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1.4 生活中的优化问题举例 课件(人教A版选修2-2)



1.4 生活中的优化问题举例

一、如何判断函数的单调性?
设函数y=f(x) 在 某个区间内可导,

f(x)为增函数 f(x)为减函数

二、如何求函数的极值与最值? (1)确定定义域 (2)求导数f′(x) 求函数极值的 (3)求f′(x)=0的根 一般步骤 (4)列表(5)判断 求f(x)在闭区间[

a,b]

(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值;
(2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、

上的最值的步骤

f(b)比较,从而确定函数的最


生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效

率最高等问题,这些问题通常称为优化问题,通过
前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)

值的有力工具,本节我们运用导数,解决一些生活
中的优化问题.

1.了解导数在实际问题中的应用; 2.对给出的实际问题,如使利润最大、效率最高、 用料最省等问题,体会导数在解决实际问题中的作

用;
3.利用导数知识解决实际中的最优化问题;

(重点)
4.将实际问题转化为数学问题,建立函数模型.

(难点)

探究点1 海报版面尺寸的设计 例1 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传.现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海 报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、 右两边各空1dm,如何设计海报的尺寸,才能使四周空 白面积最小?
分析:已知版心的面积, 你能否设计出版心的高,求 出版心的宽,从而列出海报 四周的面积来?
图3.4-1

128 解 :设版心的高为xdm,则版心的宽为 dm, x 此时四周空白面积为
128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x 512 ' 求导数,得S ( x) ? 2 ? 2 x
512 (舍) 令:S ( x) ? 2 ? 2 ? 0 解 得 :x ? 16,x ? ?16 x
'

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当x ? ? 0,16?时,s' ? x ? ? 0; 当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0.

你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行吗?

因此,x=16是函数S(x)的极小值点,也是最小值 点.所以,当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四 周空白面积最小.

解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? ,即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x 128 128 此时 = =8 x 16
答:应使用版心宽为8dm,高为16dm,海报四周空白面积最小.

总结提升 1.设出变量找出函数关系式;确定出定义域;

所得结果符合问题的实际意义. 2.在实际应用题目中,若函数 f ( x )在定义域内
只有一个极值点x0 ,则不需与端点比较, f ( x0 )即

是所求的最大值或最小值.
(所说的区间也适用于开区间或无穷区间)

探究点2

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

例2 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品, 若它们的价格如下表所示,则 (1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大?

规格(L)

0.6

1.25

2

价格(元)

2.5

4.5

5.1

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料, 瓶子的制造成本是0.8pr2分,其中r是瓶子的半径 (单位:cm),已知每出售1mL的饮料,制造商可

获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为
6cm, 问题: (1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解:由于瓶子的半径为r,所以每瓶饮料的利润为:

4πr 3 y ? f (r) ? 0.2 ? ? 0.8πr 2 (0 ? r ? 6) 3 令,f '(r) ? 0.8π(r 2 ? 2r) ? 0

当r ? 2时, f '(r) ? 0.
当r ? (0, 2)时, f '(r) ? 0;
当r ? (2,6) 时, f '(r) ? 0.
r
f '(r) f (r)

(0,2)

2
0

(2,6]

减函数↘

+
增函数↗

-1.07p

因此,当r>2时,f′(r)>0,它表示f(r)单调递增, 即半径越大,利润越高; 当r<2时,f′(r)<0,它表示f(r)单调递减,即半 径越大,利润越低. Ⅰ.半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,表示此 种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本,此时利润 是负值; Ⅱ.半径为6cm时,利润最大.

y
从图中,你 还能看出什 么吗?

r 2 f (r ) ? 0.8π( ? r ) 3

3

o

2

3

r

当0<r<3时,利润为负值;当r=3时,利润为零;
当r>3时,利润为正值,并随着瓶子半径的增大利

润也相应增大.

例3 磁盘的最大存储量问题

计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的
圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道

是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇区是指被圆心角
分割所成的扇形区域.磁道上的定长弧可作为基本

存储单元,根据其磁化与否可分别
记录数据0或1,这个基本单元

R

通常称为比特(bit).

r

为了保障磁盘的分辨率,磁道之间的宽度必须大于m,

每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索
便利,磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.

问题:现有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径
介于r与R之间的环形区域.

⑴是不是r越小,磁盘的存储量越大?
⑵r为多少时,磁盘具有最大存储量

R

(最外面的磁道不存储任何信息)?

r

解:由题意知:存储量=磁道数×每磁道的比特数. 设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的 宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,
R?r 故磁道数最多可达 .由于每条磁道上的比特数 m

相同,为获得最大存储量,最内一条磁道必须装满, 即每条磁道上的比特数可达 2 pr .
n R-r 2 pr 2 p 所以磁盘总存储量 f (r) = . = r (R-r) m n mn

