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初高中数学衔接讲座及中考题



教学格言:努力以自己的教学美,开启学生学习的乐与思

初四专题研讨课 初高中知识衔接的一点看法
第二十三中学 王丽馨

主要内容

主要内容

一 初高中有哪些衔接知识点 二 关于衔接知识点命题趋势及初中教学 的一点想法 三 在对待渗透高中数学知识的中考题时 要注意哪些方面 四 中考阅卷反映出的问题和应对策略

一:初高中链接知识点
1 三维目标的衔接

2 课程内容的衔接

1、三维目标的衔接
初中 高中
“知道→了解→理解→应用” 增加了高层次的“应用”,会用 “知道→了解 归纳、演绎和类比进行推理;会 →理解”,且理 合乎逻辑地、准确地阐述自己的 思想和观点;会提出、分析和解 解层面只包括 决带有实际意义的或在相关学科、 “了解、理解、 生产和生活中的数学问题;会使 掌握、运用” 用数学语言表达问题、进行交流, 形成用数学的意识

知 识 与 技 能

1、三维目标的衔接
初中 高中

进一步培养良好的个性品 过 “认识”、 质和辩证唯物主义观点,会 程 “了解”、“感 观察、比较、分析、综合、 与 受”、“体验”、抽象和概括;会用归纳、演 “初步学会”等 绎和类比进行推理;会合乎 方 层次 逻辑地、准确地阐述自己的 思想和观点。 法

1、三维目标的衔接
初中 高中
能运用数学概念、 思想和方法,自信独 立、严谨求实辨明数 学关系,热爱祖国、 关切社会、尊重多元、 好奇求知、珍爱自然、 崇尚科学、判断价 值.形成良好的思维 品质 。

情 感 态 度 价 值 观

能热情乐观、主 动进取、合作的从事 基本的观察、分析、 实验、推理等活动

2、课程内容的衔接
(一)立方和与差的公式的衔接
(二)因式分解的衔接 (三)二次根式中对分子、分母有理化的衔接 (四)二次函数的衔接 (五)根与系数的关系(韦达定理)的衔接 (六)图像的对称、平移变换的衔接 (七)含有参数的函数、方程、不等式的衔接

(八)几何部分很多概念 (如重心、垂心、外心、内心等) 定理(如平行线分线段比例定理,射影定理, 圆幂定理等) 的衔接

二:衔接知识点的命题趋势:
新课标实施以来,不少地方的中考题渗透了高中 数学的知识,这样的试题背景新、设问巧,它们或以 高中数学知识为背景,或体现高中数学中常用的数学 思想方法和推理方法.这类试题主要考查学生的心理素 质,自学能力和快速阅读理解能力,考查解题者的观 察分析、辨别是非、类比操作、抽象概括、数学归纳 以及数学语言表达能力.由于中考的选择功能,这类试 题往往倍受命题者的青睐,成为中考题中一道亮丽的 风景.下面就以近几年来大庆及全国各地中考题为例, 说明这些试题的几个主要特征.

1.语言叙述渗透高中知识
数学语言是自然语言、符号语言、图象语言 等的有机结合.有些中考试题中的语言叙述有浓烈 的高中数学色彩.

例1(大庆.2011.12)已知下列等式: 1=

1

2

,1+2+1=
2

2

2,

1+2+3+2+1= 3 ,….根据以上等式,猜想:
对于正整数n(n≥4),

衔接知识点: 高中数学归纳法


1+2+…+(n-1)+n+(n-1)+…+2+1=

例2(绍兴市中考题)如果一个序列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 2n(n为自然数), 那么 a100

? _________
….. ? 2 ? 99, a99 ? a98 ? 2 ? 98,?, a2 ? a1 ? 2 ?1,

a 解析:100 ? a99
各式相加得
·

a100 ? a1 ? 2(1 ? 2 ?…… 99), ?

a100 ? 9902 衔接知识点: . 从而

高中数列题 累加法求数列的通项公式

2.知识背景渗透高中知识
有一些中考试题以中学数学知识为载体, 而设计直接来源于高中数学,有高中数学的背景.
x 例3(玉溪市中考题)对于正数x,规定f(x)= 1 ? x 1

1 31 1 1 1 计算f(2006 )+ f( 2005)+ f( )+ …f( )+ f( 2)+ f(1)+ 2004 3

1 3 3 3 ?1 ? 例如f(3)= f( )= 1 4 3 1? 3 4 1?

f(1)+ f(2)+ f(3)+ … + f(2004)+ f(2005)+ f(2006)

=

.

