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乐安二中2014届高二数学测试试题 2013.01.14



乐安二中 2014 届高二数学测试试题
组题:ZLF 审题:HXY 卷面满分:150 分

2013.01.14

考试时间:120 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题的四个选项中,有且只有一个符合题意)
1.设函数 f ( x ) ? a x ? b ( a ? 0 ) ,若

? 0 f ( x ) d x ? 3 f ( x 0 ) ,则 x 0 ? (
2
3



A. ? 1

B. 2

C. ? 3

D.2

2.由 y ? sin x , y ? co s x , x ? 0, x ? ? 所围成的图形面积可表示为
?
? ? ?
4

A. ? (sin x ? c o s x ) d x
0

B. ? 4 (c o s x ? sin x ) d x ?
0

?

(sin x ? c o s x ) d x

C. ? (c o s x ? sin x ) d x
0

?

?

D. ? 2 (c o s x ? sin x ) d x ?
0

??

?

(sin x ? c o s x ) d x

2

3.设 f (x)为可导函数,且满足 lim (1, f(1))处的切线的斜率是 A.2 B.-1
?
4

f (1 ? 3 x ) ? f (1 ? x ) 2x

x? 0

? ? 1 ,则曲线 y=f (x)在点

C.-

1 2

D.-2

4.函数 y ? x c o s 2 x 在 点 ( A. 4 ? x ? 1 6 y ? ? C. 4 ? x ? 8 y ? ?
2 2

, 0 ) 处的切线方程是

? 0

B. 4 ? x ? 1 6 y ? ? D. 4 ? x ? 8 y ? ?

2

? 0 ? 0
3 2 ) f (x) ? 0 ,
'

? 0

2

5.定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( 3 ? x ) ? f ( x ) , ( x ? 若 x1 ? x 2 且 x1 ? x 2 ? 3 , 则有( ) A. f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) C. f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) B. f ( x 1 ) ? f ( x 2 )

D. f ( x 1 ), f ( x 2 ) 关系不确定

6.设 f ? ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ? ( x ) 的图象画在同一个直角

坐标系中,其中一个为 f ( x ) 图像,另一个为 f ? ( x ) 图像,则不可能正确的是

7. 已知曲线方程 f ( x ) ? sin x ? 2 a x ( a ? R ) , 若对任意实数 m , 直线 ? : x ? y ? m ? 0
2

都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,则 a 的取值范围是 A. ( ? ? , ? 1) ? ( ? 1, 0 ) C. ( ? ? , ? 1) ? (0, ? ? ) B. a ? R 且 a ? 0, a ? ? 1 D. ( ? 1, 0 ) ? (0, ? ? ) [来源: ht

8.若 f ( x ) ? ? A. [ ? 1, ? ? )

1 2

x 2 ? b ln ( x ? 2 ) 在 ( - 1 , + ? ) 上是减函数,则 b 的取值范围是(
B. ( ? 1, ? ? ) C. ( ? ? , ? 1] D. ( ? ? , ? 1)



9、若函数 f ( x ) 的导数是 f ? ( x ) ? ? x ( x ? 1) ,则函数 g ( x ) ? f ( ax ? 1)( a ? 0 ) 的单调 减区间是 A
?1 ? ? ,0 ? ?a ?

B? ? ?,
?

?

1? ? ? ? 0 , ?? a?

?

C?

?2 1? , ? ?a a?

D ? ? ?,
?

?

2? ?1 ? ? ? ? , ?? ? a? ?a ?

10 . 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 R+ , 若 对 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数
f (x) ? k ?k fk ( x) ? ? ? f (x) f (x) ? k
1 x

则当函数 f ( x ) ?

, k ? 1 时,定积分 ?

