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2016届湖南省岳阳市第一中学高三上学期第三次质量检测数学(理)试题



2015 年下学期高三年级第三次质量检测考试数学(理科)试卷

时量:120 分钟

分值:150 分

命题人:

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。)

1,2,3,4,5,6?, 1.设全集 U

? Z , A ? ?2,3,5,8,9?, B ? ?
则右图中阴影部分表示的集合是( )

U
A B

A. ?2,4,6? C. ?2,5,6?

1,3,5? B. ? 1,4,6? D. ?

2.如右图,在复平面内,若复数 Z 1 , Z 2 对应的向量分别是 OA, OB, 则复数 Z1 ? Z 2 所对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限

3.已知 a ? ( ) 3 , b ? ( ) A. c ? a ? b

1 2

1

1 3

?

1 2

, c ? log2

1 , 则 a, b, c 的大小关系是( 3
C. a ? b ? c



B. c ? b ? a

D. b ? a ? c

4.若 f ( x) ? sin(2 x ? ? ), 则“ f ( x) 的图象关于 x ? A.充分不必要条件 C.充要条件

?
3

对称”是“ ? ? ?

?
6

”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.等差数列 ?an ? 中 , a3 ? 5, a4 ? a8 ? 22, 则 ?an ? 的前 8 项的和为( A. 32 B. 64 C. 108 D. 128



6.已知向量 a ? (2,3), b ? (?1,2), 若 ma ? nb 与 a ? 2b 共线,则 A. ?2 B. 2 C. ?

1 2

m 等于( n 1 D. 2



7.已知 sin? ? cos ? ? A. ?

1 ,其中 ? 在第二象限,则 sin 2 ? cos ? ? sin ? cos 2 ? ? ( 2



21 16

B. ?

3 7 8

C. ?

3 7 16

D.

3 7 16
1 3 3 x ? x 4 4

8.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c, 其中 b ? c ? 2, 若函数 f ( x ) ? 的极大值是 cos A, 则 ?ABC 的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形 ) C.等边三角形

D.等腰直角三角形

9.某几何体的三视图如图所示,当 x ? y 最大时,该几何体的 体积为( A. 2 7 ) B. 4 7

C. 8 7 10.若函数 f ( x) ? 2 sin(

D. 16 7

?
6

x?

?
3

)( ?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 A, 过点 A 的直线 l 与
) D. 32

函数的图象交于 B, C 两点,则 (OB ? OC) ? OA的值是( A. ? 32 B. ? 16 C. 16

11.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f '( x) ? 1 ? f ( x) , 其中 f '( x ) 是 f ( x) 的导函数,e 为自然 对数的底数,则下列正确的是( A. ef (1) ? e ? e f (2) ? e
2 2

) B. e
2015

f (2015) ? e2015 ? e2016 f (2016) ? e2016
f (2016) ? e2016 ? e2015 f (2015) ? e2015

C. e f (2) ? e ? ef (1) ? e
2 2

D. e

2016

?? x 2 ? 2 x, ?2 ? x ? 0 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2ax ? 2a 的图象与 x 轴有 1 , 0? x?2 ? ln ? x ?1

3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是(
A. (0, )

) C. (0,

1 e

, ? B. ? ? 3 2e ?

? ln 3 1 ?

1 ) 2e

D. ?

? ln 3 1 ? , ? ? 6 2e ?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。) 13.设命题 p : ?n ? N , n 2 ? 2 n , 则 ? p 为 。

14.等比数列 ?an ? 中 , a1 , a5 是关于 x 方程 x 2 ? bx ? c ? 0 的两个根,其中点 (c, b) 在直线

y ? x ? 1 上,且 c ? ? t 2 dt ,则 a3 的值是
0

3



15.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足: f (? x) ? ? f ( x), f (1 ? x) ? f (1 ? x), 当 x ?[?1,1] 时,

f ( x) ? sin(

? )? x), 则 f (2015 2



16.已知正项数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 满足:

a1 ? b1 ? ?0,2?,
若 (1 ?

bn 1 1 1 ? ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N * ) 。 an a1 a2 an?1

1 1 1 1 1 1 )(1 ? ) ? ? ? (1 ? ) ? ? ( ? ? ? ? ? ? )(n ? N * ), b1 b2 bn a1 a 2 an


则实数 ? 的最大值为

三、解答题(解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。) 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2 cos2 x, 3), n ? (1, sin 2x), 函数 f ( x) ? m ? n 。 (1)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; ( 2 ) 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角 A, B, C 的 对 边 , 且

f (C) ? 3, c ? 1, ab ? 2 3, 且 a ? b,

求 a , b 的值。

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数,观察程序框图, 若 k ? 1, k ? 5 时,分别有 S ?

