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2012江苏省数学竞赛《提优教程》第46讲平行与垂直题目



第6讲
以及三垂线定理.

平行与垂直

本节内容主要是关于空间两条直线、直线与平面、两个平面的平行与垂直的判定与性质

A 类例题 平面外一条直线上有两点到这个平面距离相等, 那么这条直线与这 个平面的位置关系是(
A.平行 B.相交


C.平行或相交 D.以上结果

都不对

分析:看上去平行的直线满足条件,但若直线与平面相交,则直线上在平面异侧可以各 取一个点满足到平面距离相等. 答案:D

已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平 面.给出下列的四个命题:
①若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β; ②若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β; ③若 m?α,n?β,m∥n,则 α∥β; ④若 m、n 是异面直线,m?α,m∥β,n?β,n∥α,则 α∥β. 其中真命题是 A.①和②
[来源:Z,xx,k.Com]

B.①和③

C.③和④

D.①和④

(2005 年高考·辽宁卷) 分析:本题考察的是平行与垂直的概念与性质. 答案:D

[来源:学_科_网]

在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可能有(
A.1 个 . B.2 个 C.3 个 D.4 个



解:首先令底面为直角三角形,然后从非直角的顶点作底面的垂线,在垂线上任取一点, 则这个点与底面三个顶点构成的四面体四个侧面都是直角三角形. 答案:4

情景再现

下面结论有正确的有(



(1)过空间一点作与已知直线平行的平面有且仅有一个 (2)过空间一点作与已知直线垂直的平面有且仅有一个 (3)过空间一点作与已知平面平行的直线有且仅有一条 (4)过空间一点作与已知平面垂直的直线有且仅有一条 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

已知 m,l 是直线,α,β 是平面,给出下列命题:
① 若 l 垂直于 α 内的两条相交直线,则 l⊥ α; ② 若 l 平行于 α,则 l 平行于 α 内的所有直线; ③ 若 m?α,l?β,且 l⊥ m,则 α⊥ β; ④ 若 l?β,且 l⊥ α,则 α⊥ β; ⑤ 若 m?α,l?β,且 α∥ β,则 m∥ l. 其中正确的命题的序号是________(注:把你认为正确的命题的序号填上) (1997 年高考)

直线 a∥b,直线 a∥平面 α,则直线 b 与平面 α 的位置 关系是___________.
B 类例题 如图,已知平面 α∥β∥γ,A,C∈α,B,D∈γ,异面直线 AB 和 CD 分别与 β 交于 E 和 G,连结 AD 和 BC 分别交 β 于 F,H.
AE CG (1)求证: = ; EB GD (2)判断四边形 EFGH 是哪一类四边形; (3)若 AC=BD=a,求四边形 EFGH 的周 长.

AE CG 分析:由于 AB,CD 为异面直线,要求 , 值间的关系需要经过与 AB 或 CD 共面的 EB GD 直线进行过渡,再利用平面几何知识解决问题. 解: (1)由 AB,AD 确定的平面,与平行平面 β 和 γ 的交线分别为 AE AF AF CG AE CG EF 和 BD,知 EF∥B D,∴EB=FD.同理 FG∥AC,因而FD=GD,∴EB=GD. (2)面 CBD 分别交 β,γ 于 HG 和 BD.由于 β∥γ,∴HG∥BD. 同理 EH∥AC.故 EFGH 为平行四边形. EF AF (3)由 EF∥BD,得BD=AD= AF FG DF DF .由 FG∥AC 得AC=AD= . AF+FD DF+FA

EF FG EF+FG AF+FD 又 BD=AC=a,∴ + = = =1. BD AC a AF+FD 即 EF+FG=a,故四边形 EFGH 周长为 2a. 说明:此问题利用平面几何的有关知识,辅助平面 ABD 和 ADC 是关键所在,利用线面、面 面、线线平行的互相转化这一基本思想是本题的关键.

已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形, AB∥DC,?DAB ? 90? , PA ? 底面 ABCD ,且 PA=AD=DC= AB=1,M 是 PB 的中点.证明:面 PAD⊥面 PCD;
解:证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理得:CD⊥PD. 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PAD.又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD.

