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2013届高考文科数学一轮复习课时作业(40)空间几何体的表面积和体积


课时作业(四十) 第 40 讲 空间几何体的表面积和体积 [时间:45 分钟 分值:100 分]
基础热身 1.有一个几何体的三视图及其尺寸如图 K40-1(单位: cm),则该几何体的表面积为 ) A.12π cm2 B.15π cm2 C.24π cm2 D.36π cm2

(

图 K40-1

图 K40-2

2.[2011· 西安三检] 图 K40-2 是一个几何体的三视图,若它的体积是 3 3,则图中 正视图所标 a=( ) 3 A.1 B. C. 3 D.2 3 2 3.一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为 π,则球的表面积为( ) 32π 4 2 A.8π B.4π C. D. π 3 3 4.已知正五棱台的上、下底面边长分别为 4 cm 和 6 cm,侧棱长为 5 cm,则它的侧面 积为________. 能力提升 5.[2011· 东北六校联考] 图 K40-3 是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都 是一个两底长分别为 2 和 4,腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的侧面积是( ) A.6π B.12π C.18π D.24π

图 K40-3

1

图 K40-4

6.[2011· 潍坊质检] 已知某个几何体的三视图如图 K40-4(正视图的弧线是半圆),根 据图中标出的数据,这个几何体的体积是( ) A.288+36π B.60π C.288+72π D.288+18π 32 7.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 π,那 3 么这个三棱柱的体积是( ) A.96 3 B.16 3 C.24 3 D.48 3 8. 如图 K40-5, 在多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形, EF∥AB, 3 EF= ,EF 与平面 ABCD 的距离为 2,则该多面体的体积为( ) 2 9 15 A. B.5 C.6 D. 2 2

图 K40-5

图 K40-6 9.如图 K40-6,半径为 2 的半球内有一内接正三棱锥 P-ABC,则此正三棱锥的侧面 积是( ) A.3 5 B.5 13 C.3 15 D.4 15 10.[2010· 福建卷] 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 K40-7 所示,则其 表面积等于________.

图 K40-7

2

图 K40-8 11.[2011· 天津卷] 一个几何体的三视图如图 K40-8 所示(单位:m),则该几何体的体 积为________ m3.

图 K40-9 12.长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V,P 是 DD1 的中点,Q 是 AB 上的动点,则四 面体 P-CDQ 的体积是________. 13.圆锥的底面半径为 3,轴截面为正三角形,则其内切球的表面积为________. 14.(10 分)已知某几何体的俯视图是如图 K40-10 所示的矩形,正视图是一个底边长 为 8,高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6,高为 4 的等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

图 K40-10 15.(13 分)圆锥底面半径为 5 cm,高为 12 cm,有一个内接圆柱,其上底圆周在圆锥的 侧面上,下底在圆锥底面内,求内接圆柱的底面半径为何值时,圆柱的表面积为最大?最大 值是多少?

图 K40-11 难点突破 16.(12 分)如图 K40-12 所示,从三棱锥 P-ABC 的顶点 P 沿着三条侧棱 PA、PB、PC 剪开成平面图形得到△P1P2P3,且 P2P1=P2P3. (1)在三棱锥 P-ABC 中,求证:PA⊥BC; (2)若 P1P2=26,P1P3=20,求三棱锥 P-ABC 的体积.

图 K40-12
3

课时作业(四十) 【基础热身】 1. [解析] 该几何体是底面半径等于 3, C 母线长等于 5 的圆锥, 其表面积 S 表=π×3×5 +π×32=24π(cm2). 2.C [解析] 由三视图可知,该几何体为一个平卧的三棱柱,结合图中的尺寸可得 V 1 = ×2×a×3=3 3, 2 ∴a= 3. 3.A [解析] 如图,设截面的半径为 r,则 πr2=π,r=1,又已知球心与截面的距离 d =1,则球的半径 R= r2+d2= 2,球的表面积 V=4πR2=8π.

4. 6 cm2 50

[解析] 侧面高为 52-1=2 6, 所以侧面积为 S=5×

?4+6?×2 6 =50 6 2

(cm2). 【能力提升】 5. [解析] 由三视图可得该几何体的直观图为圆台, B 其上底半径为 1, 下底半径为 2, 母线长为 4,所以该几何体的侧面积为 π×(1+2)×4=12π.故选 B. 6.A [解析] 依题意得,该几何体是由一个长方体与半个圆柱的组合体,其中长方体 的长、宽、高分别为 8、6、6,半个圆柱相应的圆柱底面半径为 3、高为 8. 1 因此该几何体的体积 V=8×6×6+ ×π×32×8=288+36π. 2 4 3 32 1 3 7. [解析] 由 πR = π, D ∴R=2, ∴正三棱柱的高 h=4, 设其底面边长为 a, × 则 3 3 3 2 a=2,∴a=4 3, 3 ∴V= ×(4 3)2×4=48 3. 4 8.D [解析] 如图所示,连接 EB,EC,AC. 1 四棱锥 E-ABCD 的体积 VE-ABCD= ×32×2=6. 3 由于 AB=2EF,EF∥AB,所以 S△EAB=2S△BEF. 1 1 3 ∴VF-BEC=VC-EFB= VC-ABE= VE-ABC= , 2 2 2 3 15 ∴VEF-ABCD=VE-ABCD+VF-BEC=6+ = . 2 2

