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2010年数学试题分类汇编浙江卷



2010 年数学试题分类汇编浙江卷
一、选择题 1、设 P={x︱x<4},Q={x︱ x 2 <4} ,则
(A) p ? Q (B) Q ? P (C) p ?

CQ
R

(D) Q ?

CP
R

π 2、设 0<x< ,则“x sin2

x<1”是“x sinx<1”的 2
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3、设 P ? {x | x ? 1}, Q ? {x | x2 ? 4}, 则 P ? Q ?
(A) {x | ?1 ? x ? 2} (C) {x |1 ? x ? ?4} (B) {x | ?3 ? x ? ?1} (D) {x | ?2 ? x ? 1}

4、已知 x 是函数 f(x)=2x+
,则 x 2 ∈( x 0 ,+ ? )

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , 1? x

(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

5、设函数的集合

? ? 1 1 P ? ? f ( x) ? log 2 ( x ? a) ? b a ? ? ,0, ,1; b ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?
平面上点的集合

? ? 1 1 Q ? ?( x, y) x ? ? ,0, ,1; y ? ?1,0,1? , 2 2 ? ?

则在同一直角坐标系中, P 中函数 f ( x ) 的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是 .. (A)4 (B)6 (C)8 (D)10

6、已知函数 f ( x) ? log1 ( x ? 1), 若 f (? ) ? 1, ? =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

二、填空题 7 、 已 知 函 数 f ? x ? 满 足 : f ?1? ?
1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? , 则 4

f ? 2010? =_____________.

8、 (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)2 (a-b) (a, b ? R, a <b)。
(I)当 a=1,b=2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点(2, f ( x ) )处的切线方程。 (II)设 x1 , x2 是 f ( x ) 的两个极值点, x3 是 f ( x ) 的一个零点,且 x3 ? x1 , x3 ? x2

9、(本小题满分 12 分), (Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分.)
已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? bx (其中常数 a,b∈R), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数. (Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.

10、某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 500 万元,七月份销售额比六
月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月 至十月份销售总额至少至少达 7000 万元,则,x 的最小值 。

三、选择题 11、 (2010 浙江理数) (6)设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是

(A)若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? (C)若 l //? , m ? ? ,则 l //m

(B)若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? (D)若 l //? , m//? ,则 l //m

12 、 ( 2010 浙 江 文 数 ) ( 8 ) 若 某 几 何 体 的 三 视 图 ( 单 位 : cm ) 如 图 所 示 , 则 此 几 何 体 的 体 积 是

352 3 cm 3 320 3 (B) cm 3 224 3 (C) cm 3 160 3 (D) cm 3
(A)

四、填空题 13 、 图 2 中 的 三 个 直 角 三 角 形 是 一 个 体 积 为 20cm2 的 几 何 体 的 三 视 图 , 则 h=

cm

14、若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是

___________ cm3 .

15、已知四棱椎 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? 8 ,则该四棱
椎的体积是 。

五、解答题 16 、 ( 本 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 矩 形 ABCD 中 , 点 E , F 分 别 在 线 段 AB, AD 上 ,
A E? E B ? 2 AF ? 3 F4 ? D. 沿 直 线 EF 将 V AEF 翻 折 成 V A' E F , 使 平 面 A' EF? 平面 BEF .

(Ⅰ)求二面角 A' ? FD ? C 的余弦值; (Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A 重合,求线 段 FM 的长。
'

六、选择题

17、某程序框图所示,若输出的 S=57,则判断框内为
(A) k>4? (C) k>6? (B) k>5? (D) k>7?

18、某程序框图如图(2)所示,
若输出的 S=57,则判断框内位 (A) k>4? (B)k>5? (C) k>6? (D)k>7?

七、填空题 19、(本题满分 l4 分)如图,一个小球从 M 处投入,通过管道自上而下落 A 或 B 或 C。已知小球从每个叉
口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到 A,B,

C,则分别设为 l,2,3 等奖. (I)已知获得 l,2,3 等奖的折扣率分别为 50%,70%,90%.记随变量 ? 为获得 k(k=1,2,3)等奖的 折扣率,求随机变量 ? 的分布列及期望 E? ; (II)若有 3 人次(投入 l 球为 l 人次)参加促销活动,记随机变量? 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次,求

P(? ? 2) .

