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北师大版必修3 第一章统计§5



?习惯优秀才能优秀 ?我一定能优秀 ?天下兴亡 ?我的责任
1

不为失误找借口 只为成功找方法

没有人为你的失败负责, 只有人为你的成功喝彩。
2

?尽本分,是一个人良好 品德的核心,是安身立命 和做人谋事之本。 ?让你生活中接触的每一 个人都从你那儿,从你的 心灵深处得到一点最美好 的东西


3

北师大版必修3 第一章 统计

§5 用样本估计总体
5.2 估计总体的数字特征
4

1、会用频率分布直方图和频率分布折线图估计总

体的分布概率.
2、会用平均值和标准差估计总体的数字特征. 3、会通过对总体的估计,进行决策.

5

复习
平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差
1.一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据 x1 , x2 ,?, xn 的平均数为 x ?
x1 ? x2 ? ? ? xn .平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数据的 n

平均水平. 2.一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于中间位置的数称为这组数据的中位数.

一组数据的中位数是唯一的,反映了数据的集中趋势.
奇数个数时,中位数有1个; 偶数个数时,中位数有2个

注:中位数可能在所给数据中,也可能不在所给数据中

3. 一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数.一组数据中的众数可能不止 一个,也可能没有,反映了数据的集中趋势.
6

复习
4.一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差,表示该组数据之间的差异情况.
5. 方 差 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 平 均 距 离 , 一 般 用 s 2 表 示 , 通 常 用 公 式
1 s ? [( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ] 来计算.反映了数据的离散程度.方差越大,数据的离散程度越 n
2

大,方差越小数据的离散程度越小.

6. 标准差等于方差的正的平方根,即 s ? s2 ,与方差的作用相同,描述一组数据围绕平均数的 波动程度的大小.

标准差越大离散程度越大,数据较分散,稳定性就越差; 标准差越小离散程度越小,数据较集中在平均数周围, 稳定性就越好.
7

复习

方差的运算性质: 如果数据 x1 , x2 , ???, xn 的平均数为 x , 2 方差为 s ,则 (1)新数据 x1 ? b, x2 ? b, ???, xn ? b 的平均数为 2 x ? b ,方差仍为 s . (2)新数据 ax1 , ax2 , ???, axn 的平均数为 ax , 2 2 方差为 a s . (3)新数据 ax1 ? b, ax2 ? b, ???, axn ? b 的平均数为 ax ? b ,方差为 a 2 s 2.
8

计算标准差的计算方法:(以下五步) S1 算出样本数据的平均数x; S2 算出每个样本数据与样本平均数的差
xi ? x (i=1,2,……,n);

复习

S3 算出 ( xi ? x ) (i=1,2,…,n); S4 算出 ( xi ? x ) 2 (i=1,2,…,n)这n个 数的平均数,即为样本方差s2; S5 算出方差的算术平方根,即为样本标
2

准差s。

9

复习
画频率分布直方图的步骤: 1、求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)

2、决定组距与组数 组距:指每个小组的两个端点的距离.

组数:将数据分组,当数据在120个以内时,按数
据多少常分5-12组. 3、确定分点,将数据分组:. 4、列出频率分布表.

5、画出频率分布直方图.

10

复习
在频率直方图中,按照分组原则,再在左右两边各加 一个区间,从所得的各个区间的中点开始,用线段依 次连接各个矩形的顶端中点,直至右边所加区间的中 点,就可以得到一条折线,我们称之为频率折线图, 有时用它来评估总体的分布情况

11

复习
当样本量增大时,为使所得的频率分布 直方图更好地反映总体的分布情况,我 们往往将划分的区间数相应增多,每个 区间的长度则会相应减小,这样得到的 频率折线图也就会越来越接近于一条光 滑曲线.

12

复习
频数分布表

频率分布表

总体分布

样本分布 频率直方图

频率折线图
13

复习
几种表示频率分布的方法的优点和不足:
1.频率分布表:反映具体数据在各个不同区 间的取值频率,但不够直观、形象,对分析 数据分布的总体态势不太方便。

2.频率分布直方图:能够非常直观的表明数据 分布的形状,一般是中间高、两端低、左右 对称的峰状结构。但是从直观图把原有的具 体数据信息就被抹掉了。
14

复习
3.频率分布折线图:反映了数据的变化趋 势,如果样本容量不断增大,分组的组 距不断缩小,那么折线图就趋向于总体 分布的密度曲线。
4.茎叶图:由所有的样本数据组成,没有损 失任何样本信息,也可以在抽样时随时记录, 但在样本数据个数较多或位数较多时就不适 用了,况且只能记录左右两组数据,分析也 比较粗略。
15

概念理解
众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系:
众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的中点 的横坐标. 中位数在样本数据的频率分布直方图中,就是把频率分布直方 图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标. 平均数在样本数据的频率分布直方图中,等于频率分布图中每 个小长方形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
16

方差与标准差
平均数易受一些极端情况的影响,而这些极端情况显
然是不能忽视的.因此,只有平均数还难以概括样本数据 的实际状态. 如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每 次命中的环数如下: 甲: 7 乙: 9 8 5 7 7 9 8 5 7 4 6 9 8 10 6 7 7 4 7

如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果
这是一次选拔性考核,你应当如何作出选择?
17

先计算两人本次射击的平均成绩是多少? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 x甲 ? 7, x乙 ? 7
两人射击的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什么差

异吗?
频率 0.3 0.2 0.1 频率 0.4 0.3 0.2 0.1

4 5 (甲)

6 7

8

9 10 环数

4

5

6

7 8 (乙)

9 10 环数

直观上看,还是有差异的. 如:甲成绩比较分散,乙成绩相对集中(如图示).因此,我们还 18 需要从另外的角度来考察这两组数据.