9.C [解答] 设球心为 O,连接 PO、AO、BO. 因为 P-ABC 是正三棱锥,所以 PO⊥底面 ABC,且 PO=AO=2,所以 PA=2 2.作 PD ⊥AB 于 D,则 D 为 AB 的中点.连接 OD.

4

△AOB 中,∠AOB=120° ,AO=BO=2, 所以 AB=2 3,DO=1. 在 Rt△POD 中,得 PD= 5, 1 3 所以棱锥的侧面积为 3× · PD= ×2 3× 5=3 15.故选 C. AB· 2 2 10.6+2 3 [解析] 由正视图可知,该三棱柱是底面边长为 2,侧棱长为 1 的正三棱 柱, 3 其表面积为 2× ×4+3×2×1=6+2 3. 4 11.4 [解析] 根据三视图还原成直观图,可以看出,其是由两个形状一样的,底面长 和宽都为 1,高为 2 的长方体叠加而成,故其体积 V=2×1×1+1×1×2=4. 1 12. V [解析] 设长方体的长、宽、高分别为 12 AB=a,BC=b,AA1=c,则有 V=abc. 1 1 1 由题意知 PD= c,S△CDQ= · AD= ab, CD· 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴VP-CDQ= S△CDQ· PD= × ab× c= abc= V. 3 3 2 2 12 12 13.4π [解析] 如图,球心为 O,圆锥底面圆心为 O1,OO1 为球半径,AO1 为圆锥底 3 面圆半径,∠O1AO=30° ,OO1= AO1=1,所以球的表面积为 4π. 3

14.[解答] 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为 4,顶点在底面的射影是矩形 中心的四棱锥. 1 (1)V= ×(8×6)×4=64. 3 (2)该四棱锥有两个侧面 PAD、PBC 是全等的等腰三角形,且 BC 边上的高为 h1 = 8 42+?2?2=4 2,另两个侧面 PAB、PCD 也是全等的等腰三角形,AB 边上的高为 h2= ? ? 6 42+?2?2=5, ? ? 1 1 因此侧面积 S=2?2×6×4 2+2×8×5?=40+24 2. ? ? 15.[解答] 作圆锥的轴截面,它也是内接圆柱的轴截面,设内接圆柱的半径为 x,内接 圆柱的高为 h,则有 12-h 12 = , x 5 12 ∴h=12- x, 5 因此内接圆柱的表面积是 x 的函数, 12 S 圆柱侧=2πxh=2πx?12- 5 x?(0<x<5),S 底=πx2, ? ? 12 ? 7 7 10π 7x 10π 360 ∴S 圆柱全=2πx?12- 5 x?+2πx2=2πx?12-5x?= · ?12-5x?≤ ×62= π(cm2). ? ? ? 7 5? ? 7 7 7x 7 30 当且仅当 =12- x,即 x= 时,等号成立. 5 5 7 30 360 因此,当内接圆柱的底面半径为 cm 时,内接圆柱的表面积最大,最大表面积是 π 7 7
5

cm2. 【难点突破】 16. [解答] (1)证明: 由题设知 A、 C 分别是 P1P3, 1P2, 2P3 的中点, P2P1=P2P3, B、 P P 且 从而 PB=PC,AB=AC. 取 BC 的中点 D,连接 AD、PD, 则 AD⊥BC,PD⊥BC, ∴BC⊥面 PAD,故 PA⊥BC. 1 (2)由题设有 AB=AC= P1P2=13, 2 PA=P1A=BC=10, PB=PC=P1B=13, ∴AD=PD= AB2-BD2=12. 在等腰三角形 DPA 中, 1 底边 PA 上的高 h= AD2-?2PA?2= 119, ? ? 1 ∴S△DPA= PA· h=5 119. 2 又 BC⊥面 PAD, ∴VP-ABC=VB-PDA+VC-PDA 1 1 = BD·△DPA+ DC·△PDA S S 3 3 1 1 50 = BC·△PDA= ×10×5 119= S 119. 3 3 3

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