? 20、函数 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 sin 2 x 的最小正周期是__________________ . 4

八、解答题 21、(本题满分 l4 分)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C ? ?
(I)求 sinC 的值; (Ⅱ)当 a=2, 2sinA=sinC 时,求 b 及 c 的长.

1 4

九、填空题 22、在如下数表中,已知每行、每列中的树都成等差数列,
那么,位于下表中的第 n 行第 n+1 列的数是 。

十、解答题 23、 (本题满分 14 分) 设 a1, d 为实数, 首项为 a1, 公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 S5 S6 +15=0。
(Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

十一、选择题 24、

9 2

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 25、 满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 ? x ? 0, ? ?y ? 0

( )

(A)1.

(B)

3 . 2

(C)2.

(D)3.

26、设 O 为坐标原点, F1 , F2 是双曲线

x 2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点 P,满足 a 2 b2

∠ F1 P F2 =60°,∣OP∣= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为 (A)x± 3 y=0 (C)x± 2y =0 (B) 3 x±y=0 (D) 2x ±y=0

27、设 F1 、 F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0, b>0) 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P ,满足 a 2 b2

PF2 ? F 1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 1F 2 ,且 F2 到直线 PF
(A) 3x ? 4 y ? 0 (B) 3x ? 5 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 (D) 5x ? 4 y ? 0

28、对任意复数 z ? x ? yi ? x, y ? R ? , i 为虚数单位,则下列结论正确的是
(A) z ? z ? 2 y (C) z ? z ? 2 x (B) z 2 ? x2 ? y 2 (D) z ? x ? y

十二、填空题 29、有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项
目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复. 若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目, 其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种(用数字作答).

十三、解答题

30 、( 本 题 满 分 15 分 ) 已 知 m 是 非 零 实 数 , 抛 物 线 C : y2 ? 2 ps ( p>0 )

的焦点 F 在直线 l : x ? my ?

m2 ? 0 上。 2

(I)若 m=2,求抛物线 C 的方程 (II)设直线 l 与抛物线 C 交于 A、B,△A A2 F ,△ BB1F 的重心分别为 G,H 求证:对任意非零实数 m,抛物线 C 的准线与 x 轴的焦点在以线段 GH 为直径的圆外。

以下是答案 一、选择题 1、B
解析: Q ? x ? 2<x<2 ,可知 B 正确,本题主要考察了集合的基 本运算,属容易题

?

?

2、B
解析:因为 0<x<

π ,所以 sinx<1,故 xsin2x<xsinx,结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同,可知答案 2

选 B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处理不等关系的能力,属 中档题

3、D
解析: Q ? x ? 2<x<2 ,故答案选 D,本题主要考察了集合的基本运算,属容易题

?

?

4、B
考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题

5、B
当 a=0,b=0;a=0,b=1;a=

1 1 ,b=0; a= ,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1 时满足题意,故答案选 B,本题主要考察了函数 2 2

的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数学素养有较高要求,体现了对能力的考察, 属中档题

解析: ? +1=2,故 ? =1,选 B,本题主要考察了对数函数概念及其运算性质,属容易题

6、B

二、填空题 1 7、 2
解析:取 x=1 y=0 得 f (0) ?

1 2

法一:通过计算 f (2), f (3), f (4)........ ,寻得周期为 6 法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理 f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得 f(n+2)= —f(n-1) 所以 T=6 故 f ? 2010? =f(0)=

1 2

8、证明:存在实数 x4 ,使得 x1 , x2 , x3 , x4 按某种顺序排列后的等差数列,并求 x4

9、

10、20 三、选择题 11、B
可对选项进行逐个检查。本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理,也蕴

含了对定理公理综合运用能力的考察,属中档题

12、B,
本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题

四、填空题 13、4 14、144
解析:图为一四棱台和长方体的组合体的三视图,由卷中所给公式计算得体积为 144,本题主要考察 了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算,属容易题

15、96
解析:考查棱锥体积公式 V ?

1 ? 36 ? 8 ? 96 3

五、解答题 16、解析:本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同事考查空间
想象能力和运算求解能力。

(Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A H ,因为 A E = A F 及 H 是 EF 的中点,所以 A H ? EF ,
' ' ' '

又因为平面 A EF ? 平面 BEF .
'

如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A (2,2, 2 2 ) ,C(10,8,0) , F(4,0,0) ,D(10,0,0).
?

