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湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学试卷(理科)



湖北省部分重点中学 2015 届高三上学期起点考试数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)i 为虚数单位,z= A.2﹣i B.2+i
8

,则 i 的共轭复数为() C.﹣2﹣i D.﹣2+i

2.

(5 分)若二项式(2x+ ) 的展开式中的常数项为 70,则实数 a 可以为() A.2 B. C. D.

3. (5 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是()

A.3

B. 4
2 2

C. 5

D.6

4. (5 分)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5. (5 分)已知函数 y=2sinx 的定义域为[a,b],值域为[﹣2,1],则 b﹣a 的值不可能是() A. B. π C . 2π D.

6. (5 分)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣2,则 k 的值为()

A.1

B . ﹣1

C. 2

D.﹣2

7. (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D (1,1, ) ,若 S1,S2,S3 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正 投影图形的面积,则() A.S1=S2=S3 B.S2=S1 且 S2≠S3 C.S3=S1 且 S3≠S2 D.S3=S2 且 S3≠S1

8. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与

C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

9. (5 分)已知向量 , 满足| |=1, 与 的夹角为 成立,则| |的取值范围是() A.[ ,∞) B.( ,∞)

,若对一切实数 x,|x +2 |≥| + |恒

C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

10. (5 分)已知 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,x∈(﹣1,1) .现有下列命题: ①f(﹣x)=﹣f(x) ; ②f( )=2f(x)

③|f(x)|≥2|x| 其中的所有正确命题的序号是() A.①②③ B.②③

C.①③

D.①②

二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答 题卡对应题号的位置上.(一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5 的解集为. 12. (5 分)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x﹣1)>0,则 x 的取 值范围是.

13. (5 分)过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于.

+

=1(a>b>0)相交于 A,

14. (5 分)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的 集合:对于函数 φ(x) ,存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例 如,当 φ1(x)=x ,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B. ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ (x>﹣2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B.
3

其中的真命题有. (写出所有真命题的序号)

(二)选考题(第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 【选 修 4-1:几何证明选讲】 15. (5 分)如图所示,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= ,BC=2 ,则⊙O 的半径等于.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 16.已知曲线 C1 的参数方程是 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ ABC 面积最大时 a,b 的值. 18. (12 分)已知各项均为正数的数列{an}满足:Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 2,an,Sn 成 等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; =

(2)若 an =( )

2

,cn=

,求数列{cn}的前 n 项和.

19. (12 分)如图 1,△ ABC 中,∠B=90°,AB= ,BC=1,D、E 两点分别是线段 AB、AC 的中点,现将△ ABC 沿 DE 折成直二面角 A﹣DE﹣B.

(Ⅰ)求证:面 ADC⊥面 ABE; (Ⅱ)求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值. 20. (12 分)某省进行 2015 届高考改革,外语实行等级考试,其他学科分值如下表: 科目 语文 数学 科目 A 科目 B 科目 C 科目 D 分值 180 150 120 100 100 100 (1)有老师建议语文放在首场,数学与科目 A 不相邻,按这位老师的建议安排考试,前三科 总分不小于 400 的概率为多少? (2)若前三场科目中要安排语文,求前三场考试总分 ξ 的分布列及期望值.

21. (13 分)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E

的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 22. (14 分)已知函数 f(x)=ln(1+2x)+ax(a<0) (1)若 f(x)在 x=0 处取极值,求 a 的值, (2)讨论 f(x)的单调性, (3)证明(1+ ) (1+ )…(1+ )< , (e 为自然对数的底数,n∈N ) .
*

湖北省部分重点中学 2015 届高三上学期起点考试数学试 卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)i 为虚数单位,z= A.2﹣i B.2+i ,则 i 的共轭复数为() C.﹣2﹣i D.﹣2+i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的除法运算化简 z,由共轭复数的概念得答案. 解答: 解:z= = ,

∴复数 z 的共轭复数为 2﹣i. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.
8

2. (5 分)若二项式(2x+ ) 的展开式中的常数项为 70,则实数 a 可以为() A.2 B. C. D.

