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2012高考数学(文)精英备考专题讲座第四讲概率与统计:第三节概率与统计的综合应用


第三节概率与统计的综合应用
近几年高考中,概率与统计的应用题多出现在解答题中,难度以中档和中档偏易为多,难度 值在 0.5~0.8.命题形式以学生生活实践为背景材料进行考查. 考试要求: (2)理解各种统计 考试要求 (1)以大纲为准则,考查相关概率在实际问题中的应用; 方法; (3)会分析样本数据,并会求数据的特征数字(如平均数、标准差)(4)会用正确的 ; 算法求解概率统计和其他数学知识的交汇(如三角函数、框图、算法、几何等)问题.

题型一 随机抽样方法及其应用 例 1 (1)用系统抽样方法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1— 160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1—8 号,9—16 号,…,153—160 号) ,若第 16 组抽 出的号码是 126,则第 1 组用抽签方法确定的号码是 .

50 岁以上 解:Q n = 16, l = 8, m = 126,∴ p = 6. 20 易错点:式中的第几组的组号应减“1”. 易错点 变式与引申 1:⑴某单位 200 名职工的年龄分布情况 50 30 如图所示,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全 40—50 % 体职工随机按 1-200 编号,并按编号顺序平均分 为 40 组(1-5 号,6-10 号,…,196-200 号). 图 4 ? 3 ?1 若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 .若用分层抽样方法,则 40 岁以下 年龄段应抽取 人. ⑵从 2004 名学生中选取 50 名组成参观团, 若采用下面的方法选取: 先用简单随机抽样从 2004 人中剔除 4 人,剩下的 2000 人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率( )

点拨: 点拨:本题考查随机抽样的系统抽样.三种抽样方法均为等概率抽样,系统抽样是按简单随 机抽样抽取第一个样本,再按相同的间隔抽取其他样本,即抽取号码成等差数列.公式为 m = (n ? 1)l + p,(l 为间隔长, n 为组数, p 为第一个样本号 ) .
40 岁以下

A. 不全相等

B. 均不相等

C. 都相等且为 25 1002

D. 都相等且为 1 40
频率

分析样本数据,并求数据的特征数字(如平均数,标准差) 题型二 分析样本数据,并求数据的特征数字(如平均数,标准差) 组距 例 2 为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校 100 名 高三学生的视力情况,得到频率直方图如图 4 ? 3 ? 2 所示,由于 不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比数列,后 6 组 的频数成等差数列,设最大频率为 a ,视力在 4.6 到 5.0 之间的 学生数为 b ,求 a, b 的值. 0.3 0.1 点拨: 点拨 (1)此题数据是以图形给出,注意观察图中数据及变化 O 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 情况; (2)看清图中横、纵坐标的实际意义; (3)结合等差与等比 图4?3?2 数列知识,本题有一定的综合性. 解:组距=0.1,Q 4.3 ~ 4.4 的频数 = 100 × 0.1 × 0.1 = 1 , 4.4 ~ 4.5 的频数 = 3 . Q 前 4 组频数成等比数列,∴ 4.5 ~ 4.6 的频数 = 9 , 4.6 ~ 4.7 的频数 = 27 .

视力
5.0 5.1 5.2

6 × (6 ? 1) × d = 100 ? 13 = 87 , 2 ∴ d = 5 , 从 而 4.6 ~ 5.0 的 频 数 = 27 + (27 ?5) + (27 ? 10) + (27 ? 15) = 78 . ∴ a = 0.27, b = 78 .
又Q 后 6 组频数成等差数列,设公差为 d ,∴ 6 × 27 +

频率 o × 组距 × 样本容量;2 区别频数与频率,审清题意. 组距 变式与引申 2:如图 4 ? 3 ? 3(1)(2) ,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数
o 易错点: 易错点:要注意 1 频数=

分 A. xA > xB, sA > sB C. xA > xB , s A < sB B. xA < xB , s A > sB D. xA < xB , s A < sB

概率与统计和其他数学知识交汇(如三角函数、框图算法、几何等) 题型三 概率与统计和其他数学知识交汇(如三角函数、框图算法、几何等) 例 3 如下图 4 ? 3 ? 4(1) 是某公司金融危机时员工的月工资条形统计图,从左到右的各条 形表示的员工人数依次记为 A1 , A2 ,L, A10 (如 A2 表示工资为 [2500,2550) 内的人数, (单位: ) 元) . 图 4 ? 3 ? 4(2) 是统计图 4 ? 3 ? 4(1) 中工资在一定范围内员工人数的一个算法流程图。现要 统计月工资在 2600 ~ 2800 元(含 2600 元,不含 2800 元)的员工人数, 那么在流程图中 人数/人 的判断框内应填 600 ? 写的条件是( ) 550 ? A. i < 9 500 ? B. i < 8 450 ? C. i < 7 400 ? ? D. i < 6 350 点拨: (1) 点拨: 要认真读题,明 确每个变量表示 的实际意义; (2) 可以把选项逐一 放入判断框理解.
300 250 200 150 100
? ? ? ? ?