'

故 FA =(-2,2,2 2 ) , FD =(6,0,0). 设 n =(x,y,z)为平面 A FD 的一个法向量, -2x+2y+2 2 z=0
?
'

'

?

所以 6x=0.

? 取 z ? 2 ,则 n ? (0, ?2, 2) 。
又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,

?

? ? n ?m 3 ? ? 故 cos? n, m? ? ? ? ? 。 n ?m 3
所以二面角的余弦值为

3 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x, 则 M (4 ? x,0,0) , 因为翻折后, C 与 A 重合,所以 CM ? A ' M ,
2 2 故, (6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x) ,得 x ? ? 22 ? (2 2)

21 , 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上, 所以 FM ?

21 。 4

方法二: (Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H , AF 的中点 G ,连结 A ' G, A ' H , GH 。 因为 A ' E = A ' F 及 H 是 EF 的中点, 所以 A ' H ? EF 又因为平面 A ' EF ? 平面 BEF , 所以 A ' H ? 平面 BEF , 又 AF ? 平面 BEF ,

故 A ' H ? AF ,
又因为 G 、 H 是 AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB ,

所以 GH ? AF , 于是 AF ? 面 A ' GH , 所以 ?A ' GH 为二面角 A '? DH ? C 的平面角, 在 Rt ? A ' GH 中, A ' H = 2 2 , GH =2, A ' G = 2 3 所以 cos ?A ' GH ?

3 . 3 3 。 3

故二面角 A '? DF ? C 的余弦值为 (Ⅱ)解:设 FM ? x , 因为翻折后, C 与 A ' 重合, 所以 CM ? A ' M ,

而 CM 2 ? DC 2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2 ,

A ' M 2 ? A ' H 2 ? MH 2 ? A ' H 2 ? MG 2 ? GH 2 ? (2 2)2
得x?

21 , 4 21 。 4

经检验,此时点 N 在线段 BC 上, 所以 FM ?

六、选择题 17、A,
本题主要考察了程序框图的结构,以及与数列有关的简单运算,属容易题

18、A,
本题主要考察了程序框图的结构, 以及与数列有关的简 单运算,属容易题

七、填空题 19、解析:本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考查抽
象概括、运算求解能力和应用意识。 (Ⅰ)解:由题意得ξ 的分布列为 ξ p 50% 70% 90%

3 16

3 8

7 16

则Ε ξ =

3 3 7 3 ×50%+ ×70%+ 90%= . 16 8 16 4 3 3 9 + = . 16 8 16

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,获得 1 等奖或 2 等奖的概率为

9 ) 16 9 9 1701 2 则 P(η =2)= C3 ( )2(1- )= . 16 16 4096
由题意得η ~(3,

20、π
解析: f ?x ? ? 中档题

2 ? ?? sin? 2 x ? ? ? 2 故最小正周期为π ,本题主要考察了三角恒等变换及相关公式,属 2 4? ?

八、解答题 21、解析:本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同事考查运算求解能力。 1 (Ⅰ)解:因为 cos2C=1-2sin2C= ? ,及 0<C<π 4
所以 sinC=

10 . 4
a c ? ,得 sin A sin C

(Ⅱ)解:当 a=2,2sinA=sinC 时,由正弦定理 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= ?

1 ,J 及 0<C<π 得 4

cosC=±

6 4

由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC,得 b2± 6 b-12=0 解得 所以 b= 6 或 2 6 b= 6 c=4 或 b= 6 c=4

九、填空题 22、 n 2 ? n 十、解答题 23、

十一、选择题 24、A
解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,可知答案选 A,本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组,以 及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题

25、C

解析:当直线 z ? x ? y 过点 B(1,1)时,z 最大值为 2

26、D,
本题将解析几何与三角知识相结合,主要考察了双曲线的定义、标准方程,几何图形、几何性质、渐近线 方程,以及斜三角形的解法,属中档题

27、C
解析:利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出 a 与 b 之间的等量关系,可知答案选 C, 本题主要考察三角与双曲线的相关知识点,突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察,属中档题

28、D
解析:可对选项逐个检查,A 项, z ? z ? 2 y ,故 A 错,B 项, z 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xyi ,故 B 错,C 项,

z ? z ? 2 y ,故 C 错,D 项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义,属中档题

十二、填空题 29、解析:本题主要考察了排列与组合的相关知识点,突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察,属较
难题

十三、解答题 30、



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