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弘德中学第二次月考数学



商河弘德中学 2014—2015 学年度第一学期第二次月考

数学试题

2014 年 10 月

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的). 1. 2 ? 1 与 2 ? 1 的等比中项是 A.1 B. ?1 C. ?1 D.

/>1 2

2.在 ?ABC 中, a ? 2 3 , b ? 2 2 , B ? 45? ,则 A ? A. 30 ? B. 60 ? C. 30 ? 或 150 ? D. 60 ? 或 120 ?

3.在等差数列 {an } 中, 2(a1 ? a4 ? a7 ) ? 3(a9 ? a11 ) =24,则前 13 项之和等于 A.13 B.26 C.52 D.156

4.已知点 A(2,3)与 B (?1, 2) 在直线 ax ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则实数 a 的取值范围是 A. ?a | a ? 2? C. a | a ? 2或a ? ?6 B. ?a | a ? ?6?

?

?

D. ?a | ?6 ? a ? 2?

5. 各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,且 a2 ? 1 ? a1 , a4 ? 9 ? a3 ,则 a 4 ? a5 等于 A.16 B.27 C.36 D.-27 6. 若△ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC= A. ?

1 4

B.

1 4

C. ?

2 3

D.

2 3

7.若不等式 (a ? 2) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对任意实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 A. (?2,2] B. [?2,2] C. (2,??) D. (??,2]

* 8.已知数列{ a n }满足 (log3 an ) ? 1 ? log3 an?1 ( n ∈N )且 a 2

? a 4 ? a 6 ? 9 ,则

log1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是
3

1

A.-5

1 B.- 5

C.5

D.

1 5

9.在 ? ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,且 sinA=2sinBcosC, 则Δ ABC 的形状是 A.直角三角形 C.等腰三角形 B.等腰直角三角形 D.等边三角形

?x ? y ? 2 ? 0 ? 10.设 x,y 满足条件 ?3 x ? y ? 6 ? 0, 若目标函数z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
12,则 A.

3 2 ? 的最小值为 a b
B.

25 6

8 3

C.

11 3

D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. {an } 是等差数列, a4 = - 20, a16 = 16 ,则 a1 + a2 +…+ a20 =______________ . 12 .已知不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为( 2 , 3 ) ,则不等式 bx ? ax ? 1 ? 0 的解集为
2 2

___________________. 13.已则知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 3n ? 2 ,则 an ? ________________ 14.某船开始看见灯塔在南偏东 30 ? 方向,后来船沿南偏东 60 ? 的方向航行 45km 后,看 见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是 .

15.在直角坐标系中,若不等式组

表示一个三角形区域,则实数 k 的取

值范围是 _________



2

三、解答题:本题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 16、 (本小题满分 12 分) 已知集合

A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0

?

?



B ? x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0

?

? , A ? B , 求实数 a 的

取值范围.

17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 (1)求角 A ; (2)已知 a ?
sin(A ? B) 2c . ? cos A sin B b

7 , bc ? 6 ,求 b ? c 的值 2

18、 (本小题满分 12 分) 已知等比数列 (1)求数列

{an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

{an} 的通项公式.
1 { } ? log3 an ,求数列 bn 的前 n 项和.

(2)设

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

19、 (本小题满分 12 分)
sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . 已知在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,

(1)求证: a , b, c 成等比数列; (2)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

3

20、 (本小题满分 13 分) 如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛

AMPN ,要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN
过点 C ,已知 AB ? 3 米, AD ? 2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 DN 的长应在什么范围内? (2)当 DN 的长度为多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小值.
N
P

D

C

A

B

M

21、 (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 3n ( n ? N ) .
*

(1)证明数列 {an ? 3} 是等比数列,求出数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ; 3

(3)数列 {an } 中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在,求出一组符合条件 的项;若不存在,说明理由.

4

数学试题答案 选择题 CDBCB AAADD , 15、 (﹣1,1)
? 1 1 ?5, n ? 1 填空题 11、300 12、 ( ? ,? ),31、 an ? ? , 14、15 3 km n ?1 2 3 ? ?2 ? 3 , n ? 2

三、解答题
2 16、解: A ? {x x ? 3x ? 2 ? 0} ? {x ?2 ? x ? ?1} ……………………2 分

A ? {x x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0} ? {x ( x ? a )( x ? 3a ) ? 0} ……………………4 分
(1)若 a ? 0 ,则 B ? {x a ? x ? 3a} ,此时 A ? B 不成立;……………6 分 (2)若 a ? 0 ,则 B ? ? ,此时 A ? B 不成立;…………………………8 分 (3)若 a ? 0 ,则 B ? {x 3a ? x ? a} 若 A ? B ,则 ? …………………………10 分