衔接知识点:高中数学倒序相加法

例4(2012.大庆.10)如图所示,将一个圆盘四等分,并把四个 区域分别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ,只有区域I为感应区域,中心角为 60°的扇形AOB绕点0转动,在其半径OA上装有带指示灯的感 应装置,当扇形AOB与区域I有重叠(原点除外)的部分时,指 示灯会发光,否则不发光,当扇形AOB任意转动时,指示灯发 光的概率为( ) A. B. C.

衔接知识点: D. 概率模块中的几何概型

考点:几何概率。
分析:1.当扇形AOB落在区域I时,指示灯会发光; 2.当扇形AOB落在区域Ⅱ的∠FOC(∠FOC=60°) 内部时,指示灯会发光; 3.当扇形AOB落在区域Ⅳ的∠DOE(∠DOE=60°) 内部时,指示灯会发光; 综上这三个部分都是发光区域,发光区域与圆的 面积之比即是指示灯发光的概率.

3.推理方式渗透高中知识
1) 加强了合情推理的考查, 合情推理主要有毛估、类比、归纳等.《课程标准》明确指出 合情推理能力在科学发现和学生发展中具有不可代替的作用. 因此,中考中设置了一些问题考查学生的合情推理能力.

例5.(2012.大庆.15)按照如图所示的程序计算, 若输入x=8.6,则m= .

衔接知识点 高中框图


例6.(济南市中考题)定义一种对正整数n的“F”运算: n ①当n为奇数时,结果为3n+5;②当n为偶数时,结果为 2 k

n (其中k是使 k 为奇数的正整数),并且运算重复进行. 2
例如,取n=26,则: F②

26

13

F① 第二次

44

F②
第三次

11

……

第一次

若n=449,则第449次“F运算”的结果是_________.

衔接知识点:高中框图


例7.(2012.大庆.17)

111 =12321,…, 已知 1 =1, 11 =121,
111111112 的计算结果中, 则依据上述规律,

2

2

2

从左向右数第12个数字是

4.

考点:规律型:数字的变化类,规律型。 分析:根据平方后的结果的规律,从左向右依次是从1开始的 连续的自然数再逐渐减小至1,且中间的自然数与底数的1的个 数相同,根据此规律写出即可得解.

衔接知识点:数学归纳法

例8.(2012.大庆.18)用八个同样大小的小立方体粘成 一个大立方体如图1,得到的几何体的三视图如图2所示, 若小明从八个小立方体中取走若干个,剩余小立方体保持 原位置不动,并使得到的新几何体的三视图仍是图2,则他 取走的小立方体最多可以是 个.

1.考点:由三视图判断几何体; 简单组合体的三视图。 2.分析:由主视图和左视图可 得第二层的每一行每一列都要 保留一个立方体, ∴取走的小立方体最多可以是 2个,即一条对角线上的2个. 故答案为2.

衔接知识点: 立体几何三视图

例9:已知S=

1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 1980 1981 1982 1991

则S的整数部分是________. 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? 解析: < 1980 ? 12 ? 165 1980 1981 1991
1 1 1 1 12 ? ? ??? ? > 1991 ? 12 ? 1991 1980 1981 1991

11 即 165 ? S ? 165 . ∴S的整数部分是165. 12
点评:直接计算很繁,若通过“放缩法”,估算出S的取值范围, 问题就迎刃而解.

衔接知识点:高中数学不等式中的放缩法

3.推理方式渗透高中知识 2)加强了“渗透型”问题的考查 所谓“渗透型”问题是指与高中数学概念相关的问题.它既能 查学生对新知识的理解接受能力,又能考查学生适应新问题、 运用新知识解决实际问题的能力.因而有利于学生在获得解答 的过程中养成探究习惯,提高自学水平和数学素养.

例10(鄂州市中考题)从A、B、C三人中选取二人当代表, 有A和B、A和C、B和C三种不同的选法,抽象成数学模型是:

3? 2 ? 3. 从3个元素中选取2个元素的组合,记作 C ? 2 ?1
2 3

一般地,从m个元素中选取n个元素的组合,

m(m ? 1)(m ? 2)…(m ? n ? 1) ? 记作C ? 根据以上分析,从6人中选取 n(n ? 1)(n ? 2)… 2 ? 1 ? 衔接知识点:
n m

4人当代表的不同选法有___________种. 高中数学

排列组合

3.推理方式渗透高中知识 3)代数推理与高中数学接轨 代数推理题在中考中历来倍受重视.近年来更是出现了 不少观点高、设问新颖的代数推理题.

