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张荣军 判断零点的存在性定理



作者:张荣军

2009.5.24

课题:判断函数零点的存在性 ---------根的存在性定理
学习目标:
(一)知识与技能: 2.理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法. (二)过程与方法: 自主发现、探究实践,理解函数零点存在的条件. (三)情感、态度、价值观: 1.在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意

义和价值 2.数行结合思想在探索数学问题的重要性. 2.了解方程求解方法的简单发展史..

重点难点:
重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系,掌握零点存在的判定条件. 难点:探究发现函数零点的存在性. 课题引入:在人类用智慧架设的无数从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座,虽然今
天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法,但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元 50 年—100 年编成的《九 章算术》 ,就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…

问题·探究 (一)回顾旧知, “温故知新” 。
1、函数的零点:对于函数 f (x) ,我们把使 f ( x) ? 0 的实数 x 叫做 f (x) 的零点(zero point). 2、等价关系: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图像与 x 轴有交点 ? 函

数 y ? f (x) 有零点. 巩固练习:求下列方程的根.
(1) x 2 ? 5x ? 6 ? 0 (2) f ( x) ? lg( x ? 1) (3) ln x ? 2x ? 6 ? 0

(二)提出问题, “星河探秘”(零点存在性) 。
问题 1:函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点?
怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? (1)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象,分析其图像在零点两侧如何分布?
2

1 ○ 在区间 [?2,1] 上有零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? _______,

作者:张荣军

2009.5.24

. f (?2) · f (1) _____0(<或>)
2 ○ 在区间 [ 2,4] 上有零点______; f (2) · f (4) ____0(<或>) .

(2)观察下面函数 y ? f (x) 的图象,分析其图像在零点两侧如何分布?

1 ○ 在区间 [a, b] 上______(有/无)零点; f (a ) · f (b) _____0(<或>) .

2 ○ 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>) .

3 ○ 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f (d ) _____0(<或>) .

(4)观察上面(3)的函数图象: 若函数在某区间内存在零点, 则函数在该区间上的图象是 ____ (间断/连续) ; 含零点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量, 它们各自所对应的函 数值的符号是____(相同/互异)

(三)讨论探索,发现“新大陆” 。
根的存在性定理: 如果函数 y ? f (x) 在区间 ?a, b ? 上的图像是连续不断的一条曲线, 并且有 那么, 函数 f (x) 在区间 ?a, b ? 内有零点, 即存在 c ? ?a, b ? , 使得 f (c) ? 0 , f (a) ? f (b) ? 0 , 思考与探索:观察下列函数图像,回答问题 (1) (2)

(3)

(4)

分组讨论: (1)函数具备了哪些条件,就可断言它有零点存在呢? (2)如果函数具备上述两个条件时,函数有多少零点呢? (3)如果把结论中的条件“图象连续不断”除去不要,又会怎样呢? (4)如果把结论中的条件“f(a)f(b)<0’’去掉呢? (5) 若函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点, 一定得出 f(a)· (b)<0 的结论吗? f (6)在什么样的条件下,就可确定零点的个数呢,零点的个数是惟一的呢? 小结: 1.函数在区间 ?a, b ? 有零点 ? 图像连续且 f (a) ? f (b) ? 0 (缺一不可)

作者:张荣军

2009.5.24

2.推论:若函数 y ? f (x) 在区间 ?a, b ? 上连续且严格单调,且 f (a) ? f (b) ? 0 ,则存在 ? 1 的实数 x 0 ? ?a, b ? ,st. f ( x0 ) ? 0 .

(四)观察感知, “身临其境”
例 1 求函数 f(x)=㏑ x + 2x – 6 的零点个数. 解:用计算器或计算机作出 x, f ( x) 的对应值表和图像 x
f (x)

1

- 4 分析:

2 - 1.3.6 9

3 1.098 6

4 3.386 3

5 5.609 4

6 7.791 8

7 9.945 9

8 12.079 4

9 14.197 2

变式练习:你能判断出方程

㏑ x = - x2 + 3 实数根的个数吗?

分析 1:用根的存在性定理和推论。 分析 2:数形结合,判断函数的交点。

(五)数学遨游(参阅新教材模块 1 第 91 页)
1.阿尔.花拉子米(约 780-850)给出一次方程和二次方程的一般解法。 2.1541 年,意大利数学家塔尔塔利亚给出了三次方程的一般解法。 3.意大利数学家费拉里(1522-1565)攻破了四次方程的解法。 4.数学史上, 人们希望得到一般的五次以上代数方程的根式解, 但通过长期的努力仍无结果。 1778,法国数学大师拉格朗日(Lagrange.1736-1813)自费出版了《论代数方程,证明一般 五次方程的不可解性》 ,首先提出了五次方程的根式解不存在的猜想,1824,挪威数学家阿 贝尔(Abel。1802-1829)成功的证明了五次以上方程无根式解。1828,天才数学家伽罗瓦 (1811-1832.)提出了一般代数方程能用根式求解得判定定理。 5.数学王子提出代数基本定理。

(六)反思小结,“春风再度玉门关”
1.根的存在性定理及其推论。 2.函数零点的存在性和零点个数的判断。

作者:张荣军

2009.5.24



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