(1)它是一个关于r的二次函数,从函数解析式上可以 判断,不是r越小,磁盘的存储量越大. (2)为求 f (r ) =0 (r)的最大值,计算 f'
R 令 f' (r) =0 ,解得 r= 2 R 当 r< R 时,f' ;当 r> 时,f' (r )> 0 (r )< 0 . 2 2 因此当 r= R 时,磁盘具有最大存储量, 2 pR 2 此时最大存储量为 . 2mn
2p f' (r) = (R-2r) mn

解决优化问题的方法之一:通过搜集大量的统计 数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函 数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个 过程中,导数往往是一个有利的工具,其基本思路如 以下流程图所示: 建立数学模型 优化问题

用函数表示数学问题
解决数学 模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

一、选择题 1.三次函数当x=1时,有极大值4;当x=3时, 有极小值0,且函数过原点,则此函数是( B ) A.y= x 3+6 x 2+9x C.y= x 3-6 x 2-9x B.y= x 3-6 x 2+9x D.y= x 3+6 x 2-9x

解:设函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),

3

2

因为 函数图象过原点,∴d=0.f′ (x)=3ax +2bx +c,
?f′(1)=0 ? ?f′(3)=0 由题意得, ? ?f(1)=4 ?a=1 ? 解得?b=-6 ? ?c=9
3

2

?3a+2b+c=0 ? , 即?27a+6b+c=0 ? ?a+b+c=4





所以 f(x)=x -6x +9x,故应选 B.

2

2.函数f(x)=x3-3bx+3b(b>0)在(0,1)内有极小
值,则( A )

A.0<b<1
C.b>0

B.b<1
1 D.b< 2

解:f′(x)= 3x 2 -3b=3( x2-b),令f′(x)=0,
即 x2-b=0,

由已知可得b>0,∴x= b 或- b (舍去),
又0< b <1,∴0<b<1.

3.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元, 每生产一单位产品, 成本增加 100 元, 已知总收益 R 与 1 ? ?400x- x2 (0≤x≤400) 2 年产量 x 的关系是 R(x)=? , ? ?80000 (x>400) 则总利润最大时,每年生产的产品是 ( D )

A.100 C.200

B.150 D.300

解:由题意,总成本为:C=20000+100x,所以总利 x2 ? ?300x- -20000 0≤x≤400 2 润为 P=R-C=? ? ?60000-100x x>400
? ?300-x P′=? ? ?-100



0≤x≤400 x>400

,令 P′=0,当 0≤x

≤400 时,得 x=300;当 x>400 时,P′<0 恒成立,易知 当 x=300 时,总利润最大.

4.设底为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么 其表面积最小时,底面边长为 A. V C. 4V 3 3 B. 2V D.2 V 3 3 ( C )

1 2 解:选 C 设底面边长为 x,侧棱长为 l,则 V= x · 2 sin60°·l, 4V 2 所以 l= , 所以 S = 2S + 3S = x · sin60°+3· x· l 表 底 侧 2 3x 3 2 4 3V = x+ . 2 x 4 3V 3 3 所以 S 表′= 3x- 2 =0.∴x =4V,即 x= 4V. x 又当 x∈(0, 4V)时 S 表′<0,x∈( 4V,V)时,S 表′>0, 所以当 x= 4V时,表面积最小. 3 3 3

二、填空题
5.面积为S 的一切矩形中,其周长最小的
以 S为边长的正方形





S 解:设矩形的长为 x,则宽为 , x S S 其周长 l=2x+2 x (0<x<S),l′=2(1- 2), x 令 l′=0 得 x= S,此时宽为 S, 当 0<x< S时,l′<0,当 S<x<S 时,l′>0. 所以当 x= S时,l 取极小值,这个极小值就是最小值.

6.在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等 的正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无

盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容
积最大?最大容积是多少?

解:设箱高为xcm,则箱底边长为(60-2x)cm,则得 箱子容积V是x的函数,

V(x)=(60-2x)2·x(0<x<30)
=4x3-240x2+3600x. 所以V′(x)=12x2-480x+3600, 令V′(x)=0,得x=10,或x=30(舍去) 当0<x<10时,V′(x)>0,

当10<x<30时,V′(x)<0.
所以当x=10时,V(x)取极大值,这个极大值就是 V(x)的最大值V(10)=16000(cm3)

答:当箱子的高为10cm,底面边长为40cm时,

箱子的容积最大,最大容积为16000cm3.
[点评] 在解决实际应用问题中,如果函数在

区间内只有一个极值点,那么只需根据实际意义
判定是最大值还是最小值.不必再与端点的函数

值进行比较.

1.解决优化问题的基本思路: 优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

2.导数在实际生活中的应用方向:主要是解决有关

函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个
方面:

(1)与几何有关的最值问题;
(2)与物理学有关的最值问题;

(3)与利润及其成本有关的最值问题;
(4)效率最值问题.

3.解决优化问题的方法: 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系, 建立适当的函数关系,并确定函数的定义域,通 过创造在闭区间内求函数取值的情境,即核心问 题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数 的性质,提出优化方案,使问题得以解决,在这

个过程中,导数是一个有力的工具.

卓越的人一大优点是:在不利与艰难的遭 遇里百折不挠. ——贝多芬



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