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等比数列的概念


数 列

数列 数列
数列

6.3.1

等比数列的概念

1. 等差数列的定义

从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数. 2. 等差数列的通项公式
an = a1 +(n-1) d.

3.计算公差d的方法
从第2项起,任一项减去它的前一项.

4.等差中项公式 A= a + b 2

9 4

1、动手试一试 请你做游戏 :

把一张纸连续对折 5 次,试列出每次对折后纸的
层数:2,4,8,16,32 . 2、各个月的本息:7600×1.2,7600×1.22,

7600×1.23,7600×1.24,7600×1.25,7600×1.26
3、细胞分裂的个数:1,2,4,8,… 4、谢尔宾斯基三角形(白色)的个数: 1,3,9,27,81,…

谢尔宾斯基三角形

1、取一个实心的三角形。(多数使用等边三角形) 2、沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形。 3、去掉中间的那一个小三角形。 4、对其余三个小三角形重复1。

等比数列
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项
的比都等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列.

这个常数就叫做等比数列的公比, 常用字母 q 表示
(q≠0).

抢答:下列数列是否为等比数列?

√ √ √ √

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

8,16,32,64,128,256,?; 1,1,1,1,1,1,1, ?; 243,81,27,9,3,1, ?; 16,8,4,2,0,-2, ?; 任一项不能为 0

1,-1,1,-1,1,-1,1, ?; 1,10,-100,-1 000, ?.

说出下列等比数列的公比 ① ② ③ ④ 8,16,32,64,128,256, ?; q = 2 1,1,1,1,1,1,1, ?; 243,81,27,9,3,1, ?; q=1 1 q= 3 常数列

1,-1,1,-1,1,-1,1, ?. q = -1

请探究归纳等比数列的通项公式

a2=a1· q, 2 (a1 ·q) a3= a2 q= q=a1 q , (a1 ·q2) a4= a3 q= q=a1 q3 ,
…… an=a1 qn-1 . 等比数列的通项公式 首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列 {an} 的通项公式

可以表示为:
an = a1 ·q n-1.

等比数列的通项公式 首项是 a1 ,公比是 q 的等比数列 {an} 的通项公式

可以表示为
an = a1 ·q n-1.

实战演练1
? 中世纪,意大利斐波那契在1202年发表 了《算盘全书》,书中这样一题:今有七 老妇人同往罗马,每人有七骡,每骡负七 袋,每袋盛有七个面包,每个面包有七把 小刀随之,问列举之物各有几何?
解:由题意可知,

老妇人、骡、袋、面包、小刀分别有

7, 72,73,74, 75

实战演练2
? 求等比数列20,10,5,…的第15项。

思考
? 有没有既是等差数列又是等比数列的数列 存在?如果有,请举出例子。
3, 3, 3, 3, 3, … -2, -2, -2, -2, -2, …

小知识
? 《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门 望九堤”:
今有出门重九堤,堤有九木,木有九枝, 枝有九巢,巢有九禽,禽有九雏,雏有九 毛,毛有九色,问各几何?
解:堤、木、枝、巢、禽、雏、毛、色各有:

9,92,93,94,95,96,97,98

已知一个等比数列的首项为 1 ,公比为 -1 ,求 这个数列的第 9 项.

求下列等比数列的第 4 项和第 8 项: (1)5,-15,45,?; (2)1.2,2.4,4.8,?;
2 1 3 (3) , , ,?; 3 2 8

(4) 2 ,1 , 2 ,?.
2

例 1 已知一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别

是 12 和 18 ,求它的第 1 项和第 2 项.
解 设这个数列的第一项是 a1 ,公比是 q ,则 a1 ·q2 =12, a1 ·q3 = 18. 解 ①② 所组成的方程组,得 16 16 q = 3 ,a1 = ,a2 = a1 ·q = × 3 = 8. 3 3 2 2 16 即这个数列的第 1 项是 ,第 2 项是 8 . 3 ① ②

(1)一个等比数列的第 9 项是 1 项;

4 1 ,公比是- ,求它的第 9 3

(2)一个等比数列的第 2 项是 10 ,第 3 项是 20 ,求它的 第 1 项和第 4 项.

在 2 与 8 之间插入 4,则 2 , 4 , 8 成等比数列.
在 2 与 8 之间插入 -4,则 2, -4, 8 也成等比数列. 一般地,如果 a ,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. G 2 = ab , 即 G = ± √ab

容易看出,一个等比数列从第 2 项起,每一项(有穷 等比数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中 项.

例2 将20,50,100三个数分别加上相同的常数, 使这三个数依次成等比数列,求它的公比q.
解 设所加常数为a,依题意20+a,50+a,100+a成等比数列,则

50 ? a 100? a ? , 20 ? a 50 ? a
去分母,得(50+a)2 =(20+a) (100+a) , 即2500+100 a + a2=2000+120 a + a2 解得 a=25. 代入计算,得 50 ? a ? 50 ? 25 ? 5,

20 ? a 20 ? 25 3 5 所以公比 q ? . 3

求下列各组数的等比中项:

(1)2,18;

(2)16,4.

1. 等比数列的定义.
2. 等比数列的通项公式. 3. 等比中项的定义及公式. 4. 等比数列定义与通项公式的应用.

教材 P23,习题第 1,2 题.


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