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第八章 平面解析几何1



第八章 平面解析几何

2013 · 新课标高考总复习· 人教A数学(文)

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自测感悟 考向透析 探究提高 考情瞭望 把脉高考 课时作业 知能提升

一、直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直 线l 向上方向之间所成的角α

叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或 重合时,规定它的倾斜角为0°. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

(2)倾斜角的范围为 [0,π) .
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2.直线的斜率 叫做这条直线的斜率,斜率常 正切值 用小写字母k表示,即k= ,倾斜角是90°的直线斜率不存在. tanα (2)过两点的直线的斜率公式: (1)定义:一条直线的倾斜角α的

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经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k= y2-y.1 x2-x1 二、两条直线平行与垂直的判定
1.两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2,其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2? . 特 别 地 , 当 直 线 l1 、 l2 的 斜 率 都 不 存 在 时 l1 与 l2 的 关 系 k1= k 2 平行 为 . 2.两条直线垂直 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2?
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k1·k2=-1

.

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三、直线方程的形式及适用条件

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1.若直线 x=2 的倾斜角为 α,则 α( A.等于 0 π C.等于 2 B.等于 π 4

)

D.不存在

答案:C 2.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为( A. 1 C. 1或 3 B.4 D. 1或 4

答案:A
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3.直线 3x-y+a=0(a 为常数)的倾斜角为( A.30° C.150° B.60° D.120°

)

答案:B
4.直线 l 的倾斜角为 30° ,若直线 l1∥l,则直线 l1 的斜率 k1= ________;若直线 l2⊥l,则直线 l2 的斜率 k2=________.
答案: 3 3 - 3

5.若直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则直线 l 的 方程为________.

答案:3x+2y-1=0
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直线的倾斜角与斜率
[例 1] π π 直线 2xcos α-y-3=0(α∈[6,3])的倾斜角的变化范围是( π π B.[4,3] π 2π D.[ , ] 4 3 )

π π A.[6,3] π π C.[ , ] 4 2

山 东 金 3 ≤cos α≤ ,因此 k=2cos α∈[1, 3 ].设直线的倾斜角为 θ,则有 tan θ∈[1, 太 2 阳 π π π π 书 3],由于 θ∈[0,π),所以 θ∈[4,3],即倾斜角的变化范围是[4,3]. 业 有 限 [答案] B 公 司
[听课记录] π π 1 直线 2xcos α-y-3=0 的斜率 k=2cos α,由于 α∈[6,3 ],所以2

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1.已知点 A(2,-3),B(-3,-2),直线 l 过点 P(1,1)且与线段 AB 有交点,设 直线 l 的斜率为 k,则 k 的取值范围是( 3 3 A.k≥ 或 k≤-4 B.-4≤k≤ 4 4 3 1 3 C.k≥4或 k≤-4 D.-4≤k≤4
解析:解法一 如图所示,过点 B(-3,-2),

)

山 东 金 太 1-?-3? 过点 A(2,-3),P(1,1)的直线斜率为 k2= =-4. 阳 1-2 书 从图中可以看出, 过点 P(1,1)的直线与线段 AB 有公共点可看作直线绕点 P(1,1) 业 有 从 PB 旋转至 PA 的过程, 限 公 3 司 ∴k∈[4,+∞)∪(-∞,-4],故选 A.
1-?-2? 3 P(1,1)的直线斜率为 k1= = . 1-?-3? 4

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解法二

直线 l 的方程为 y=k(x-1)+1,

即 kx-y+1-k=0. 由题意,A(2,-3),B(-3,-2)在 l 的两侧或在直线线上, 3 故有(2k+3+1-k)(-3k+2+1-k)≤0,解得 k≤-4 或 k≥4.故选 A.

答案:A

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直线的平行与垂直关系的判定及应用

[例 2] .(2012 年兰州模拟)直线 ax+2y-1=0 与直线 x+(a-1)y+2=0 平行,则 a 等于( 3 A. 2 C.-1 ) B.2 D.2 或-1

[听课记录] 由a(a-1)-2=0,解得a=2或a=-1. 经检验a=2或a=-1时,两直线都不重合.

[答案] D
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.(2012 年北京东城区模拟)“a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x +y=1 平行”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

[听课记录] 当 a=2 时,直线 ax+2y=0 即 x+y=0 与直线 x+y a =1 平行;当直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行时,- =-1,a= 2 2.综上所述,“a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y=1 平行”的 充要条件,故选 C.

[答案] C

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.已知 l1 的倾斜角为 45° ,l2 经过点 P(-2,-1),Q(3,m),若 l1⊥l2,则实数 m=________.

[听课记录] 由已知得 l1 的斜率 k1=1, m+ 1 l2 的斜率 k2= . 5 ∵l1⊥l2,∴k1· k2=-1. m+ 1 ∴1· =-1,∴m=-6. 5

[答案] -6

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.已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2)l1⊥l2 时,求 a 的值.