?3a ? ?2 2 ? ?1 ? a ? ? ; 3 ?a ? ?1
2 3

……………………11 分

故实数 a 的取值范围是 [ ?1, ? ]

…………………………12 分

? 17.解: (1)

sin ? A ? B ? 2sin C 1 ? , 在 ?ABC 中,sin ? A ? B ? ? sin C ? 0,? cos A ? . 2 cos A sin B sin B

A ? ? 0, ? ? ,? A ?
2

?
3

.
2

.........6 分 .........8 分

(2)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A,
2

又a ? 则

7 1 , bc ? 6, cos A ? , 2 2
.........10 分 .........12 分

49 2 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ? ? b ? c ? ? 3bc ? ? b ? c ? ? 18, 4 11 解得: b ? c ? . 2

5

3 2 a2 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 18、解: (Ⅰ)设数列{ a n }的公比为 q,由 3 所以

q2 ?

1 9.

1 .……………………………………………2 分 3 1 由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? .………………………………………4 分 3 1 故数列{an}的通项式为 an= n .……………………………………………6 分 3
由条件可知 c>0,故 q ? (Ⅱ )

bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ……………………………………………10 分 n(n ? 1) ?? 2 1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) 故 bn n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 {

1 2n } 的前 n 项和为 ? ……………………………………………12 分 bn n ?1

19.解:解:(I)由已知得:
sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C , sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , sin 2 B ? sin A sin C ,

--------------------- 3 分

再由正弦定理可得: b 2 ? ac , 所以 a , b, c 成等比数列. (II)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ∴ cos B ? ------------------------------6 分

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? , 2ac 4
7 , 4

---------------------------

9分

sin C ? 1 ? cos 2 C ?

∴△ ABC 的面积 S ?

1 1 7 7 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? ? . 2 2 4 4

------------- 12 分

6

20. 解:设 DN 的长为 x(x >0) 米,则 AN =(x+2) 米,

DN DC 3(x +2) ? AM ? ? x AN AM
? S AMPN ? AN ? AM ?
2

3( x ? 2) 2 x

…………………3 分

由 S AMPN >32 得
2

3(x +2) >32 x

又 x >0 得 3x -20 x+12>0 解得: 0<x <

2 或 x >6 3

即 DN 的长的取值范围是 ? 0, 分 (2)矩形花坛的面积为:

? ?

2? ? ? ? 6,+? ? 3?

………………… 6

3(x+2) 3x 2 +12 x+12 12 y= = =3x+ +12(x>0) x x x

2

? 2 3x ?

12 +12=24 x

…………………11 分

当且仅当 3 x =

12 即 x =2 时,矩形花坛的面积最小为 24 平方米.………………13 分 x

21 解: (Ⅰ)因为 Sn ? 2an ? 3n ,所以 Sn?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1) , 则 an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 ,所以 an?1 ? 2an ? 3 , 所以数列 {an ? 3} 是等比数列,…………3 分

an?1 ? 3 ? 2, an ? 3

a1 ? S1 ? 3, a1 ? 3 ? 6 , an ? 3 ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 2n ,
7

所以 an ? 3 ? 2n ? 3 .………………5 分 (Ⅱ) bn ?

n an ? n ? 2n ? n ,…………6 分 3

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?
2 3 令 Tn? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ?

? n ? 2n ? (1 ? 2 ?
? n ? 2 n ,①

? n) ,

2Tn? ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?
①-②得, ?Tn/ ? 2 ? 22 ?

? ( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ,②

? 2n ? n ? 2n?1 ? ?2(1? 2n ) ? n ? 2n?1 ,

Tn? ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ,…………9 分
所以 Tn ? (n ? 1) ? 2
n ?1

1 ? 2 ? n(n ? 1) .…………10 分 2

(Ⅲ) 设存在 s, p, r ? N * , 且s ? p ? r, 使得 as , a p , ar 成等差数列, 则 2ap ? as ? ar , 即 2(3 ? 2 p ? 3) ? 3 ? 2s ? 3 ? 3 ? 2r ? 3 ,…………12 分 即2
p ?1

? 2s ? 2r , 2 p ? s ?1 ? 1 ? 2r ? s ,因为 2 p ? s ?1 为偶数, 1 ? 2r ? s 为奇数, ? 2s ? 2r 不成立,故不存在满足条件的三项.…… 14 分

所以 2

p ?1

8



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