1 5 和S ? 。 3 11

(1)试求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 3 ? an , 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。
n

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为矩形, PA 是四棱锥的高, PB 与 DC 所成角为

45? , F 是 PB 的中点, E 是 BC 上的动点。
(1)证明: PE ? AF ; (2)若 BC ? 2BE ? 2 3 AB ,求直线 AP 与平面 PDE 所 成角的大小。

20.(本小题满分 12 分) 如图,设椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,椭圆 C 上一点 M 到左、右两 2 2 a b

个焦点 F1 、 F2 的距离之和是 4 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l : x ? 1 与椭圆 C 交于 P 、 Q 两点 , P 点位于第一象限, A 、 B 是椭圆上位于直线 l 两侧的动点,若直线 AB 的斜率为

1 , 求四边形 2

APBQ 面积的最大值。

21. (本小题满分 12 分) 对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不动点。 如果函数 f ( x) ?

1 x2 ? a (b, c ? N *) 有且仅有两个不动点 0 、 2 ,且 f ( ?2) ? ? 。 2 bx ? c

(1)试求函数 f ( x) 的单调区间; (2)已知各项不为 1 的数列 ?an ? 满足 4Sn ? f ( (3) 在 (2) 中, 设 bn ? ?

1 1 n ?1 1 ? ln ?? ; ) ? 1 ,求证: ? an?1 n an an

1 T2016 ? 1 ? ln 2016? T2015 。 ,Tn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和, 求证: an

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答。注意:只能做所选定题目。如果多做,则按 所做的第一个题目计分。 22.(本小题满分 10 分)( 选修 4—1:几何证明选讲) 如图, AB 是⊙ O 的一条切线,切点为 B ,

ADE, CFD 都是⊙ O 的割线, AC ? AB 。
(1)证明: AC 2 ? AD ? AE ; (2)证明: FG ∥ AC 。

23.(本小题满分 10 分)(选修 4—4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系中,以原点为极点、 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同单

t ? x? ? 2 ? 位长度。已知曲线 C : ? ? a (a ? 0) ,过点 P(0,2) 的直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 3 t ? ? 2
( t 为参数) (1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; (2)设曲线 C 经过伸缩变换 ? 值。

?x ' ? 2x 得到曲线 C ' ,若直线 l 与曲线 C ' 相切,求实数 a 的 ?y' ? y

24.(本小题满分 10 分)(选修 4—5:不等式选讲) 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 , g ( x) ? x ? 1 ? 2 。 (1)解不等式 g ( x) ? 5 ; (2)若对任意 x1 ? R, 都存在 x2 ? R, 使得 f ( x1 ) ? g ( x 2 ) 成立,求实数 a 的取值范围。

高三年级第三次质量检测考试数学(理科)试卷参考答案
一、选择题 1.D 2.A 3. A 4. B 5. B 6. C 二、填空题 13. ?n ? N , n ? 2 三、解答题
2 n

7. C 8. C 9. D 10. D 11. C 12. D 15.

14.

3

?1

16.

1
-----2 分 -----4 分 -----5 分

17.解: (1) f ( x) ? m ? n ? (2 cos2 x, 3) ? (1, sin 2x) ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x

? cos 2 x ? 1 ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 1 6 2? ∴函数 f ( x ) 的最小周期 T ? ??
由 2k? ?

?

(k ? Z ) 得: 2 ? ?? ? 单调增区间为 ? k? ? ,k? ? ? ,k ? Z 3 6? ? ? ? (2) f (C ) ? 2 sin( 2C ? ) ? 1 ? 3 ? sin( 2C ? ) ? 1 2 6

?

? 2x ?

?

? 2 k? ?

?

2

-----6 分

? ? ? 又 C 是三角形内角,∴ 2C ? ? 即: C ? 6 2 6
∴ cosC ?

