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1.1.2余弦定理



1.1.2余弦定理

在?ABC中,已知b=20,A=60°,

(1) b=20,A=60°,a=20√3 ,求B;

(2) b=20,A=60°,a=15,求B. C

思考: 当b=20,A=60°,a=?时, b
有1解、2解、无解. A 60° B

(1

) b=20,A=60°,a=20√3
b sinA 1 sinB= = 2 , a B=30°或150°,

∵ 150°+60°> 180°,
∴ B=150°应舍去.

(2) b=20,A=60°,a=15. b sinA sinB= = 2√3 , 3 a
∵ 2√3 3 > 1,

∴ 无解.

思考: 当b=20,A=60°,a=?时,求角B
有1解、2解、无解.
C

20

B B B

A

600

B

已知∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.
解: 过A作BC边上的高AD,则
A

B

AD=4sin600,CD=4cos600,
BD=3-4cos600,
D

∴ AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3-4 cos600)2
=42+32-2×3×4cos600
C

∴ AB=

13

猜想:AB? =AC? +BC? -2AC×BC×cosC 对任意三角形是否成立?

证明:在三角形ABC中,AB、BC、CA的长分别为c,a,b.

? AB ? AC ? CB ? AB ? AB ? ( AC ? CB ) ? ( AC ? CB ) ? AC ? 2 AC ? CB ? CB
2 2 2 2

? AC ? 2 AC ? CB cos(180 ? C ) ? CB
0

? b 2 ? 2ab cosC ? a 2 即c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

A C

B

y C (b cos A, b sin A) a

如图,以点A为原点,边AB所 在直线为x轴建立直角坐标系

C点的坐标为( b cos A, b sin A )
x

b
c A(0,0) B(c,0)

由两点距离公式知:
2 2

BC ? (c ? b cos A) ? (0 ? b sin A) ? BC ? a ? a ? c ? b ? 2cb cos A
2 2 2

余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其 他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。

a2=b2+c2-2bccosA
b2= a2+c2-2accosB

c2 =a2+ b2-2abcosC

余弦定理推论:

b ?c ?a cosA= 2bc 2 2 2 a ?c ?b cosB= 2ac
2 2 2

a ?b ?c cosC= 2ab
2 2

2

由a2=b2+c2-2bccosA可得
A A b

b
C

c c a
B

(1)若A为直角,则a? =b? +c? (2)若A为锐角,则a? <b? +c? (3)若A为钝角,则a? >b? +c?

利用余弦定理,可以解决以 下两类有关三角形的问题:
(1)已知两边和它们的夹角,求

第三边和其他两个角;

(2)已知三边,求三个角。

4.定理的应用
例.已知b=8,c=3,A=600求a.
解:
∵a2=b2+c2-2bccosA

=64+9-2×8×3cos600
=49

? a=7

变式练习:

1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.
2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断 此三角形的形状.

例3:在⊿ABC中,已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形 (角度精确到1°,边长精确到1cm).
解:根据余弦定理,a? =b? +c? -2bccosA =60? +34? -2×60×34× cos41°≈1676.82 所以 a≈41(cm)
?

由正弦定理得,

c sin A 34 sin 41 34 ? 0.656 sin C ? ? ? ? 0.5440. a 41 41
因为c不是三角形中最大的边,所以C是锐角,利用计算器得

C≈33°
B=180°-(A+C)=180°-(41°+33°)=106°

例4,在⊿ABC中,已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三 角形(角度精确到1′)。

解:由余弦定理的推论得:

b ? c ? a 87.8 ? 161.7 ? 134.6 cos A ? ? ? 0.5543, 2bc 2 ? 87.8 ?161.7
2 2 2 2 2 2

A≈56°20′;

c 2 ? a 2 ? b 2 134.62 ? 161.7 2 ? 87.82 cos B ? ? ? 0.8398, 2ca 2 ?134.6 ?161.7
B≈32°53′ C= 180°-(A+B)≈ 180°-( 56°20′+ 32°53′ )

=90°47′

四类解三角形问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边 和角。 (3)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他 两个角; (4)已知三边,求三个角。

必做题:等腰三角形的底边长为a,腰长 为2a,求腰上的中线长。 选做题:已知一钝角三角形的边长是三个连 续自然数,求该三角形的三边长。

(1)若三角形的三个角的比是1:2:3,最 大的边是20,则最小的边是_____.
(2)若A,B,C是⊿ABC的三个内角,则 sinA+sinB____sinC.

sin 3B (3)在?ABC中,C ? 2 B, 则 等于( ) sin B
A.b/a B.a/b C.a/c D.c/a

一、余弦定理:
二.三种证明方法的比较:
几何法:通过作高,把一般三角形转化为直角三 角形求证(化一般为特殊)
解析法:通过建立直角坐标系,把几何问题用代数的方 法解决(几何问题代数化) 向量法:通过向量的知识来证明。

作业:习题6、9



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