考点: 二项式系数的性质. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得展 开式中的常数项的值.再根据常数项为 70,求得实数 a 的值. 解答: 解:二项式(2x+ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1= 令 8﹣2r=0,求得 r=4,故展开式中的常数项为 求得 a =
4 8

?a ?2

r

8﹣r

?x

8﹣2r



?a ?2 =70,

4

4



故选:A. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数,属于基础题. 3. (5 分)若某程序框图如图所示,则输出的 n 的值是()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求满足 P=1+3+…+(2n﹣1)>20 的最小 n 值,利用等差数列的前 n 项 和公式求得 P,根据 P>20,确定最小的 n 值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求满足 P=1+3+…+(2n﹣1)>20 的最小 n 值, ∵P=1+3+…+(2n﹣1)= ×n=n >20,∴n≥5,
2

故输出的 n=5. 故选:C. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键. 4. (5 分)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的() A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆相交的性质. 直线与圆;简易逻辑. 根据直线和圆相交的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 2 2 解:若直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点, ,|AB|=2 ,

则圆心到直线距离 d=

若 k=1,则|AB|= 性成立.

,d=

,则△ OAB 的面积为 ×

= 成立,即充分

若△ OAB 的面积为 ,则 S= 解得 k=±1,则 k=1 不成立,即必要性不成立. 故“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的充分不必要条件.

= ×2×

=

= ,

故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角形的面积公式,以及半径半弦 之间的关系是解决本题的关键. 5. (5 分)已知函数 y=2sinx 的定义域为[a,b],值域为[﹣2,1],则 b﹣a 的值不可能是() A. B. π C . 2π D.

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 结合三角函数 R 上的值域[﹣2,2],当定义域为[a,b],值域为[﹣2,1],可知[a,b] 小于一个周期,从而可得. 解答: 解:函数 y=2sinx 在 R 上有﹣2≤y≤2 函数的周期 T=2π 值域[﹣2,1]含最小值不含最大值,故定义域[a,b]小于一个周期 b﹣a<2π 故选 C 点评: 本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域,解题的关键是熟悉三角函数 y=2sinx 的值域[﹣2,2],而在区间[a,b]上的值域[﹣2,1],可得函数的定义域与周期的关系, 从而可求结果.

6. (5 分)若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣2,则 k 的值为()

A.1

B . ﹣1

C. 2

D.﹣2

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,结合数形结合即可得到结论. 解答: 解:由 z=y﹣x 得 y=x+z, 作出不等式组对应的平面区域如图: 平移直线 y=x+z 由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时,直线 y=x+z 的截距最小, 此时最小值为﹣2,即 y﹣x=﹣2,则 x﹣y﹣2=0, 当 y=0 时,x=2,即 A(2,0) , 同时 A 也在直线 kx﹣y+2=0 上,代入解得 k=﹣1, 故选:B

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法. 本 题主要考查的难点在于对应的区域为线段. 7. (5 分)在空间直角坐标系 Oxyz 中,已知 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D (1,1, ) ,若 S1,S2,S3 分别表示三棱锥 D﹣ABC 在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正 投影图形的面积,则() A.S1=S2=S3 B.S2=S1 且 S2≠S3 C.S3=S1 且 S3≠S2 D.S3=S2 且 S3≠S1 考点: 空间直角坐标系. 专题: 空间向量及应用. 分析: 分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 解答: 解:设 A(2,0,0) ,B(2,2,0) ,C(0,2,0) ,D(1,1, ) ,则各个面上的 射影分别为 A',B',C',D', 在 xOy 坐标平面上的正投影 A'(2,0,0) ,B'(2,2,0) ,C'(0,2,0) ,D'(1,1,0) , S1= . ) ,

在 yOz 坐标平面上的正投影 A'(0,0,0) ,B'(0,2,0) ,C'(0,2,0) ,D'(0,1, S2=. 在 zOx 坐标平面上的正投影 A'(2,0,0) ,B'(2,0,0) ,C'(0,0,0) ,D'(1,0, S3= ,

) ,

则 S3=S2 且 S3≠S1, 故选:D. 点评: 本题主要考查空间坐标系的应用,求出点对于的投影坐标是解决本题的关键.