2 1 4

f k ( x ) d x 的值为

A. 2 ln 2 ? 2

B. 2 ln 2 ? 1

C. 2 ln 2

D. 2 ln 2 ? 1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

11、曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是_____________ 12.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 x ,过点 P ( 2 , ? 6 ) 作曲线 y ? f ( x ) 的切线,则切线方 程
3 2

3



13.由 y ? x , y ? x 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为 14.周长为 20 c m 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 15.(A)设函数 f ( x ) ? x ? a x 的导数为 f ( x ) ? 2 x ? 1 ,则数列 ?
m /
1 f (n)

? (n ? N

?

) 的前

n 项和是
3

.
2

(B)已知函数 f ( x ) ? x ? m x ? ( m ? 6 ) x ? 1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的 取值范围是 .

三、解答题(共 6 小题,共 75 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.计算下列定积分。 (12 分) (1)
e ?1 2

?

3 ?4

| x ? 2 |d x

(2)

?

1 x ?1
1 2
2

dx

(3) ?

2

4 ? ( x ? 2 ) dx
2

1

17.(12 分)已知函数 f ( x ) ? 4 ln ( x ? 1) ? (I)当 m = 4 时,求函数的单调区间;

x ? (m ? 2) x ?

3 2

? m ,( m 为常数)

(II)若函数 y = f ( x ) 有两个极值点,求实数 m 的取值范围.

18. (12 分)已知函数 f ( x ) ? 为x? 2y ?3 ? 0。 (1)求 m 和 n 的值;

m ln x x ?1

?

n x

,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程

(2)当 k ? ( ? ? ,1) 时,是否存在 k 的值,使 f ( x ) ?

ln x x ?1

?

k x

对于 x ? 0 且 x ? 1 恒成

立,若存在,求出 k 的取值的集合,否则请说明理由。

19. 分) (12 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 (1, 2 ] 上是增函数,g ( x ) ? x ? a x 在 (0 ,1)
2

上是减函数. (1)求 f ( x ) 、 g ( x ) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 若 f ( x ) ? g ( x ) ? 2 有唯一解; (3)当 b ? ? 1 时, f ( x ) ? 2 b x ? 恒成立,求 b 的取值范围.
1 x
2

当 x ? (0 ,1] 时

20.(13 分)已知函数 f ( x ) ? ln( ax ? 1) ?

1? x 1? x

, x ? 0 ,其中 a ? 0

(1)若 f ( x ) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

21. 分) (14 如图, 已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c , 直线 l1 : x ? 2 , 直线 l 2 : y ? 3 tx
2

(其中 ? 1 ? t ? 1 ,t 为常数).若直线 l 2 与函数 f ( x ) 的图象以及直 l 1 , l 2 与函数 f ( x ) 的图象所围成的封闭图形如阴影所示. (Ⅰ)求 y ? f ( x ) ; (Ⅱ)求阴影面积 s 关于 t 的函数 y ? s (t ) 的解析式;

(Ⅲ)若过点 A (1, m ), m ? 4 可作曲线 y ? s ( t ), t ? R 的三条切线,求实数 m 的取值范 围.

乐安二中 2014 届高二数学测试试题
组题:ZLF 审题:HXY 卷面满分:150 分

2013.01.14

考试时间:120 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分,每小题的四个选项中,有且只有一个符合题意)
1.设函数 f ( x ) ? a x ? b ( a ? 0 ) ,若 ? 0 f ( x ) d x ? 3 f ( x 0 ) ,则 x 0 ? (
2
3



A. ? 1

B. 2

C. ? 3

D.2

2.由 y ? sin x , y ? co s x , x ? 0, x ? ? 所围成的图形面积可表示为
?
? ? ?
4

A. ? (sin x ? c o s x ) d x
0

B. ? 4 (c o s x ? sin x ) d x ?
0

?

(sin x ? c o s x ) d x

C. ? (c o s x ? sin x ) d x
0

?

?

D. ? 2 (c o s x ? sin x ) d x ?
0

??

?

