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吉林省长春市十一中2013-2014学年高二上学期期末考试数学(理)试题



吉林省长春市十一中 2013-2014 学年高二上学期期末考试数学(理)试题

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) ,满分 150 分,测试时间 120 分钟。

一、选择题(每题 5 分,共 60 分)

x2 1.抛物线 y ? 的准线方程为 4
A. x ? ?1 B. y ? ?1 C.

x ? ?





1 16


D. y ? ? 开始

1 16

2.设 f ? x ? ? x ln x ,若 f ?( x 0 ) ? 2 ,则 x 0 =( A. e
2

a ? 5, S ? 1

B.1

C. e

D. ln 2 )

a ? 4?


否 输出 S 结束

3.阅读如图所示的程序框图,输出的结果为( A.20 C. 2 B.3 D.60
2 2

S ? S ?a
a ? a ?1
(3 题图)

4.若直线 3 x ? y ? a ? 0 过圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为( A.1 C.3 ) B.-1 D.-3

5.将一枚骰子先后掷两次,向上点数之和为 x ,则 x ≥7 的概率为 A.





1 2

B.

5 12

C.

7 12

D.

3 4

6.已知曲线 y ?

x2 1 ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2
B.-2 C.1 D.



A.3

1 2
( )

7.下列命题中的假命题是 A. ?x ? R,2 ? 0
x

B. ?x ? R, tan x ? 1 D. ?x ? R, x ? 0
3

C. ?x ? R, 使lg x ? 0



1第

8.曲线 y ? 3 x ? 1与x ? 0, x ? 2及y ? 0 围成的封闭图形的面积为
2





A.10

B.8
2

C. 2

D.13

9.已知 F 是抛物线 y ? 8 x 的焦点, A, B 是该抛物线上的两点, AF ? BF ? 12 ,则线段 AB 中 点到 y 轴的距离为 A.16 B. 6 C.8 ( D. 4 ) )

10.已知 a, b 为实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0且ab ? 0 ”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

11.已知双曲线 E 的中心在原点, F ?3,0? 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 中点为 N ?? 12,?15? ,则 E 的方程为 ( )

A.

x2 y2 ? ?1 3 6 x2 y2 ? ?1 6 3
x ?1

B.

x2 y2 ? ?1 4 5 x2 y2 ? ?1 5 4

C.

D.

12.已知函数 f ( x ) ? xe 是 A. ( ??,?2 2 )

,若函数 y ? f ( x ) ? bf ( x ) ? 2 恰有四个不同的零点,则实数 b 的取值范围
2

( B. ( ?3,?2) C. ( ??,?3)

) D. ? 3,?2 2

?

?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.双曲线 y ?
2

x2 ? 1 的离心率为________________. 4
3 2

14.函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? 1 的极小值点为_____________.

15 . 抛 物 线 焦 点 在 y 轴 上 , 且 被 y ? ________________.

1 x ?1 截得的弦长为 5,则抛物线的标准方程为 2

16.已知函数 f ? x ? ? x ? 6 x ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,且 f ?a ? ? f ?b ? ? f ?c ? ? 0
3 2

现给出如下结论:① f ?0? ? f ?1? ? 0 ;② f ?0? ? f ?1? ? 0 ;③ f ?0? ? f ?3? ? 0 ;
页 2第

④ f ?0? ? f ?3? ? 0 ,其中正确的序号为________________. 三、解答题(本大题共 70 分) (解答时要写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分) 为统计某校学生数学学业水平测试成绩,现抽出 40 名学生成绩,得到样本频率分布直方图,如图所示, 规定不低于 60 分为及格,不低于 85 分为优秀. (1)估计总体的及格率; (2)求样本中优秀人数; (3)若从样本中优秀的学生里抽出 2 人,求这两人至少有一人数学成绩不低于 90 分的概率.

频率 组距
0.035

0.025

0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 分数

(17 题图)

18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? 12 x
3

(1)求函数 f ? x ? 的极值; (2)当 x ? ?? 3,3? 时,求 f ? x ? 的最值.

19. (本小题满分 12 分)

x2 y2 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 过点 P a b
垂线,垂足分别为 M,N. (1)求双曲线 C 的方程;


?