8. (5 分)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为

+

=1,双曲线 C2 的方程为



=1,C1 与

C2 的离心率之积为 A.x± y=0

,则 C2 的渐近线方程为() B. x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出 ab 关系,即可求解双曲线的渐近线方程. 解答: 解:a>b>0,椭圆 C1 的方程为 + =1,C1 的离心率为: ,

双曲线 C2 的方程为



=1,C2 的离心率为:



∵C1 与 C2 的离心率之积为









= ,

, ,即 x± y=0.

C2 的渐近线方程为:y=

故选:A. 点评: 本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考 查.

9. (5 分)已知向量 , 满足| |=1, 与 的夹角为 成立,则| |的取值范围是() A.[ ,∞) B.( ,∞)

,若对一切实数 x,|x +2 |≥| + |恒

C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由| |=1, 与 的夹角为 ,|x +2 |≥| + |,化为 ,即 一切实数 x,|x +2 |≥| + |恒成立,可得△ ≤0,解出即可. 解答: 解:∵| |=1, 与 的夹角为 ∴|x +2 |≥| + |,化为 即 ≥0, , , ≥0,由于对

∵对一切实数 x,|x +2 |≥| + |恒成立, ∴ 化为 ﹣4 ≤0, ,解得 .

故选:C. 点评: 本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系,考查了 推理能力和计算能力,属于中档题. 10. (5 分)已知 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,x∈(﹣1,1) .现有下列命题: ①f(﹣x)=﹣f(x) ; ②f( )=2f(x)

③|f(x)|≥2|x| 其中的所有正确命题的序号是() A.①②③ B.②③

C.①③

D.①②

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 根据已知中函数的解析式,结合对数的运算性质,分别判断三个结论的真假,最后 综合判断结果,可得答案. 解答: 解:∵f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,x∈(﹣1,1) , ∴f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣f(x) ,即①正确; ( f =ln[( ) =ln (1+ ) ]=2ln(
2

) ﹣ln (1﹣

) =ln (

) ﹣ln (

) =ln (



)=2[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=2f(x) ,故②正确;

当 x∈[0,1)时,|f(x)|≥2|x|?f(x)﹣2x≥0,令 g(x)=f(x)﹣2x=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ﹣2x(x∈[0,1) ) ∵g′(x)= + ﹣2= ≥0,∴g(x)在[0,1)单调递增,g(x)=f(x)﹣2x≥g(0)

=0, 又 f(x)≥2x,又 f(x)与 y=2x 为奇函数,所以|f(x)|≥2|x|成立,故③正确; 故正确的命题有①②③, 故选:A 点评: 本题以命题的真假判断为载体,考查了对数的运算性质,代入法求函数的解析式等 知识点,难度中档. 二、填空题:本大题共 4 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答 题卡对应题号的位置上.(一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)不等式|x﹣1|+|x+2|≥5 的解集为(﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) .

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和﹣2 的距离之和, 而﹣3 和 2 对应点到 1 和﹣2 的距离之和正好等于 5,由此求得所求不等式的解集. 解答: 解:由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和﹣2 的距离之和, 而﹣3 和 2 对应点到 1 和﹣2 的距离之和正好等于 5, 故不等式|x﹣1|+|x+2|≥5 的解集为 (﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) , 故答案为 (﹣∞,﹣3]∪[2,+∞) . 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于中档题. 12. (5 分)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x﹣1)>0,则 x 的取 值范围是(﹣1,3) . 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为 f(|x﹣1|)>f(2) ,即可 得到结论. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0, ∴不等式 f(x﹣1)>0 等价为 f(x﹣1)>f(2) , 即 f(|x﹣1|)>f(2) , ∴|x﹣1|<2, 解得﹣1<x<3, 故答案为: (﹣1,3) 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,将不等式等价转化为 f(|x﹣ 1|)>f(2)是解决本题的关键.

13. (5 分)过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C:

+

=1(a>b>0)相交于 A,

B 两点,若 M 是线段 AB 的中点,则椭圆 C 的离心率等于



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用点差法,结合 M 是线段 AB 的中点,斜率为﹣ ,即可求出椭圆 C 的离心率.

