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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 等差数列的前n项和课件 北师大版必修5



一、教学目标: 1、知识与技能:掌握等差数列前n项和公式及其获取思 路;会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项 和有关的问题。 2、过程与方法:通过公式的推导和公式的运用,使学生 体会从特殊到一般,再从一般到特殊的思维规律,初步形 成认识问题、解决问题的一般思路和方法;通过公式推导 的过程教学,对学生进行思维灵活性与广阔性的训练,发 展学生的思维水平。 3、情感态度与

价值观:通过公式的推导过程,展现数学 中的对称美,通过生动具体的现实问题,令人着迷的数学 史,激发学生探究的兴趣,树立学生求真的勇气和自信心, 增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感。

二、教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用。

教学难点
灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题。 三、教学方法: 探究归纳,讲练结合 四、教学过程

复习数列的有关概念1 按一定的次序排列的一列数叫做数列。 数列中的每一个数叫做这个数列的项。 数列中的各项依次叫做这个数列的 第1项(或首项)用 a1 表示, …, 第2项用 a2 表示, …, 第n项用 an 表示, 数列的一般形式可以写成:

a1 , a2 , a3 , …,an , …,
简记作: an

? ?

复习数列的有关概念2
如果数列

?an ? 的第n项 an 与n之间的关系可以用一

个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
叫做数列

?an ? 的前n项和。

? S1 (n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 (n ? 2)

复习等差数列的有关概念
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等 于同一个常数(指与n无关的数),这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子)
等差数列

an ? a1 ? (n ?1)d

?an ? 的通项公式为

当d≠0时,这是关于n的 一个一次函数。

如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列, 那么A叫做a与b的等差中项。
A? a?b 2

等差数列的前N项和公式的推导
由等差数列

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an

a1 , a2 , a3 , an , …,

…,

的前n项和 得

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? ?? [a1 ? (n ?1)d ] Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ? ?? [an ? (n ?1)d ]
n个 ?????? ? ? ?????? ? 2S n ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an )

? n(a1 ? an )
n(a1 ? an ) Sn ? 2

等差数列的前N项和公式的其它形式
n(a1 ? an ) Sn ? 2

???? ??
a1 ? an ?( n ?1) d

an ? a1 ? ( n ?1) d

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

n(n ? 1) ???? ?? Sn ? nan ? 2 d

等差数列的前N项和例题1
例1 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上 每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个V形架上共放着120层铅笔, 且自下而上各层的铅笔数组成等差数 列,记为 ?an ?

? a1 ? 1, a120 ? 120, n ? 120
? S120 120 ? (1 ? 120 ) ? ? 7260 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

答:V形架上共放着7260支铅笔.

等差数列的前N项和例题2 ? 例2 求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N , 且m ? 100
的元素个数,并求这些元素的和. 100 2 ? 14 解: ? 7 n ? 100 ? n ? 7 7 所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出,得

7, 2 ? 7,


3 ? 7,

4 ? 7,

?, 14? 7,
n(a1 ? an ) Sn ? 2

7,14,21,28,…,98

这个数列是成等差数列,记为?an ?

? a1 ? 7, a14 ? 98, n ? 14
14 ? (7 ? 98) ? S14 ? ? 735 . 2

答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.

等差数列的前N项和例题3
例6 已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列,求 证它们的比是3:4:5.
证明: 将成等差数列的三条边的长从小到大排列, 它们可以表示为

a-d, a, a+d
解得 a ? 4d

(这里a-d>0,d>0)

由勾股定理,得到 (a ? d ) 2

? a ? (a ? d )
2

2

从而这三边的长是 3d, 4d, 5d, 因此,这三条边的长的比是3:4:5

11

等差数列的前N项和练习1

1. 根据下列条件,求相应的等差数列 ?an ? 的 Sn

(1)a1 ? 5, an ? 95, n ? 10;
? S10

(2)a1 ? 100 , d ? ?2, n ? 50;

10 ? (5 ? 95) ? ? 500 . 2

n(a1 ? an ) Sn ? 2

(4)a1 ? 14.5, d ? 0.7, an ? 32.
32 ? 14.5 n? ? 1 ? 26, ? S 26 0.7

50 (50 ? 1) S50 ? 50 ?100 ? ? (?2) ? 2550 2 2 3 Sn (3) a1 ? , an ? ? , n ? 14; 3 2 14 ? [2 / 3 ? (?3 / 2)] 35 ? S14 ? ?? . 2 6

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

n(a1 ? an ) ? 2

26 ? (14 .5 ? 32 ) an ? a ? (n ? ? ?1604 .5 . 1)d12 2

等差数列的前N项和练习2-3
2.

n ( a ? a ) 1 n 求自然数中前n个数的和. Sn ? 2 n(a1 ? an ) n ? (1 ? n) n(n ? 1) Sn ? ? Sn ? ? . 2 2 2
n ? ( 2 ? 2n) ? Sn ? ? n(n ? 1). 2

3. 求自然数中前n个偶数的和.



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