值表判断构 成新命题的真假. 例 3.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除; (2)p:每一个非负数的平方都是正数; (3)p:存在一个三角形,它的内角和大于 180°;
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(4)p:有的四边形没有外接圆; (5)p:某些梯形的对角线互相平分. 分析: 全称命题 ?x ∈ M , p ( x ) ” “ 的否定是 ?x ∈ M , ?p ( x ) ” 特称命题 ?x ∈ M , p ( x ) ” “ , “ 的否定是“ ?x ∈ M , ?p ( x ) ” . 解: (1) ?p :存在末位数字是 0 或 5 的整数,但它不能被 5 整除,假命题; (2) ?p :存在一个非负数的平方不是正数,真命题; (3) ?p :任意一个三角形,它的内角和都不大于 180°,真命题; (4) ?p :所有四边形都有外接圆,假命题; (5) ?p :任一梯形的对角线都不互相平分,真命题.

点评:一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:
正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 等于 不等于 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 小于 不小于 任意的 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 … …

【反馈演练】 1.命题“若 a ∈ M ,则 b ? M ”的逆否命题是__________________. 若 b ∈ M ,则 a ? M 2.已知命题 p : ?x ∈ R , sin x ≤ 1 ,则 ?p : ?x ∈ R, sin x > 1 . 3.若命题 m 的否命题 n,命题 n 的逆命题 p,则 p 是 m 的____逆否命题____.
a b 4.命题“若 a > b ,则 2 a > 2 b ? 1 ”的否命题为________________________. 若 a ≤ b ,则 2 ≤ 2 ? 1

5.分别写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假. (1)设 a, b ∈ R ,若 ab = 0 ,则 a = 0 或 b = 0 ; (2)设 a, b ∈ R ,若 a > 0, b > 0 ,则 ab > 0 . 解: (1)逆命题:设 a, b ∈ R ,若 a = 0 或 b = 0 ,则 ab = 0 ;真命题; 否命题:设 a, b ∈ R ,若 ab ≠ 0 ,则 a ≠ 0 且 b ≠ 0 ;真命题; 逆否命题:设 a, b ∈ R ,若 a ≠ 0 且 b ≠ 0 ,则 ab ≠ 0 ;真命题; (2)逆命题:设 a, b ∈ R ,若 ab > 0 ,则 a > 0, b > 0 ;假命题;
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否命题:设 a, b ∈ R ,若 a ≤ 0 或 b ≤ 0 ,则 ab ≤ 0 ;假命题; 逆否命题:设 a, b ∈ R ,若 ab ≤ 0 ,则 a ≤ 0 或 b ≤ 0 ;真命题.

第 3 课时 充分条件和必要条件 【考点导读】 1. 理解充分条件,必要条件和充要条件的意义;会判断充分条件,必要条件和充 要条件. 2. 从集合的观点理解充要条件,有以下一些结论: 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的充分条件; 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的必要条件; 若集合 P = Q ,则 P 是 Q 的充要条件. 3. 会证明简单的充要条件的命题,进一步增强逻辑思维能力. 【基础练习】 1.若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件.若 q ? p ,则 p 是 q 的必要条件.若 p ? q , 则 p 是 q 的充要条件. 2.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件” 填空. (1)已知 p : x > 2 , q : x ≥ 2 ,那么 p 是 q 的_____充分不必要___条件. (2)已知 p : 两直线平行, q : 内错角相等,那么 p 是 q 的____充要_____条件. (3)已知 p : 四边形的四条边相等, q : 四边形是正方形,那么 p 是 q 的___必要不 充分__条件. 3.若 x ∈ R ,则 x > 1 的一个必要不充分条件是 x > 0 .

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【范例解析】 例.用“充分不必要条件,必要不充分条件,充要条件和既不充分也不必要条件” 填空.

? x > 2, ? x + y > 4, (1) ? 是? 的___________________条件; ? y > 2. ? xy > 4.
(2) ( x ? 4)( x + 1) ≥ 0 是
x?4 ≥ 0 的___________________条件; x +1

(3) α = β 是 tan α = tan β 的___________________条件; (4) x + y ≠ 3 是 x ≠ 1 或 y ≠ 2 的___________________条件. 分析:从集合观点“小范围 ? 大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用.

? x > 2, ? x + y > 4, 1 解: 因为 ? (1) 结合不等式性质易得 ? , 反之不成立, x = ,y = 10 , 若 2 ? y > 2. ? xy > 4. ? x + y > 4, ? x > 2, ? x > 2, ? x + y > 4, ,但 ? 不成立,所以 ? 是? 的充分不必要条件. 有? ? xy > 4. ? y > 2. ? y > 2. ? xy > 4.
( 2 ) 因 为 ( x ? 4)( x + 1) ≥ 0 的 解 集 为 [ ?1, 4] ,
( x ? 4)( x + 1) ≥ 0 是

(3) α = β = 当

π
2

x?4 ≥ 0 的必要不充分条件. x +1

x?4 ≥ 0 的 解 集 为 ( ?1, 4] , 故 x +1

时,tan α , tan β 均不存在; tan α = tan β 时, α = 当 取

π
4

,β =

5π , 4

但 α ≠ β ,所以 α = β 是 tan α = tan β 的既不充分也不必要条件. (4)原问题等价其逆否形式,即判断“ x = 1 且 y = 2 是 x + y = 3 的____条件” ,故
x + y ≠ 3 是 x ≠ 1 或 y ≠ 2 的充分不必要条件.

点评:①判断 p 是 q 的什么条件,实际上是判断“若 p 则 q”和它的逆命题“若 q 则 p”的真假,若原命题为真,逆命题为假,则 p 为 q 的充分不必要条件;若原命 题为假,逆命题为真,则 p 为 q 的必要不充分条件;若原命题为真,逆命题为真, 则 p 为 q 的充要条件;若原命题,逆命题均为假,则 p 为 q 的既不充分也不必要 条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若 p 则 q”的真假困难时,则可以 判断它的逆否命题“若 ? q 则 ? p”的真假. 【反馈演练】 1.设集合 M = {x | 0 < x ≤ 3} , N = { x | 0 < x ≤ 2} ,则“ a ∈ M ”是“ a ∈ N ”的_ 必要不充分 条件. 充分不必要 条件. 2.已知 p:1<x<2,q:x(x-3)<0,则 p 是 q 的
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3.已知条件 p : A = {x ∈ R x 2 + ax + 1 ≤ 0} ,条件 q : B = {x ∈ R x 2 ? 3 x + 2 ≤ 0} .若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 解: q : B = {x ∈ R 1 ≤ x ≤ 2} ,若 ?q 是 ?p 的充分不必要条件,则 A ? B . 若 A = ? ,则 a 2 ? 4 < 0 ,即 ?2 < a < 2 ;

?a 2 ? 4 ≥ 0, 5 ? 若 A ≠ ? ,则 ? ?a ? a 2 ? 4 ?a + a 2 ? 4 解得 ? 2 ≤ a ≤ ?2 . ≤x≤ , ? ? 2 2 5 综上所述, ? ≤ a < 2 . 2

.
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