解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 ∵M 是线段 AB 的中点, ∴ =1, =1,

①,

②,

∵直线 AB 的方程是 y=﹣ (x﹣1)+1, ∴y1﹣y2=﹣ (x1﹣x2) ,

∵过点 M(1,1)作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C: M 是线段 AB 的中点, ∴①②两式相减可得 ∴a= ∴ ∴e= = . . b, =b,

+

=1(a>b>0)相交于 A,B 两点,

,即



故答案为:

点评: 本题考查椭圆的离心率,考查学生的计算能力,正确运用点差法是关键. 14. (5 分)以 A 表示值域为 R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 φ(x)组成的 集合:对于函数 φ(x) ,存在一个正数 M,使得函数 φ(x)的值域包含于区间[﹣M,M].例 如,当 φ1(x)=x ,φ2(x)=sinx 时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题: ①设函数 f(x)的定义域为 D,则“f(x)∈A”的充要条件是“?b∈R,?a∈D,f(a)=b”; ②函数 f(x)∈B 的充要条件是 f(x)有最大值和最小值; ③若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f(x)+g(x)?B. ④若函数 f(x)=aln(x+2)+ (x>﹣2,a∈R)有最大值,则 f(x)∈B.
3

其中的真命题有①③④. (写出所有真命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用;充要条件;全称命题;特称命题;函数的值域. 专题: 新定义;极限思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用;简易逻辑. 分析: 根据题中的新定义,结合函数值域的概念,可判断出命题①②③是否正确,再利用 导数研究命题④中函数的值域,可得到其真假情况,从而得到本题的结论. 解答: 解: (1)对于命题①,若对任意的 b∈R,都?a∈D 使得 f(a)=b,则 f(x)的值域 必为 R.反之,f(x)的值域为 R,则对任意的 b∈R,都?a∈D 使得 f(a)=b,故①是真命题; (2)对于命题②,若函数 f(x)∈B,即存在一个正数 M,使得函数 f(x)的值域包含于 区间[﹣M,M]. ∴﹣M≤f(x)≤M.例如:函数 f(x)满足﹣2<f(x)<5,则有﹣5≤f(x)≤5,此时,f(x) 无最大值,无最小值,故②是假命题; (3)对于命题③,若函数 f(x) ,g(x)的定义域相同,且 f(x)∈A,g(x)∈B,则 f (x)值域为 R,f(x)∈(﹣∞,+∞) ,并且存在一个正数 M,使得﹣M≤g(x)≤M.故 f(x) +g(x)∈(﹣∞,+∞) . 则 f(x)+g(x)?B,故③是真命题;

(4)对于命题④,∵﹣ ≤

≤ ,

当 a>0 或 a<0 时,alnx∈(﹣∞,+∞) ,f(x)均无最大值,若要使 f(x)有最大值,则 a=0, 此时 f(x)= ,f(x)∈B,故④是真命题.

故答案为①③④. 点评: 本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件,还考查了新定义概念的应用 和极限思想.本题计算量较大,也有一定的思维难度,属于难题. (二)选考题(第 15、16 两题中任选一题作答,如果全选,则按第 15 题作答结果计分.) 【选 修 4-1:几何证明选讲】 15. (5 分)如图所示,已知 AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= ,BC=2 ,则⊙O 的半径等于 1.5.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题;立体几何. 分析: 设垂足为 D,⊙O 的半径等于 R,先计算 AD,再计算 R 即可. 解答: 解:设垂足为 D,⊙O 的半径等于 R,则 ∵AB,BC 是⊙O 的两条弦,AO⊥BC,AB= ,BC=2 , ∴AD=1, 2 2 ∴R =2+(R﹣1) , ∴R=1.5. 故答案为:1.5 点评: 本题考查垂径定理的运用,考查学生的计算能力,属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 16.已知曲线 C1 的参数方程是 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极 ,1) .

轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为(

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;参数方程化成普通方程. 专题: 直线与圆. 分析: 把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,再把两曲线的方程联立方程组求得 C1 与 C2 交点的直角坐标.