1 2

平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 底面 ABCD 为菱形,且∠C1CB=∠ C1CD=∠BCD=60°.

B1

A1

C1 B

D1

A

C

D

(1)求证:C1C⊥BD; 3 (2)假定 CD=2,CC1=2,求二面角 C1-BD-C 的大小. CD (3)设CC =K,K 为何值时,A1C⊥面 C1BD.
1

证明: (1)过 C1 作 C1H⊥面 DCBA 于 H,
B1 A1

C1 B

D1

M O D

A

H C

∴H 在 CA 上,∴BD⊥面 ACC1A1,∴BD⊥CC1,

3 6 3 3 (2)∵CC1= ,∴C1H= ,CH= ,∴HO= ,∴tan∠C1OH= 2. 2 2 2 2 (3)设 CC1=1 ,则 CD=K,C1D1= 3K, CB1= 3K2+2K+1,∴CC12-CM2=C1A12-A1M2,∴K=1.

在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E、F 分别在 BB1、DD1 上,且 AE⊥A1B,AF⊥A1D.求证:A1C⊥平面 AEF
(2001 年上海春季高考) 分析:考虑线面垂直的判定定理,找到平面 AEF 内相交直 线都和 A1C 垂直. 证明:∵ CB⊥平面 A1B,∴A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B. 由 A1B⊥AE,AE ? 平面 A1B,得 A1C⊥AE.同理可证 A1C⊥AF. ∵A1C⊥AF,A1C⊥AE,∴A1C⊥平面 AEF.

情景再现

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 是棱 DD1 中点, O是 底面 ABCD 中心,N 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 ON 与 AM 所成角的大小为(
A.30° B.45°


C.90° D.不确定

如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是一直角梯形,∠ BAD= 90°,AD∥ BC, 且 PA⊥底面 ABCD. 若 AE⊥PD, E 为垂足, 求证:BE⊥PD.
(1999 年上海高考)

已知:平面 α∩平面 β=直线 a.α,β 同垂直于平面 γ, 又同平行于直线 b.
求证:(Ⅰ )a⊥ γ;(Ⅱ )b⊥ γ. (1993 年高考)
[来源:Z+xx+k.Com]

如图,圆柱的轴截面 ABCD 是正方形,点 E 在底面的圆 周上,AF⊥DE,F 是垂足.求证:AF⊥ DB.
D C

F A E
(1995 年高考)

B

D1 C1 A1 B1

C 类例题 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 BB1、CD 的中点。
D
(Ⅰ )证明 AD⊥ D1F; (Ⅱ )求 AE 与 D1F 所成的角; (Ⅲ )证明面 AED⊥ 面 A1FD1; (Ⅳ )设 AA1=2,求三棱锥 F-A1ED1 的体积 VF-A1ED1. (1997 年高考)

E F B C

A

如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°, 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.

(1)求 BN 的长; → → (2)求 cos< BA 1, CB 1>的值; (3)求证:A1B⊥C1M.

(2000 年高考·天津、江西、山西卷)

给出四个不重合的相互平行的平面,证明:存在一个正四面体,它 的四个顶点分别在这四个平面上.
分析:可对照平面几何中类似的题目找出解法: 如图,设有三条平行直线 l1,l2,l3,作一个正三角形,使其三个顶 点分别在这三条平行线上. 设 l1,l2 的距离为 h1,l2,l3 的距离为 h2,则 AD∶DB=h1∶h2.
h1 h2