(sin x ? c o s x ) d x

2

3. f (x)为可导函数, 设 且满足 lim 处的切线的斜率是 A.2 B.-1
?
4

f (1 ? 3 x ) ? f (1 ? x ) 2x

x? 0

? ?1, 则曲线 y=f (x)在点(1, f(1))

C.-

1 2

D.-2

4.函数 y ? x co s 2 x 在 点 ( A. 4 ? x ? 1 6 y ? ? C. 4 ? x ? 8 y ? ?
2 2

, 0 ) 处的切线方程是

? 0

B. 4 ? x ? 1 6 y ? ? D. 4 ? x ? 8 y ? ?

2

? 0 ? 0
3 2 ) f (x) ? 0 ,
'

? 0

2

5.定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( 3 ? x ) ? f ( x ) , ( x ? 若 x1 ? x 2 且 x1 ? x 2 ? 3 , 则有( ) A. f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) C. f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) B. f ( x 1 ) ? f ( x 2 )

D. f ( x 1 ), f ( x 2 ) 关系不确定

6.设 f ? ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ? ( x ) 的图象画在同一个直角

坐标系中,其中一个为 f ( x ) 图像,另一个为 f ? ( x ) 图像,则不可能正确的是

7. 已知曲线方程 f ( x ) ? sin x ? 2 a x ( a ? R ) , 若对任意实数 m , 直线 ? : x ? y ? m ? 0
2

都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,则 a 的取值范围是 A. ( ? ? , ? 1) ? ( ? 1, 0 ) C. ( ? ? , ? 1) ? (0, ? ? ) 8.若 f ( x ) ? ? A. [ ? 1, ? ? ) B. a ? R 且 a ? 0, a ? ? 1 D. ( ? 1, 0 ) ? (0, ? ? )

[来源: http://wx.jtyjy.com/]

1 2

x 2 ? b ln ( x ? 2 ) 在 ( - 1 , + ? ) 上是减函数,则 b 的取值范围是(
B. ( ? 1, ? ? ) C. ( ? ? , ? 1] D. ( ? ? , ? 1)



9、若函数 f ( x ) 的导数是 f ? ( x ) ? ? x ( x ? 1) ,则函数 g ( x ) ? f ( ax ? 1)( a ? 0 ) 的单调 减区间是 A
?1 ? ? ,0 ? ?a ?

B? ? ?,
?

?

1? ? ? ? 0 , ?? a?

?

C?

?2 1? , ? ?a a?

D ? ? ?,
?

?

2? ?1 ? ? ? ? , ?? ? a? ?a ?

10 . 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 R+ , 若 对 给 定 的 正 数 k , 定 义 函 数
f (x) ? k ?k fk ( x) ? ? ? f (x) f (x) ? k

则当函数 f ( x ) ?

1 x

, k ? 1 时,定积分 ?

2 1 4

f k ( x ) d x 的值为

A. 2 ln 2 ? 2

B. 2 ln 2 ? 1

C. 2 ln 2

D. 2 ln 2 ? 1

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、曲线 y
? ln ( 2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是_____________

12.已知函数 f ( x ) ? x ? 3 x ,过点 P ( 2 , ? 6 ) 作曲线 y ? f ( x ) 的切线,则切线方 程
3 2

3



13.由 y ? x , y ? x 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为 14.周长为 20 c m 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 15.(A)设函数 f ( x ) ? x ? a x 的导数为 f ( x ) ? 2 x ? 1 ,则数列 ?
m /
1 f (n)

? (n ? N

?

) 的前

n 项和是
3

.
2

(B)已知函数 f ( x ) ? x ? m x ? ( m ? 6 ) x ? 1 既存在极大值又存在极小值,则实数 m 的 取值范围是 .

三、解答题(共 6 小题,共 75 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.计算下列定积分。 (12 分) (1)
e ?1 2

?

3 ?4

| x ? 2 |d x

(2)

?

1 x ?1
1 2
2

dx

(3) ?