2 , 3 ,且离心率为 2,过右焦点 F 作两渐近线的

?

3第

(2)求四边形 OMFN 的面积(O 为坐标原点) .

20. (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, P 是椭圆上一点,已知 P , F1 , F2 是一个直角三角形的三 36 16

个顶点,且 PF1 ? PF2 . (1)求 PF1 的长度;

(2)求

PF1 PF2

的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? x ,直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,点 P 是直线 l 上任意一点,
2

过点 P 作抛物线 C 的切线 PM , PN ,切点分别为 M , N ,直线 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,如图所 示 . (1)若 P (4,1) ,求证: k1 ? k 2 ? 16 ; (2)当 P 在直线 l 上运动时,求证:直线 MN 过定点,并求出该定点坐标.
N M y

O l P

x

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

(21 题图) ex e , ( a, b 为常数,e 是自然对数的底数) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? ( x ? 1) . ax ? b 4

(1)求 a, b 的值,并求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 x 1 ? x 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时,证明: x1 ? x 2 ? 0 .

体验

探究

合作

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4第

长春市十一高中 2013-2014 学年度高二上学期期末考试 数 学(理科) 答案
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 11.B 12.C

5

14. x ? 2

15. x ? 4 y 或 x ? ?20 y
2 2

16.②③

三、解答题

17. (本小题 10 分)解: (1)及格率为 (2)优秀人数 6 人--------------4 分

80 ------------2 分 100

(3)85 分—90 分有 2 人,设为 b1 、 b 2 ; 90 分—100 分有 4 人,设为 c 1 、 c 2 、 c 3 、 c 4 ,------------6 分 那么一次试验的全部结果为:

b1 b2 , b1 c 1 , b1 c 2 , b1 c 3 , b1 c 4 , b2 c 1 , b2 c 2 , b2 c 3 , b2 c 4 , b2 c 1 , c 1 c 3 , c 1 c 4 , c 2 c 3 , c 2 c 4 , c 3 c 4 ------------ --------8 分
共 15 个结果,所以 p ?

14 -----------10 分 15
/ 2

18. (本小题 12 分)解: (1) f ( x ) ? 3 x ? 12 ? 3( x ? 2)( x ? 2) ------------1 分 令 f ( x ) ? 3 x ? 12 ? 3( x ? 2)( x ? 2) =0 得 x ? 2, x ? ?2 ------------2 分
2 /

x f (x) f(x)
/

(- ? ,-2) + 单调递 增

-2 0

(-2,2) 单调 递减

2 0

(2,+ ? ) + 单调递 增 ------------6 分

16

-16

所以 f ( x ) 极大值为 f ( ?2) ? 16 , f ( x ) 极小值为 f ( 2) ? ?16
页 5第

------------8 分

(2)由(1)知, f ( ?2) ? 16 , f ( 2) ? ?16 , 又 f (?3) ? 9, f (3) ? ?9 所以 f ( x ) 最大值为 f ( ?2) ? 16 , f ( x ) 最小值为 f ( 2) ? ?16 ------------12 分 19. (本小题 12 分) 解: (1)因为 e ? 2 ,所以 3 a ? b ,------------2 分
2 2

设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ∴双曲线过点 P ( 2 , 3 ) ,则有 a 2 ? 1 , 2 2 a 3a
2

∴双曲线方程为 x ?

y2 ? 1 -------- --------5 分 3
3 ,-----------9 分

(2)右焦点 F 到渐近线 y ? ? 3 x 的距离 d ?

OM ? 1 ,∴ S四边形 OMFN ? 2 S ?MFN ? 2 3 -----------12 分
20. (本小题 12 分) 解: ( 1 ) 若 ?PF2 F1 是 直 角 , 则 PF1
2

? PF2 ? F1 F2 , 即 PF1

2

2

2

? ?12 ? PF1

?

2

? 80 , 得

PF1 =

28 -----------3 分 3
2

若 ?F1 PF2 是直角,则 PF1 即 2 PF1
2

? ?12 ? PF1

?

2

? 80 ,

? 24 PF1 ? 64 ? 0 ,得 PF1 =8 ---------6 分
2

(2) 若 ?PF2 F1 是直角, 则 PF1

? PF2 ? F1 F2 ,即 PF1

2

2

2

? ?12 ? PF1

?

