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高三数学临门一脚数学测试卷(理)



绝密★启用前

试卷类型: A

湖北省武昌实验中学 2014 届高考适应性考试








2014.5.31

本试卷共 6 页,共 22 小题。其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分

钟。

★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂 黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。 3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在 试题卷、草稿纸上无效。 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。考 生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域 内,答在试题卷、草稿纸上无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

S ? 4?R 2 其中 R 表示球的半径
球的体积公式

V ?

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 k k Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k (k ? 0,1, 2, ?, n)

4 3 ?R 3 其中 R 表示球的半径

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是满足题目要求的. 1.复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点
2

所在的象限为( A.第一象限

) B.第二象限
数学试卷 A 型

C.第三象限

D.第四象限

第 1 页 (共 12 页)

2.下列说法中表述恰当的个数为(



①相关指数 R 2 可以刻画回归模型的拟合效果, R 2 越接近于 1,说明模型的拟合效果 越好; ②在线性回归模型中, R 2 表示解释变量对预报变量的贡献率, R 2 越接近于 1,表示 解释变量和预报变量的线性相关关系越强; ③若残差图中个别点的残差比较大, 则应确认在采集样本点过程中是否有人为的错误 或模型是否恰当. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

? x≥0, ? 3.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y≥0, 所表示的平面区域是 ? ,不等式 ? x ? y ? 8≤0 ?
组?

?0≤x≤4, 所表示的平面区域是 ? . 从区域 ? 中随机取一点 P( x, y) , 则 P 为区域 ?0≤y≤10


? 内的点的概率是(
A.

1 4
1 2

B.

3 4

C.

3 5


D.

1 5

4.一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为 ( A.

C.1

3 2 1 D. 3
B. ) B. 35 D. 57

5.按右面的程序框图运行后,输出的 S 应为( A. 26 C. 40

6.设 {an } 是等比数列,则“ a1 ? a2 ? a4 ”是“数列 {an } 是递增数列” 的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

数学试卷 A 型

第 2 页 (共 12 页)

7.已知函数 f ( x) 定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e x ( x ? 1) ,给出下列命 题: ①当 x ? 0 时, f ( x) ? e x (1 ? x) ; ②函数 f ( x) 有 2 个零点; ③ f ( x) ? 0 的解集为 (?1, 0) ? (1, ? ?) ; ④ ?x1 , x2 ? R ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? 2 ; 其中正确命题个数是( A. 1 ) B. 2 C. 3 D. 4

8.从 1,2,3,…,10 这 10 个自然数中取 3 个不同的数 a1、a2、a3 ,则这三个数满足

a2 ? a1 ? 3, a3 ? a2 ? 3 的概率为(
A.

) C.

1 12

B.

1 9

1 6

D.

7 24

C: 9.设 F 1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, A 为双曲线 a 2 b2

的 左 顶 点 ,以 F1 F2 为 直 径 的圆 交 双 曲 线某 条 渐 近线于 M 、 N 两 点 , 且 满 足

?MAN ? 120? ,则该双曲线的离心率为(
A.

) C.

21 3

B.

19 3

7 3

D.

7 3 3

2 10. 若 f ( x0 ) ? x0 则称 x0 为函数 f ( x) 的不动点.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c 有两个不

动 点 x1 、 x2 且 x2 - x1 >2, 函 数 g ( x) ? f [ f ( x)] 有 四 个 不 动 点 x1、x2、x3 、 x4 ( x3 > x4 ) ,则 x1 , x2 , x3 , x4 的大小关系是( A. x1 ? x4 ? x2 ? x3 C. x1 ? x2 ? x4 ? x3 ) B. x4 ? x3 ? x1 ? x2 D. x4 ? x1 ? x3 ? x2

数学试卷 A 型

第 3 页 (共 12 页)

二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答 案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

(一)必考题(11—14 题) 11.设 a ?

?

?

2 0

cos xdx ,则(2x 一

a 6 ) 展开式的常数项为 x



12.如图矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形,其中 A, B, C , D 都 在矩形的边上,若向量 BD ? xAE ? yAF ,则 x ? 2 y ? .

13.在 ?ABC 中,?C ? 90 ? ,点 M 满足 BM ? 3MC ,则 sin ?BAM 的 最大值是 .

14.已知数列 {an } 是正项等差数列,若 bn ?

a1 ? 2a 2 ? 3a3 ? ? ? ? ? nan ,则数列 {bn } 也为 1? 2 ? 3 ??? n
,则数列

等差数列. 类比上述结论,已知数列 {cn } 是正项等比数列,若 d n = { d n }也为等比数列. 15. (选修 4-1:几何证明选讲)如图, PA 是圆 O 的切线, 切点为 A ,PO 交圆 O 于 B, C 两点,PA ? 3, PB ? 1 , 则 ?PAB ? .