解答: 解:把曲线 C1 的参数方程是
2 2

(t 为参数) ,消去参数化为直角坐标方程为

x =3y (x≥0,y≥0) . 2 2 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2,化为直角坐标方程为 x +y =4. 解方程组 ,求得 ,∴C1 与 C2 交点的直角坐标为( ,1) ,

故答案为: ( ,1) . 点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,求两条曲线的交 点,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使△ ABC 面积最大时 a,b 的值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式左边利用正弦定理化简,右边利用诱导公式变形,整理后再利用两角 和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,根据 sinA 不为 0 求出 cosC 的值,即可确定出 C 的 度数; (2)利用余弦定理列出关系式,将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大值, 进而确定出三角形 ABC 面积的最大值,以及此时 a 与 b 的值即可. 解答: 解: (1)∵A+C=π﹣B,即 cos(A+C)=﹣cosB, ∴由正弦定理化简已知等式得: = , =

整理得:2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB,即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C) =sinA, ∵sinA≠0, ∴cosC=﹣ , ∵C 为三角形内角, ∴C= ;

(Ⅱ)∵c=2,cosC=﹣ , ∴由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC,即 4=a +b +ab≥2ab+ab=3ab, ∴ab≤ , (当且仅当 a=b 时成立) , ∵S= absinC= ab≤ ,
2 2 2 2 2

∴当 a=b 时,△ ABC 面积最大为 则当 a=b=

,此时 a=b= .



时,△ ABC 的面积最大为

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌 握定理及公式是解本题的关键. 18. (12 分)已知各项均为正数的数列{an}满足:Sn 为数列{an}的前 n 项和,且 2,an,Sn 成 等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 an =( )
2

,cn=

,求数列{cn}的前 n 项和.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 2,an,Sn 成等差数列得到数列递推式,求出首项,取 n=n﹣1 得另一递推式, 作差后得到数列{an}是等比数列,由等比数列的通项公式得到数列{an}的通项公式; (2)把(1)中求得的 an 代入 an =( )
2

,求出 bn 后代入 cn=

,然后利用错位相减法

求数列{cn}的前 n 项和. 解答: 解: (1)由题意知 2an=Sn+2,① 当 n=1 时,2a1=a1+2,a1=2. 当 n≥2 时,2an﹣1=Sn﹣1+2,② ①﹣②得:an=2an﹣1, ∴数列{an}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列. ∴通项公式为 (2)由 an =( )
2

; ,得 ,

∴cn=

=



∴数列{cn}的前 n 项和





两式作差得:

=







点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等比关系的确定,训练了错位相减法求数列的 和,是中档题. 19. (12 分)如图 1,△ ABC 中,∠B=90°,AB= ,BC=1,D、E 两点分别是线段 AB、AC 的中点,现将△ ABC 沿 DE 折成直二面角 A﹣DE﹣B.

(Ⅰ)求证:面 ADC⊥面 ABE; (Ⅱ)求直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值. 考点: 直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出∠ADB 为二面角 A﹣DE﹣B 平面角,AD⊥面 BCD,从而 AD⊥BE,由此能证明 BE⊥面 ADC,从而得到面 ABE⊥面 ADC. (Ⅱ)连结 BE 交 CD 于 H,连结 AH,过点 D 作 DO⊥AH 于 O.由已知条件推导出∠DAO 为 AD 与平面 ABE 所成角.由此能求出直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值. 解答: 解: (Ⅰ)由∠B=90°,D、E 两点分别是线段 AB、AC 的中点, 得 DE∥BC,DE⊥AD,DE⊥BD, ∴∠ADB 为二面角 A﹣DE﹣B 平面角, ∴AD⊥面 BCD,又∵BE?面 BCD,∴AD⊥BE, 又 , .

∴△BDE~△ DBC,∴∠EBD=∠DCB, ∴BE⊥DC,∴BE⊥面 ADC, 又 BE?面 ABE,∴面 ABE⊥面 ADC. (Ⅱ)连结 BE 交 CD 于 H,连结 AH, 过点 D 作 DO⊥AH 于 O. ∵AD⊥BE,BE⊥DH, ∴BE⊥面 ADHDO?面 ADH,∴BE⊥DO, 又 DO⊥AH,∴DO⊥面 ABE, ∴∠DAO 为 AD 与平面 ABE 所成角.

Rt△ BDE 中, Rt△ ADH 中, ∴直线 AD 与平面 ABE 所成角的正切值为 . .