2

4 ? ( x ? 2 ) dx
2

1

17.(12 分)已知函数

f ( x ) ? 4 ln ( x ? 1) ?

x ? (m ? 2) x ?

3 2

? m ,( m 为常数)

(I)当 m = 4 时,求函数的单调区间; (II)若函数 y = f ( x ) 有两个极值点,求实 数 m 的取值范围. 17. 解:依题意,函数的定义域为(1,+∞). (Ⅰ) 当 m=4 时, f ( x ) ? 4 ln ( x ? 1) ?
f ?( x ) =

1 2

x ? 6x ?
2

5 2

.

4 x ?1

? x?6=

x -7x+10 (x-2)(x-5) = . x-1 x-1

2

令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 x ? 5, 或 x ? 2 .令 f ? ( x ) ? 0 , 解得 2 ? x ? 5 . 可知函数 f(x)的单调递增区间为(1,2)和(5,+∞) ,单调递减区间为 ? 2 , 5 ? (Ⅱ) f ? ( x ) = 4 x -(m+3)x+m+6 +x-(m+2)= . ………………………8 分 x-1 x-1
2

若函数 y=f (x)有两个极值点, 则

? ? ? ? ( m ? 3) 2 ? 4 ( m ? 6 ) ? 0; ? , ?1 ? ( m ? 3) ? m ? 6 ? 0; ?m ?3 ? ? 1. ? 2
? n x

解得 m>3.

18. (12 分)已知函数 f ( x ) ?

m ln x x ?1

,曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程

为x? 2y ?3 ? 0。 (1)求 m 和 n 的值; (2)当 k ? ( ? ? ,1) 时,是否存在 k 的值,使
f (x) ? ln x x ?1 ? k x

对于 x ? 0 且 x ? 1 恒成立,若存在,求出 k 的取值的集合,否则请说

明理由。

19. 分) (12 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 (1, 2 ] 上是增函数,g ( x ) ? x ? a x 在 (0 ,1)
2

上是减函数. (1)求 f ( x ) 、 g ( x ) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 (3)当 b ? ? 1 时,若 f ( x ) ? 2 b x ? f ( x ) ? g ( x ) ? 2 有唯一解; 恒成立,求 b 的取值范围.
1 x
2

当 x ? ( 0 ,1] 时

19. (1)

f ( x ) ? x ? 2 ln x , g ( x ) ? x ? 2
2

x

.

(2)略 (3) ? 1 ? b ? 1
20.(13 分)已知函数 f ( x ) ? ln( ax ? 1) ?
1? x 1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0

(1)若 f ( x ) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; (3)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。
f '( x ) ? a ax ? 1 ? 2 (1 ? x )
2

(2)求 f ( x ) 的单调区间;

?

ax ? a ? 2
2

20.解(Ⅰ)

( a x ? 1)(1 ? x )
2

2

,

1 ∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0, 即 a ? ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1 . ……4′

f '( x ) ?

ax ? a ? 2
2

(Ⅱ)

( a x ? 1)(1 ? x )

2

,

∵ x ? 0, a ? 0,

∴ ax ? 1 ? 0.

①当 a ? 2 时,在区间 (0, ? ? ) 上 , f '( x ) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0 , ? ? ).
f '( x ) ? 0 解 得 x ? 2?a a 2-a a 2-a a ,由 f '( x ) ? 0 解 得 x ? 2?a a

②当 0 ? a ? 2 时,由

,

f ( x )的 单 调 减 区 间 为 ( 0 ,

), 单 调 增 区 间 为 (

, ?) . ?