衔接知识点:高中数学 复数

例11:小明是一位刻苦学习、勇于创造的同学。一天,他在解方程时, x 2 = -1,这个方程在实数范围内无解,如果 突然产生了这样的想法, 存在一个数 x=

i

2

= -1,那么方程

x

2

x =i 2 ,则 = -1可以变为

2

i2

x=

?i

,从而

?i 是方程 x 2 = -1的两个根。小明还发现i具有如下性质: 1 2 3 2 4 i =i,i =-1 i =i ? i=-i,i =1 , ,
i =i,i =-1 i =-i,i =1?????? ,
5 6 7 8

请你观察上述各式,根据你发现的规律填空:

i4n+1 =

,i4n+2 =

,i 4n+3 =

,i 4n+4 =

(n为自然数)。

b 例12:阅读下面材料,并解答下列各题:在形如 的式子中, 我们已经研究过两种情况: ①已知a和b,求N,这是乘方运算;②已知b和N,求a,这是开方运算; 现在我们研究第三种情况:已知a和N,求b,我们把这种运算叫做对数运算。 算。定义:如果 a b ? N (a>0,a≠1,N>0),则b叫做以a为底N的对数, 记为 衔接知识点:高中数学对数运算

a ?N

b ? loga N

例如:因为

=8,所以 log2 8 ? 3 ;因为

2

?3

(1)根据定义计算:①


=____;② log3 81

1,所以 log 1 ? ?3。 ? 2 8 8 log3 3=____;

log3 1
x y

=___; ④如果logx 16 ?

4 ,那么x=____。


(2)设 ∵

a x ? M , a y ? N ,则 loga M ? x, loga N ? y (a>0,a≠1,M、N均为正数),
x? y

a ?a ? a

,∴

a x? y ? M ? N ∴ loga MN ? x ? y

即 log a MN ? log a M ? log loga N b?
进一步,我们还可以得出:

这是对数运算的重要性质之一,

… loga M 1 M 2 M 3… M n =______________ ?

三.在对待渗透高中数学知识的中考题时要 注意以下两个方面: 一是试题的起点高,但落点低,即试题的设计 虽来源于高中数学,但解决的方法是初中所学的数 学知识,而不是将高中数学引入中考。

二是试题有利于区分考生能力,在今后中考中 还会出现,在复习时要加强“双基”,引导学生构建 知识网络,提高学生的应变能力和创新能力,才能 更适应新课程的中考要求.

四.中考阅卷的基本要求

规范中考数学答题书写策略 在中考总复习中发现,学生每次考试后感觉不错,可 卷子发下来却是分数不高,仔细一检查,原来有多处因答题 不规范而被扣分,这是学生普遍存在的问题, 造成严重丢分。 常见的不规范作答如:
1.字迹潦草:字迹过淡的情况不少。在计算机中阅读扫描后的考生答题卡,没 有平时纸质阅卷那么清晰易认,加上阅卷时间短、任务重,因此字迹不清楚的 试卷是不受阅卷教师欢迎的。 2.题号与作答不符 3.超出规定区域答题 4.答案分块:有的学生答案布局不合理,内容分成了几块。东一块西一块现象 容易导致阅卷教师漏阅得分点,造成得分过少的现象。

具体情况:
1.填空题

关于填空题,常见错误或不规范的答卷方式有: 字迹不工整、不清晰、出现错别字、字母与符号书写不规范 或不正确等,如字母“b”与数学“6”,角的符号“∠”没写; 等号与不等号没写就直接写数据;计算或化简没写最后结果; 列代数式没化简;漏写单位;方程的解没写“x=”; 函数表达式漏写“y=” ,因式分解不彻底等。

2.代数题
代数题要求写出详细的步骤。 (1)计算或化简常见错误:没有化简直接代入求值 正确或直接写出正确答案;化简过程错误而最后答案正 确,不得分。 (2)解方程:直接写出方程的解x= ,会被扣分, 跳步或哪步写错就扣该步分值;解答过程错误而最后答 案正确,不得分。 (3)解应用题:假设没带单位,最后没有写答,方 程(组)列出不会解,用“算术方法”或“拼凑方法”求解 往往扣分比较严重。

3.几何题

几何题也要求写出详细的步骤 (1)利用sinB、tanB求解没指出直角三角形,如在 Rt△ABC中; (2)几何证明过程因果关系说明不清楚或颠倒,条件不够; (3)分类讨论没有考虑第二种情况。

以上列出仅仅是比较常见的书写错误导致被扣分,实际 学生书写格式等存在的问题还不止这些,因此,老师在复习同 时也要抓好学生作答的规范,以下概括几点供参考:

1.抓好书写。即字写清楚,符号数字写准确。 2.抓好格式。即各类题形的书写格式要求。 3.抓好步骤。即基本的要点步骤齐全。 4.抓好简练。即文字、符号语言简明扼要。 5.抓好整洁。即卷面整洁规范。

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第二十三中学 王丽馨



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