点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查直线与平面所成角的正切值的求法,解题时 要认真审题,注意空间思维能力的培养. 20. (12 分)某省进行 2015 届高考改革,外语实行等级考试,其他学科分值如下表: 科目 语文 数学 科目 A 科目 B 科目 C 科目 D 分值 180 150 120 100 100 100 (1)有老师建议语文放在首场,数学与科目 A 不相邻,按这位老师的建议安排考试,前三科 总分不小于 400 的概率为多少? (2)若前三场科目中要安排语文,求前三场考试总分 ξ 的分布列及期望值. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用对立事件概率计算公式能求出前三科总分不小于 400 的概率. (2)ξ 可能值为 380,400,430,450,分别求出相应的概率,由此能求出前三场考试总分 ξ 的分布列及期望值. 解答: 解: (1)第二三场基本事件总数为 ﹣2=18,

首场是语文,第二场和第三场在科目 B、科目 C、科目 D 中任选一科搭档数学和科目 A, 基本数个数为: =12.

前三科总分不小于 400 的概率为: P= = .

(2)ξ 可能值为 380,400,430,450, P(ξ=380)= =0.3,

P(ξ=400)=

=0.3,

P(ξ=430)=

=0.3

P(ξ=450)=

=0.1.

ξ 的分布列为 ξ 380 400 430 450 P 0.3 0.3 0.3 0.1 E( ξ )=380×0.3+400×0.3+430×0.3+450×0.1=408. 点评: 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题.

21. (13 分)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F 是椭圆 E

的右焦点,直线 AF 的斜率为

,O 为坐标原点.

(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)设 F(c,0) ,利用直线的斜率公式可得
2

,可得 c.又

,b =a ﹣

2

2

c ,即可解得 a,b; (Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程联 立可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可 得出 S△ OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)设 F(c,0) ,∵直线 AF 的斜率为 ∴ 又 ,解得 c=
2 2 2





,b =a ﹣c ,解得 a=2,b=1. ;

∴椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2. 联立
2 2


2

化为(1+4k )x ﹣16kx+12=0,当△ =16(4k ﹣3)>0 时,即

时,

, ∴|PQ|=



=

=



点 O 到直线 l 的距离 d=



∴S△ OPQ= 设 ∴

=
2 2



>0,则 4k =t +3, = =1,当且仅当 t=2,即 ,解得 时取等号.

满足△ >0,∴△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:



点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根 与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质 等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属于难 题. 22. (14 分)已知函数 f(x)=ln(1+2x)+ax(a<0) (1)若 f(x)在 x=0 处取极值,求 a 的值, (2)讨论 f(x)的单调性, (3)证明(1+ ) (1+ )…(1+ )< , (e 为自然对数的底数,n∈N ) .
*

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由已知得 (2)由 = ,f′(0)=2+a=0,由此能求出 a 的值. ,根据 a 的范围利用导数性质能求出 f(x)的单调性.

(3)当 a=﹣2 时,f(x)在(﹣ ,+∞)上单调递减,从而得到 ln(1+2x)<2x,由此利用 对数性质能证明(1+ ) (1+ )…(1+ )< .

解答: (1)解:∵f(x)=ln(1+2x)+ax(a<0) ∴ ,

∵f(x)在 x=0 处取极值, ∴f′(0)=2+a=0,解得 a=﹣2, 验证知 a=﹣2 符合条件,∴a=﹣2. (2)解: 若 = ,

,当 a≤﹣2 时,f′(x)≤0 对 x∈(﹣ ,+∞)恒成立,

∴f(x)在(﹣ ,+∞)上单调递减; ﹣ ,

若﹣2<a<0,由 f′(x)>0,得 2ax+2+a>0, ∴﹣ , , ,+∞)上单调递减.

再令 f′(x)<0,得 x>﹣ ∴f(x)在(﹣ ,﹣

)上单调递增,在(﹣

(3)证明:由(2)知,当 a=﹣2 时,f(x)在(﹣ ,+∞)上单调递减, 当 x∈(0,+∞)时,由 f(x)<f(0)=0, ∴ln(1+2x)<2x, ∴ln[(1+ ) (1+ )…(1+ )] )

=ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+



=

=



∴(1+ ) (1+ )…(1+

)<



点评: 本题考查实数值的求法,考查单调性的讨论,考查不等式的证明,解题时要认真审 题,注意导数性质的合理运用.



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