…9′

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x )的 最 小 值 为 f (0 ) ? 1;
x ? 2?a a

当 0 ? a ? 2 时 , 由 ( Ⅱ ) ② 知 , f (x) 在

处取得最小值

f(

2?a a

) ? f (0 ) ? 1,

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [ 2, ? ? ).
2

……………13′

21. 分) (14 如图, 已知二次函数 f ( x ) ? a x ? b x ? c , 直线 l1 : x ? 2 , 直线 l 2 : y ? 3 tx
f ( 其 中 ? 1 ? t ? 1 , t 为 常 数 ) . 若 直 线 l2与 函 数 ( x) 的 图 象 以 及
直线 l 1 , l 2 与 函 数 ( x ) 的图象所围成的封闭图形如阴影所示. f

(Ⅰ)求 y ? f ( x ) ; (Ⅱ)求阴影面积 s 关于 t 的函数 y ? s (t ) 的解析式; (Ⅲ)若 过点 A (1, m ), m ? 4 可作曲线 y ? s ( t ), t ? R 的三条切线,求实数 m 的取值范围. 21. 解:解: (I)由图可知二次函数的图象过点(0,0)(1,0) , 则 f ( x ) ? ax ( x ? 1) ,又因为图象过点(2,6) ∴6=2a ∴a=3
2 ∴函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x ) ? 3 x ( x ? 1) ? 3 x ? 3 x

………3 分

(Ⅱ)由 ?

? y ? 3x 2 ? 3x ? y ? 3 tx

得 x ? (1 ? t ) x ? 0 ,? x 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? t ,
2

∵ ? 1 ? t ? 1 ,∴直线 l 2 与 f ? x ? 的图象的交点 横坐标分别为 0,1+t , …………5 分

由定积分的几何意义知: s ( t ) ?
?[ 3 (1 ? t ) 2
3

?

1? t

[ 3 tx ? ( 3 x

2

? 3 x )] dx ?
2

0

?

2

1? t

[( 3 x

2

? 3 x ) ? 3 tx ] dx

t ?1

x ? x ]
2 3 0

? [x ?
3

3 (1 ? t ) 2

x ]
t ?1

2

? (1 ? t ) ? 2 ? 6 t , ? 1 ? t ? 1 ………8 分

(III)∵曲线方程为 s ( t ) ? (1 ? t ) ? 2 ? 6 t , t ? R ,∴ s ? ( t ) ? 3 (1 ? t ) ? 6 ,
3 2

∴点 A (1, m ), m ? 4 不在曲线上。设切点为 M ( x 0 , y 0 ) ,则点 M 的坐标满足
y 0 ? (1 ? x 0 ) ? 2 ? 6 x 0 ,因 s ? ( x 0 ) ? 3 (1 ? x 0 ) ? 6 ,故切线的斜率为
3 2

3 (1 ? x 0 ) ? 6 ?
2

(1 ? x 0 ) ? 6 x 0 ? 2 ? m
3

x0 ? 1

,整理得 2 x 0 ? 6 x 0 ? m ? 0 .

3

∵过点 A (1, m ) 可作曲线的三条切线, ∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 6 x 0 ? m ? 0 有三个实根. …………11 分 设 g ( x 0 ) ? 2 x 0 ? 6 x 0 ? m ,则 g ? ( x 0 ) ? 6 x 0 ? 6 ,由 g ? ( x 0 ) ? 0 得 x 0 ? ? 1
3 2

3

∵当 x 0 ? ( ?? , ? 1) ? (1, ?? )时 , g ? ( x 0 ) ? 0 ∴ g ( x 0 ) 在 ( ?? , ? 1), (1, ?? ) 上单调递增, ∵当 x 0 ? ( ? 1,1)时 , g ? ( x 0 ) ? 0 ,∴ g ( x 0 ) 在 ( ? 1,1) 上单调递减. ∴函数 g ( x 0 ) ? 2 x 0 ? 6 x 0 ? m 的极值点为 x 0 ? ? 1 ,
3

∴关于 x0 方程 2 x 0 ? 6 x 0 ? m ? 0 有三个实根的充要条件是 ? 解得 ? 4 ? m ? 4 ,故所求的实数 m 的取值范围是 ? 4 ? m ? 4 .

3

? g ( ? 1) ? 0 ? g (1 ) ? 0



………14 分



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