2

? 80 , 得 PF1 =

28 , 3

PF2 =

PF1 7 8 ,∴ ? -----------9 分 3 2 PF2
2

若 ?F1 PF2 是直角,则 PF1
2

? ?12 ? PF1

?

2

? 80 ,

即 2 PF1

? 24 PF1 ? 64 ? 0 ,得 PF1 =8, PF2 =4, ∴

PF1 PF2

?2



6第

综上,

7 ? 2 或 -----------12 分 2 PF2

PF1

21. (本小题 12 分) 解: (1)设过 P 的切线方程为: y ? 1 ? k ( x ? 4) ,代入抛物线 C ,消去 y 得:

x 2 ? kx ? 4k ? 1 ? 0 ,由 ? ? k 2 ? 4(4k ? 1) ? 0 ,所以: k 2 ? 16k ? 4 ? 0 ,
该方程的两个根为直线 PM , PN 斜率 k1 , k 2 ,所以: k1 ? k 2 ? 16 .-----------5 分 (2)设 P( x0 , y 0 ) , x0 ? 2 y 0 ? 2 ,切点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 对 y ? x 求导数, y ? ? 2 x ,所以: k1 ? 2 x1 , k 2 ? 2 x2
2

故:直线 PM : y ? y1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) , 直线 PN : y ? y 2 ? 2 x2 ( x ? x2 ) 由于 y1 ? x1 , y 2 ? x 2 所以: PM : y ? 2 x1 x ? y1 , PN : y ? 2 x 2 x ? y 2
2 2

由于直线 PM , PN 都过点 P ,有: 2 x0 x1 ? y1 ? y 0 , 2 x0 x2 ? y 2 ? y 0 这说明 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 满足直线 2 x0 x ? y ? y 0 的方程, 所以直线 MN 为: 2 x0 x ? y ? y 0 ,再由 x0 ? 2 y 0 ? 2 所以 MN 为: 4 x0 ( x ? ) ? 2( y ? 1) , x0 ? R , 22. (本小题 12 分) 解: (1)由条件知函数 f ( x) 过点 (1, ) ,所以: a ? b ? 2 ------① 对 f ( x) 求导数: f ?( x) ?

1 4

即 MN 过定点 ( , 1) .------12 分

1 4

e 2

e x (ax ? b ? a) eb e ? ------② , f ?(1) ? 2 2 4 (ax ? b) ( a ? b)

由①、②解得: a ? 1, b ? 1. 故: f ?( x) ?

xe x , x ? ?1 ( x ? 1) 2

令 f ?( x) ? 0 得: x ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得: x ? 0, x ? ?1 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (0,??) ,单调减区间为 (??,?1), (?1,0) .--------6 分

(2)由(1)知,当 x ? (??,?1) 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? (?1,??) 时, f ( x) ? 0 ,



7第

则 f ( x) 在 (?1,0) 为减函数,在 (0,??) 为增函数, 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 ? x2 ,则必有 x1 , x2 ? (?1,??) ,不妨设 x1 ? (?1,0), x2 ? (0,??) . 若证 x1 ? x 2 ? 0 ,即证 x2 ? ? x1 ? 0 ,只需证: f ( x2 ) ? f (? x1 ) 即: f ( x1 ) ? f (? x1 ) , 设 g ( x) ? f ( x) ? f (? x), x ? (?1,0) , 即 g ( x) ?

ex e?x ? ? 0 在 x ? (?1,0) 上恒成立,即 (1 ? x)e2 x ? (1 ? x) ? 0 x ?1 1? x
2x

设 h( x) ? (1 ? x)e

? (1 ? x) , x ? (?1,0)

h?( x) ? e 2 x (1 ? 2 x) ? 1 , (h?( x))? ? ?4 xe 2 x ? 0
∴ h?( x) 是 (?1,0) 上的增函数,故 h?( x) ? h?(0) ? 0 ∴ h( x ) 是 (?1,0) 上是减函数,故 h( x) ? h(0) ? 0 ,所以原命题成立. ---------12 分



8第



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