16. (选修 4- 4:坐标系与参数方程)已知直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为

?x ? t ? 3 ( t 为参数). 以直角坐标系 xoy 中的原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为 ? y ? 3 t ?
极轴,圆 C 的极坐标方程为 为 .

? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 , 则 圆 心 C 到 直 线 l 距 离

数学试卷 A 型

第 4 页 (共 12 页)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ( 2 sin(?x ?

2? ), 2) , 函数 f ( x) ? a ? b 的 b ? (2 cos?x, 0) (? ? 0) , 3

图象与直线 y ? ?2 ? 3 的相邻两个交点之间的距离为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0, 2? ] 上的单调递增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向右平移

? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象.若 12

y ? g ( x) 在 [0, m](m ? 0) 上至少含有10 个零点,求 m 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 底面 ABC ,

C1 B1 G

A1

AB ? AC, AC ? AB ? AA1 , E , F 分别是棱 BC 、 A1 A 的中
点, G 为棱 CC1 上的一点,且 C1 F //平面 AEG .

F

CG 的值; CC1 (Ⅱ)求证: EG ? A1C ; (Ⅲ)求二面角 A1 ? AG ? E 的余弦值.
(Ⅰ)求

C E B

A

19. (本小题满分 12 分) 已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 Sn 满 足 : S n ? a (S n ? an ? 1) ( a 为 正 常 数 ) ,

cn ?

1 1 ? 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn an ? 1 an?1 ? 1 ,

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式;
2 (Ⅱ)设 bn ? an ? S n ? an ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值;

(Ⅲ)在满足条件(II)的情形下,求证: Tn ? 2n ?
数学试卷 A 型

1 . 2

第 5 页 (共 12 页)

20. (本小题满分 12 分) 武汉市为了缓解交通拥挤、减少汽车尾气排放实施了机动车尾号限行,楚天都市报 相关调查组为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了 50 名读者,将调查情况 进行整理后制成下表: 年龄(岁) 频数 赞成人数 [15,25) [25,35) 5 4 10 6 [35,45) 15 9 [45,55) 10 6 [55,65) 5 3 [65,75] 5 4

(Ⅰ)请估计公众对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值; (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查, 记被选 4 人中不赞成“车辆限行”的人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学 期望; (Ⅲ)若在这 50 名被调查者中随机抽取 2 名幸运获奖者,已知一个年龄在[25,35), 求另一个年龄在[45,65)的概率.

21. (本小题满分 13 分) 如图,椭圆 E:

x2 ? y 2 ? 1, 经过椭圆的左焦点 5

F, 斜率的 k 1 的 (k1 ? 0) 的直线 l 与椭圆交于 A 、B
两点. (Ⅰ)当 k1 ? 1 时,求 | AB | ;

AR 、 BR 分别与椭圆 E 交于 C 、 D 两点,设直线 CD 的 ) (Ⅱ)给点 R( 1 , 0,延长
斜率为 k 2 ,问:

k1 是否为定值?若是,求出定值;否则说明理由. k2

22. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x=0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ) 是否存在实数 b, 使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立?若存在, 求出 b 的取值范围,若不存在,说明理由; (Ⅲ)证明:不等式 - 1 ?

?k
k ?1

n

2

k 1 ? ln n ? (n ? 1,2,? ? ?) . 2 ?1
第 6 页 (共 12 页)

数学试卷 A 型

2014 届高考适应性考试数学理科参考答案
选择题:DDCAC 填空题:11.-160 BBCAD 12.-1 13.

3 5

1 3 n 1?2?3??? n 14. (c1 ? c2 2 ? c 3 ? ??? c n )

15.30° 17.

16.

5 3 2

18. (Ⅰ)因为 C1F / / 平面 AEG 又 C1F ? 平面 ACC1 A1 ,平面 ACC1 A1 所以 C1F / / AG . 因为 F 为 AA1 中点, 且侧面 ACC1 A1 为平行四边形所以 G 为 平面 AEG ? AG ,
C1 z A1 B1 G F

x C E y B

A

CG 1 ? . ----4 分 CC1 中点,所以 CC1 2
数学试卷 A 型 第 7 页 (共 12 页)