[听课记录] (1)解法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1 不平行于 l2; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2; a 当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2 1 l2:y= x-(a+1), 1- a a 1 ? ?-2=1-a, ∴l1∥l2?? 解得 a=-1.

? ?-3≠-?a+1?,

综上可知,a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行.
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解法二 由 A1B2-A2B1=0,得 a(a-1)-1×2=0. 由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a2-1)-1×6≠0,
?a?a-1?-1×2=0 ?a2-a-2=0, ∴l1∥l2?? 2 ?? 2 a ? a - 1 ? - 1 × 6 ≠ 0 ? ?a?a -1?≠6.

∴a=-1, 故当 a=-1 时,l1∥l2,否则 l1 与 l2 不平行. (2)解法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1 与 l2 不垂 直; 当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 与 l2 不垂直; a 1 当 a≠1 且 a≠0 时,l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1- a a 1 2 由(- )· =-1 得 a= . 2 1- a 3 2 解法二 由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0?a= . 3
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直线的方程 [例3] △ABC的三个顶点为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边上的垂直平分线DE的方程.
[听课记录] (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, y- 1 x- 2 由两点式得 BC 的方程为 = , 3-1 -2-2 即 x+2y-4=0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x,y),则 2- 2 1+ 3 x= =0,y= =2. 2 2 BC 边的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两点, x y 由截距式得 AD 所在直线方程为 + =1, -3 2 即 2x-3y+6=0.
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1 (3)BC 的斜率 k1=- , 则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2, 由 2 斜截式得直线 DE 的方程为 y=2x+2.

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2.在本例条件下,求过B点且与AC平行的直线方程.
解析:∵kAC= 3- 0 =3, -2+3

∴所求直线的斜率为 3. 又过点 B(2,1), ∴所求直线方程为 y-1=3(x-2). 即 3x-y-5=0.

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1.(2010年高考安徽卷)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线 方程是( )

A.x-2y-1=0
C.2x+y-2=0

B.x-2y+1=0
D.x+2y-1=0 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

解析:∵所求直线与直线 x-2y-2=0 平行,∴所求直线斜率 k 1 = ,排除 C、D.又直线过点(1,0),排除 B,故选 A. 2

答案:A

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2.(2009年高考上海卷)已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2: 2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )

A. 1 或 3
C. 3或 5
解析:解法一

B.1或5
D. 1 或 2
k=3 时,l1:y+1=0,l2:-2y+3=0 显然平行;

k=4 时,l1:x+1=0,l2:2x-2y+3=0,显然不平行; k- 3 4- k 1 k≠3,k≠4 时,要使 l1∥l2,应有 = ≠ ?k=5. 2?k-3? -2 3 综上所述 k=3 或 5. 解法二 由(k-3)×(-2)-2(k-3)×(4-k)=0 且 -2×1-(4-k)×3≠0, 知 k=3 或 5.

答案:C
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3.(2011年高考浙江卷)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相 垂直,则实数m=________.
解析:∵直线 x-2y+5=0 与直线 2x+my-6=0 互相垂直, 1 ? 2? ∴ ×?-m?=-1,∴m=1. 2 ? ?

答案:1

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从近几年的高考试题来看,求直线方程、两条直线的位置关系是高考
考查的重点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,无论是以何种 题型出现,都与其他知识点交汇命题,难度属中、低档,主要考查直 线方程的求法,考查学生的运算能力. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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1.(2012年深圳调研)已知p:直线l1:x-y-1=0与直线l2:x+ay- 2=0平行,q:a=-1,则p是q的( A.充要条件 C.必要不充分条件 ) 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] 由于直线l1:x-y-1=0与直线l2:x+ay-2=0平行的充要 条件是1×a-(-1)×1=0,即a=-1.因此,选A.

[答案] A
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2.(2012年郑州模拟)已知直线l1的方向向量为a=(1,3),直线l2的方

向向量为b=(-1,k).若直线l2经过点(0,5)且l1⊥l2,则直线l2的方程
为( ) B.x+3y-15=0 D.x-3y+15=0 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

A.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0

[解析] 检验法,将(0,5)代入选项,排除 A、C; 又 l2 的方向向量为 b=(-1,k), l1 的方向向量为 a=(1,3)且 l1⊥l2, 1 ∴有(-1)×1+3k=0,即 k= , 3 1 3 1 ∴l2 的斜率为 =- .因此选项 B 正确. 3 -1

[答案] B
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3.(2012年东北三校模拟)已知直线l1:ax+3y-1=0与直线l2:2x+(a -1)y+1=0垂直,则实数a=________.
[解析] 由两直线垂直的条件得 2a+3(a-1)=0,

3 解得 a= . 5
[答案] 3 5

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