开始 输入 A1 , A2 , L , A10
s = 0, i = 4

i = i +1

是 否

s=s+A

输出 s
工资/元
2450 2500 2550 2600 2650 2700 2750 2800 2850 2900 2950

50 O

图 4 ? 3 ? 4(2) 图 4 ? 3 ? 4(1) A4 , A5 , A6 , A7 的和,所 解:现要统计的是月工资在 2600 ~ 2800 元之间的员工人数,即是要计算 以流程图中空白框应是 i < 8 ,当 i < 8 时就会返回进行叠加运算,当 i ≥ 8 将数据直接输出,不再 进行任何的返回叠加运算,此时已把数据 A4 , A5 , A6 , A7 叠加起来送到 s 中输出,故选 B. 易错点: 易错点:本题在统计中的条形图与算法流程图的交汇处命题,有一定的综合性,若不认

真读图和审题容易出错. 变式与引申 3:某班班主任为了解班上女生的月消费情况, 随机抽查了 5 名本班女生,她们近两周的消费金额如下表所示: 女 生 1 2 3 4 5

消费金 额

a1

a2

a3

a4

a5

图 4 ? 3 ? 5 是统计该 5 名女生近两周消费金额总数的程序框图,则 判断框中应填 , s= .

题型四 线性回归方程与相关系数实际应用 例 4 某地 10 户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表: 年收入 x (万元) 年饮食支出 y (万元)

2 0.9

4 1.4

4 1.6

6 2.0

6 2.1

6 1.9

7 1.8

7 2.1

8 2.2

10 2.3

(1)根据表中数据,确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系; (2)如果某家庭年收入为 9 万元,预测其年饮食支出. 点拨:通过所给数据,判断变量间的线性关系;若线性相关,用最小二乘思想求出线性回归 点拨 方程. (1)由题意知,年收入 x 为解释变量,年饮食支出 y 为预报变量,作散点图(如图所示) . 解: 从图中可以看出,样本点呈条状分布,年收入和年饮食支出有比较好的 线性相关关系,因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.
∵ x = 6 , y = 1.83 , ∑ xi2 = 406 , ∑ yi2 = 35.13 , ∑ xi yi = 117.7 ,
i =1 i =1 i =1 10 10 10

答图 4 ? 2 ? 2

$ $ $ ∴ b ≈ 0.172 , a = y ? bx = 1.83 ? 0.172 × 6 = 0.798 . y 从而得到回归直线方程为 $ = 0.172 x + 0.798 .

(2) $ = 0.172 × 9 + 0.798 = 2.346 万元. y 易错点:此题对计算能力的要求较高,若计算不慎,失分很严重. 易错点 (1) 变式与引申 4: (2011 年高考山东卷。文)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如 下表 4 2 3 5 广告费用 x(万 元) 销售额 y (万元) 49 26 39 54

? ? ? ? 根据上表可得回归方程 y = bx + a 中的 b 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销
售额为 A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元

(2)某企业上半年产品的产量与单位成本资料如下: 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73





产量(千 件) 单位成本 (元)

① 求线性回归方程; ② 指出产量每增加 1000 件时,单位成本平均变动多少? ③ 假定产量为 6000 件时,单位成本为多少元? 本节主要考查: 本节主要考查 (1)用简单随机抽样方法从总体中抽取样本,了解分层抽样和系统抽样 方法及其应用;考查在应用问题中构造抽样模型,识别模型,收集数据等能力和方法.(2)用 样本估计总体是统计学的基本思想,以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准 差为主,用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题,了解一些 基本的统计思想.(3)作两个相关变量数据的散点图,判断两个变量的线性相关性,了解最小 二乘法的思想,会求给出公式下的相关系数及线性回归方程;考查看图、作图和运算求解等 基本数学能力.(4)利用古典概型解决统计中的某些问题. 点评: 点评 (1)概率与统计中的部分内容是实施新课标后新增内容,也是高考考点之一.主要 考查随机抽样方法的应用(如例 1) ,数据的数字特征(如例 2,习题 2、3) ,概率统计与其他 知识(算法、不等式)综合应用(如例 3,习题 5)相关系数与线性回归及独立性检验(如例 4).(2)在随机抽样中,简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是等概率抽样,但这三种方 法适用范围各不相同,简单随机抽样适用于总体个数较少的,系统抽样适用于总体个数较多 的,而分层抽样适用于总体由差异比较明显的几部分组成的.(3)平均数反映了数据取值的平 均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数的波动的大小,标准差、方差越大,数据 的分散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的分散程度越小,越稳定.(4)求回归 方程时,先判定变量的相关性,若变量不线性相关,求出回归方程也毫无意义.(5)概率与统 计实际应用中,很多数据都是图、表的形式给出的,背景有考生共有的生活气息.题目篇幅长,