6

6

-----8 分 -----9 分

b2 ? a2 ? c2 3 ? 2ab 2

2 2 即: a ? b ? 7 .

2 将 ab ? 2 3 代入可得: a ?

12 ? 7 ,解之得: a 2 ? 3或4 2 a
-----11 分 -----12 分

∴a ?

3或2 ,? b ? 2或 3 3。

又 a ? b ∴ a ? 2 ,b ? 18.解: (1) S k ?1 ?

S k ?5

1 1 1 1 ( ? )? d a1 a1 ? d 3 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? ( ? ? ??? ? ? )? ( ? )? d a1 a1 ? d a1 ? 4d a1 ? 5d d a1 a1 ? 5d 11

-----1 分 -----2 分

解得: ?

?a1 ? 1 ?a1 ? ?1 或? (舍去) , d ? 2 d ? ? 2 ? ?

-----4 分 -----6 分

则 an ? 1 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 (2) Tn ? 3?1 ? 32 ? 3 ???? ? 3n?1 (2n ? 3) ? 3n (2n ?1)

3Tn ? 32 ?1 ? 33 ? 3 ???? ? 3n (2n ? 3) ? 3n?1 (2n ?1)
则 2Tn ? ?3 ? 2(3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 ) ? 3
2 3 n n?1

-----8 分
n?1

(2n ? 1) ? 6 ? 3 (2n ? 2)

----10 分 -----12 分

Tn ? 3 ? (n ?1)3

n?1

z

19.解: (1) 建立如图所示空间直角坐标系. 设 AP ? AB ? 2 , BE ? a 0, 0), B(0, 2, 0), P(0, 0, 2), F(0, 1, 1 ), 则 A(0,

P

F

E( a , 2, 0)
于是, PE ? (a,2,?2) , AF ? (0,1,1) , 则 PE ? AF ? 0 , 所以 AF ? PE 。 -----6 分
D x A C E B y

(2)若 BC ? 2BE ? 2 3 AB ,则 D(4 3,0,0) , PD ? (4 3,0,?2), PE ? (2 3,2,?2) , 设平面 PDE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 由?

? n ? PD ? 0 ? 4 3x ? 2 z ? 0 ,得: ? ,令 x ? 1 ,则 z ? 2 3, y ? 3 , ? n ? PE ? 0 ?2 3 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ?

于是 n ? (1, 3,2 3) ,而 AP ? (0,0,2) 设 AP 与平面 PDE 所成角为 ? ,所以 sin ? ? 所以 AP 与平面 PDE 所成角 ? 为 60 。
?

| n ? AP | | n || AP |

?

3 , 2
-----12 分

20.解: (1)依题意,

1 ,? c ? 1, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 2 2 x y2 ? ?1 ∴椭圆 C 方程为: 4 3 2a ? 4, a ? 2,? e ?
(2)易知 P(1 , ), Q(1, ? ) ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB: y ?

-----2 分 -----4 分 -----6 分 -----8 分 -----10 分 -----12 分

3 3 1 x?t 2 2 2 与椭圆联立得 x 2 ? tx ? t 2 ? 3 ? 0 ,? ? ? 12 ? 3t 2 ? 0 ? t 2 ? 4 ,
? S APBQ ? 1 3 ? 3 | PQ || x1 ? x2 |? ? 12 ? 3t 2 ? 3 3(t ? 0取“=” ) 2 2 |a| 2
2

? S APBQ 的最大值是 3 3
20.解: (1)设

x ?a ? x ? (1 ? b) x 2 ? cx ? a ? 0(b ? 1) bx ? c c ? 2?0 ? ? ? a?0 ? ? ? 1? b ?? ∴? c b ? 1? ? 2?0 ? a ? ? 2 ? 1? b ?