A C

l1 l2 l3

D B

于是,可任作一个等边三 角形,A?B?C?,分其边 A?B?成比 h1∶h2 于点 D?,过 C?、D?的直 线 l2?,过 A?、B?作 l2?的平行线 l1?,l3?,设 l1?与 l2?的距离为 h1?. 下面只要进行相似变换,把此图形按 h1?∶h1 放缩即得. 解:设已知四个平面依次为 α1,α2,α3,α4,且 α1 与 α2 的距离为 h1,α2 与 α3 的距离为 h2,α3 与 α4 的距离为 h4.现在 α1 上任取一点 A,以 A 为一 个顶点作一个正四面体 AB?C?D?,在 AD?上取点 B?3、C?3,使 AB?3∶B?3C?3∶ C?3D?=h1∶h2∶h3;在 AC?上取点 B?2,使 AB?2∶B?2C?=h1∶h2,在 B?D?上取 点 C?2,使 B?C?2∶C?2C?=h2∶h3. 作平面 B?B?2B?3,C?C?2C?3,过 A、D?作此二平面的平行平面 α?1,α?4. 作 AH?⊥α?4 于 H?,连 D?H?,在 AH?上取 AH=h1+h2+h3,在 AD?、AC?、AB?上分别取点 D?、C?、B?,使 AD?∶AD?=AH∶AH?.AC?=AB?=AD?,即得正四面体 AB?C?D?. 显然,该正四面体经过旋转即可使其四个顶点分别在已知的四个平面上.

A' B3 C3 D' B2 C2 C' B'

情景再现

等腰三角形 A′BC 中,A′B=A′C,M∈A′B,N∈A′C, 1 MN= BC,沿 MN 将△A′MN 折起成△AMN,使二面角 A— 3 MN—BC 为 60°.求证:面 AMN⊥面 ABC.
A C N A' E M D B

如图, 四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, AB=8, AD=4 3,侧面 PAD 为等边三角形,并且与底面所成二面角 为 60°.
(Ⅰ)求四棱锥 P—ABCD 的体积; (Ⅱ)证明 PA⊥BD. (2004 年高考·甘肃贵州青海宁夏新疆卷)

如图, 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.

(1)证明:C1C⊥B D; 3 (2)假定 CD=2,CC1=2,记面 C1BD 为 α,面 CBD 为 β,求二面角 α—BD—β 的平面角 的余弦值; CD (3)当 的值为多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC1 (2000 全国理,18)

在四面体 ABCD 中,∠BDC=90?,过点 D 作平面 ABC 的垂线,垂足 S 是ΔABC 的垂心,试证:(AB+BC+CA)2≤ 6(AD2+BD2+CD2).(IMO—12—5)
习题六

下列命题正确的是(
①平行于同一条直线的两个平面平行; ③平行于同一条平面的两个平面平行; A.①④ B.②③


②垂直于同一条直线的两个平面平行; ④垂直于同一平面的两个平面平行; D.③④

C.②④

空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的对角线 AC,BD ( )
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.垂直但不一定相交

a,b 是两条异面直线,且 a⊥平面 α,b⊥平面 β,则 α, β 的关系是(
A.相交


B.平行 C.相交或平行 D.垂直

设有直线 a,b,c,d 及平面 α,β,下列条件能推出 α ∥β 的是( )
B.a ? ? ,b ? ? ,a// ? ,b// ? D.平面 ? 内有三个不共线的点到 ? 距离相等

A.a ? ? ,b ? ? ,a//b,c ? ? ,d ? ? ,c//d C.a⊥ ? ,b⊥ ? ,a//b

已知直线 l⊥平面 α,直线 m?平面 β,有下面四个命题:
[来源 :Z。 xx。 k.Com]

① α∥ β?l⊥ m;② α⊥ β?l∥ m;③ l∥ m?α⊥ β;④ l⊥ m?α∥ β. 其中正确的两个命题是( A.①与② (1995 年高考) ) C.②与④ D.①与③

B.③与④

如果直线 l、m 与平面 α,β,γ 满足:l=β∩γ,l∥α, m?α 和 m⊥γ,那么必有(
A.α⊥ γ 且 l⊥ m (1996 年高考) B.α⊥ γ 且 m∥ β


C.m∥ β 且 l⊥ m D.α∥ β 且 α⊥ γ

如图,在直四棱柱 A1B1C1D1-ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件_______时,有 A1C⊥B1D1. (注:填上你认 为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)
A1 D1 A D C
(1998 年理)

B1 C1

B

α,β 是两个不同平面,m,n 是平面 α 及 β 之外的两条 不同直线, 给出四个论断: ① m⊥ n; ② α⊥ β; ③ n⊥ β; ④ m⊥ α. 以 其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认 为正确的一个命题:__________
(1999 年高考)

求证:两条异面直线的公垂线有且只有一个.
B E C a

A D α

F

a' b
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