要善于看图、作图、理解图所传递的信息,对数据的精确处理要求有较强的计算能力.

习题 4-3
1.某中学有高一学生 400 人,高二学生 302 人,高三学生 250 人,现在按年级分层抽样方法 从所有学生中抽取一个容量为 190 人得到样本,应该剔除 人,每个年级依次应抽取 人. 2.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表:

甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5

乙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 6 4 4 6

丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4


s1,s2,s3
D.

分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A.

s3 > s1 > s2

B.

s2 > s1 > s3

C.

s1 > s2 > s3

s2 > s1 > s3
3.若 a1 , a2 , L , a20 这 20 个数据的平均数为 x, 方差为 0.20,则数据 a1 , a2 , L , a20 , x, 这 21 个数据的方差是 . 4.某中学高一(2)班甲、乙两名同学自高中以来每场数学考试成绩情况如下: 甲的得分:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107; 乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101. (Ⅰ)完成所附的茎叶图; (Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据,有什么优点? (Ⅲ)通过观察茎叶图,对两人的成绩进行比较,写出统计结论. 5.有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀统计成绩 后,得到如下列联表,已知在全部 105 人中随机抽取,抽到 1 人为优秀的概率为

2 . 7

优秀 甲班 乙班 合计 10

非优秀 30

总计

105

① 请完成上面的 2×2 列联表; ② 根据 2×2 列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”? ③ 若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取 1 人: 把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号, 先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取的序号。试求抽到 6 或 10 号的概率.

【答案】 答案】

又因 A 中数据均小于等于 10,B 中数据不小于 10,所以 xA < xB . 法二:直接法.(略) 变式与引申 3: 解: i ≤ 5, a1 + a2 + a3 + a4 + a5 .

变式与引申 4:

解 :( 1 ) B.

x=

7 , y = 42,Q y = 9.4 x + a,∴ a = 9.1 , 把 2

x = 6代入方程,可得y = 65.5 故选 B.
(2)①Q x =
4 4 12 = 3, y = 72.25,∴4x ? y = 867, ∑ xi yi = 2 × 73 + 3× 72 + 4 × 71 + 3× 73 = 865, 4 i =1

∑x
i=1

2

i

= 4 + 9 +16 + 9 = 38,

4x = 36,∴b =

2

865 ? 867 = -1, 38 ? 36



Q y = bx + a,∴a = y ? bx = 72.25+1× 3 = 75.25,
∴ y = ?x+75.25.
②Qb = ?1,∴每增加 1000 件时,单位成本减少 1 元. ③Q x = 6,∴ y = 69.25.∴单位成本为 69.25 元.

习题 4-3
1. 2,80,60,50. 2. B. 解:观察法.丙的环数集中在 8 环和 9 环,较稳定,而乙的集中在 7 环和 10 环,不稳定, 甲的 7、8、9、10 环的次数各均等,故 s2 3.

> s1 > s3 .

4 1 ,解:依题意有 [(a1 ? x)2 + (a2 ? x)2 +L+ (a20 ? x)2 ] = 0.20 解 21 20

,∴ (a1 ? x) 2 + (a2 ? x) 2 + L + (a20 ? x)2 = 4.a1 , a2 ,L , a20 = 20 x ,
∴ a1 + a2 +L+ a20 + x 20x + x = = x, 即 a1 , a2 , L , a20 , 21 21
甲 乙 0 7 145 1689 156 5 8 7 6 1 1 1 3889 368 9

x 的平均数也是 x,
1 4 2 ∴这 21 个数据的方差 s = 21[4 + (x ? x)] = 21.

4. 解: (Ⅰ)茎叶图如右图所示: (Ⅱ)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况,而且可以看出每组中的具 体数据. (Ⅲ)通过观察茎叶图,甲的成绩主要集中在 80 ~ 89 分,乙的成绩主要集中在 90 ~ 99 分,乙的成绩相对较好。


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