-----1 分

∴ f ( x) ?

x2 ?2 1 ? ? ? ?1 ? c ? 3 由 f (?2) ? c 1? c 2 (1 ? ) x ? c 2 又∵ b, c ? N * ∴ c ? 2, b ? 2

∴ f ( x) ?

x2 ( x ? 1) 2( x ? 1)

-----2 分

2 x?2( x ? 1) ? x 2 ?2 x 2 ? 2 x ? 4( x ? 1)2 2( x ? 1)2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 ; 由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 1 或 1 ? x ? 2 故函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, 0) 和 (2, ??) , -----3 分 单调减区间为 (0,1) 和 (1, 2) -----4 分 (2)由已知可得 2Sn ? an ? an 2 , 当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? an?1 ? an?12 两式相减得 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 1) ? 0 ∴ an ? ?an?1 或 an ? an?1 ? ?1 -----5 分
于是 f ?( x) ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? a1 ? a12 ? a1 ? ?1 ,若 an ? ?an?1 ,则 a2 ? 1这与 an ? 1 矛盾 ∴ an ? an?1 ? ?1 ∴ an ? ?n -----6 分

1 n ?1 1 ? ln ? . 于是,待证不等式即为 n ?1 n n 1 x ?1 1 ? ln ? ,x ?0 为此,我们考虑证明不等式 x ?1 x x 1 1 1 令 1 ? ? t , x ? 0, 则 t ? 1 , ? t ? 1, x ? x t ?1 x 1 再令 g (t ) ? t ? 1 ? ln t , g ?(t ) ? 1 ? 由 t ? (1, ??) 知 g ?(t ) ? 0 t ∴当 t ? (1, ??) 时, g (t ) 单调递增 ∴ g (t ) ? g (1) ? 0 于是 t ? 1 ? ln t 1 x ?1 ,x ?0 ① 即 ? ln -----8 分 x x 1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? 1 ? , h?(t ) ? ? 2 ? 2 由 t ? (1, ??) 知 h?(t ) ? 0 t t t t 1 ∴当 t ? (1, ??) 时, h(t ) 单调递增 ∴ h(t ) ? h(1) ? 0 于是 ln t ? 1 ? t x ?1 1 ? ,x ?0 即 ln ② x x ?1 1 x ?1 1 ? ln ? ,x ?0 由①、②可知 x ?1 x x 1 n ?1 1 1 n ?1 1 ? ln ? ,即 1 ? ? ln 所以, ?? -----9 分 n ?1 n n an n an 1 1 1 1 (3)由(2)可知 bn ? ,则 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 3 n n 1 n ?1 1 ? ln ? 中令 n ? 1,2,3,? ? ?,2015 , 并将各式相加得: 在 n ?1 n n 1 1 1 2 3 2016 1 1 1 ? ? ??? ? ? ln ? ln ? ? ? ? ? ln ? 1? ? ? ??? ? 2 3 2016 1 2 2015 2 3 2015 即 T2016 ? 1 ? ln 2016? T2015 -----12 分

22.解: (1)证明:因为 AB 是 ?O 的一条切线, AE 为割线
2 2 所以 AB ? AD ? AE ,又因为 AB ? AC ,所以 AD ? AE ? AC

-----5 分

(2)由(1)得

AD AC ? AC AE

? ?EAC ? ?DAC ? ?ADC ∽ ?ACE ? ?ADC ? ?ACE ? ?ADC ? ?EGF ? ?EGF ? ?ACE ? GF ∥ AC
-----10 分

23.解: (1)曲线 C : x ? y ? a ,直线 l : y ? 3x ? 2
2 2 2

-----5 分

(2)曲线 C ? :

2 2 2 ? x2 ? x ? 4 y ? 4a ,消去 ,得 ? y 2 ? a 2 ,与直线 l 联立得 ? y 4 y ? 3 x ? 2 ? ?

13x2 ? 16 3x ? 16 ? 4a 2 ? 0 ,由 ? ? 0 知, a 2 ?
?a ? 2 13 13

4 , 13
-----10 分

24.解: (1)由 x ? 1 ? 2 ? 5 得 ?5 ? x ?1 ? 2 ? 5

??7 ? x ?1 ? 3 ,得不等式的解为 ?2 ? x ? 4
(2)因为任意 x1 ? R ,都有 x2 ? R ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 所以 { y | y ? f ( x)} ? { y | y ? g ( x)} , 又 f ( x) ? 2x ? a ? 2x ? 3 ?| (2x ? a) ? (2x ? 3) |?| a ? 3| ,

-----5 分

g ( x) ?| x ? 1| ?2 ? 2 ,所以 | a ? 3 |? 2 ,解得 a ? ?1 或 a ? ?5 , 所以实数 a 的取值范围为 a ? ?1 或 a ? ?5

-----10 分



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