(Ⅱ)因为 AA1 ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? AB , AA1 ? AC ,

又 A B? A C ,

如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A ? xyz ,设 AB ? 2 ,则由 AB ? AC ? AA1 可得 C (2,0,0), B(0,2,0), C1 (2,0,2), A1 (0,0,2) ,因为 E , G 分别是 BC, CC1 的中点, 所以 E (1,1,0), G (2,0,1) . EG ? CA 1 ? (1, ?1,1) ? (?2,0, 2) ? 0 ,所以 EG ? CA 1, 所以 EG ? AC 1 . -----8 分

? ? n ? AE ? 0, ? x ? y ? 0, (Ⅲ)设平面 AEG 的法向量 n ? ( x, y, z ) ,则 ? 即? ? ?n ? AG ? 0, ?2 x ? z ? 0.
令 x ? 1 , 则 y ? ?1, z ? ?2 , 所 以 n ? (1, ?1, ?2) . 由 已 知 可 得 平 面 A1 AG 的 法 向 量

m ? (0,1,0)
所以 cos ? n, m ??

n?m 6 ?? | n |?| m | 6

由题意知二面角 A1 ? AG ? E 为钝角,所以二面角 A1 ? AG ? E 的余弦值为 ?

6 . 6 ---------12 分

19. 解: (1) S1 ? a(S1 ? a1 ? 1) ,

∴ a1 ? a,

当 n ? 2 时, S n ? a(S n ? an ? 1) , S n?1 ? a(S n?1 ? an?1 ? 1) 两式相减得: an ? a ? an?1 , ∴ an ? a ? an?1 ? an (2)若 a=1 则 an ? 1 不合题意,则 a≠1 由(1)知, bn ? (a ) ?
n 2

an ? a , 即 {an } 是等比数列. an ?1
?4 分

a(a n ? 1) n a , a ?1

(2a ? 1)a 2 n ? aa n bn ? ,若 {bn } 为等比数列,则有 b2 2 ? b1b3 , a ?1
而 b1 ? 2a , b2 ? a (2a ? 1) , b3 ? a4 (2a2 ? a ? 1) ,故 [a (2a ? 1)] ? 2a ? a (2a ? 1) ,
2 3 3 2
2 4

解得 a ?

1 1 1 1 n , 再将 a ? 代入得 bn ? ( ) 成立,所以 a ? . ????8 分 2 2 2 2
数学试卷 A 型 第 8 页 (共 12 页)

n (3)证明:由(2)知 bn ? ( ) ,

1 2

所以 cn ?

1 1 ( )n ?1 2

?

1 1 ( ) n?1 ? 1 2

?

2n 2n ?1 1 1 ? 2? n ? n ?1 ? n n ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

所以 cn ? 2 ?

1 1 ? n ?1 ,Tn ? c1 ? c2 ? n 2 2

? cn

? (2 ?
? 2n ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ) ? (2 ? 2 ? 3 ) ? ? ? (2 ? n ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 2
1 1 1 ? n ?1 ? 2n ? ……12 分 2 2 2
32 ? 100 % ? 64% . 50
?4 分

20. 解: (Ⅰ)公众对“车辆限行”的赞成率约为: 被调查者年龄的平均约为: 20 ? 5 ? 30 ?10 ? 40 ?15 ? 50 ?10 ? 60 ? 5 ? 70 ? 5 ? 43 50 (Ⅱ)依题意得: ? ? 0,1,2,3

p ?? ? 0 ? ?
p ?? ? 1? ? p ?? ? 2 ? ? p ?? ? 3? ?

2 2 C6 C4 6 15 45 15 ? ? ? ? = , 2 C52 C10 10 45 225 75
2 1 1 1 2 C6 C4 ? C6 C4 C4 4 15 6 24 102 34 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 C52 C10 C52 C10 10 45 10 45 225 75 1 1 1 2 2 C4 ? C6 C4 C4 C4 4 24 6 6 66 22 ? ? ? ? ? ? ? ? = , 2 2 C52 C10 C52 C10 10 45 10 45 225 75

1 2 C4 C4 4 6 12 4 ? ? ? ? = , 2 C52 C10 10 45 225 75 所以 ? 的分布列是:

?

0
15 75

1
34 75

2
22 75

3
4 75

p

所以 ? 的数学期望 E? ? (Ⅲ )p?
1 1 C10 C15 30 ? 1 1 2 C10 C 40 ? C10 89

6 . 5

……………………………………………8 分

……………12 分

数学试卷 A 型

第 9 页 (共 12 页)

21.解:

13分 22.

数学试卷 A 型

第 10 页 (共 12 页)

g , ( x) ? 0, g ( x)递增

数学试卷 A 型

第 11 页 (共 12 页)

?14 分

数学试卷 A 型

第 12 页 (共 12 页)



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