?例如:在作统计图、统计表时提到过的极差. ? 甲的环数极差=10-4=6, ? 乙的环数极差=9-5=4. ? 它们在一定程度上表明了样本数据的分散 程度,与平均数一起,可以给我们许多关于样 本数据的信息. ?显然,极差对极端值非常敏感,注意到这一点, 我们可以得到一种“去掉一个最高分,去掉 一个最低分”的统计策略.
19

考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准
差.标准差是样本平均数的一种平均距离,一般用s表示. 所谓“平均距离”,其含义可作如下理解:

20

假设样本数据是

x1 , x2 , ... xn ,

x 表示这组数据的平均数.
xi 到x的距离是 xi ? x (i ? 1, 2,? , n).
于是,样本数据 x1 , x2 , ... xn到x的“平均距离” 是 S?
x1 ? x ? x2 ? x ? ? xn ? x n .

由于上式含有绝对值,运算不太方便,因此,通常改用 如下公式来计算标准差.

s?

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ? ? n?
21

从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方
s 2方差 来代替标准差作为测量样本数据 分散程度的工具.

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? ? ? ( xn ? x )2 ? s ? ? ? n
2

探究:一个样本中的个体与平均数之间的距离关系可用下图
表示: 考虑一个容量为2的样本:设 x1、x2 ,
x2 ? x1 , 2
22

不妨令x1 ? x2 , 其样本的标准差为

x2 ? x1 令a ? . 2

a

x1

x1+ x 2 2

x2

显然,标准差越大,则 a 越大,数据的离散程度越大;标准差越 小,数据的离散程度越小. 用计算器可算出甲、乙两人成绩的标准差为:

s甲 ? 2, s乙 ? 1.095,
由 s甲 ? s乙 可以知道,
甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散程度小. 由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定.
23

?1996年美国亚特兰大奥运会上中国香港风 帆选手李丽珊,以惊人的耐力和斗志,勇 夺金牌,为香港的体育史揭开了“突破零” 的新一页. ?在风帆比赛中,成绩以低分为优胜。比赛 共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名 次。

24

前七场比赛结束后,排名前五位的选手在比赛中的积 分如表1-8所示:

表1-8

25

根据上面的比赛结果,我们如何比较各选手之间的成 绩及稳定情况呢?如果此时让你预测谁将获得最后的 胜利,你会怎么样? 由表1-8,我们可以分别计算五名选手前七场比赛积分 的平均数和标准差,分别作为量度各选手比赛的成绩 和稳定情况的依据,结果如表1-9所示

26

表1-9
排名 1 2 运动员 李丽珊 简度 平均积分 积分标准差

3.14 4.57 5.00 6.29 6. 57

1.73 2.77 2.51 3.19 3.33

3 4
5

贺根 威尔逊
李科

?从表1-9可以看出:李丽珊的平均积分和标准差都比 ?其他选手小,也就表明,在前7场的比赛过程中,她 ?的成绩最优秀且最稳定.
27

?尽管此时还有4场比赛没有进行,但这里我们 可以假定每位运动员在各自的11场比赛中发 挥的水平大致相同(实际情况也确实如此), 因而可以把前7场比赛的成绩看作是总体的一 个样本,并由此估计每位运动员最后比赛的 成绩。 ?从已经结束的7场比赛的积分来看,李丽珊的 成绩最为优异,而且表现最为稳定,因此在 后面的4场比赛中,我们有足够的理由相信她 会继续保持优异而又稳定的成绩,从而获得 最后的冠军。
28

?于是我们假设之后的比赛中,他们 都发挥正常,夺冠希望最大的就是 李丽珊. ?当然,事实也进一步验证了我们的 预测,李丽珊正是凭着自己优异而 稳定的表现,成为香港首位奥运金 牌得主的。
29

30

思考交流
(1)在上面的活动中,比较全班同学各自的 估计结果,看看有哪些不同.

(2)假设你的同座抽取的样本量与你抽取的相 同,他得到的样本频率分布直方图与你的一定相 同吗?样本的平均数和标准差呢?
(3)假如你用同样的方法先后从总体中抽取 了两个大小相同的样本,两次得到的样本频率分 布直方图一定相同吗?样本的平均数和标准差呢 ?为什么?

抽象概括
用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样 本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差. 在上面的活动中,尽管所有的样本都来自同一个总体, 从这些样本中所得到的有关总体的估计仍然可能互不相 同,这一现象是由抽样的随机性引起的.如果抽样方案没 有问题的话,那么这些结论之所以不同,其原因就在于 样本的随机性.在随机抽样中,这种偏差是不可避免的. 虽然我们从样本数据得到的分布、平均数和标准差 (通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并 不是总体真正的分布、平均数和标准差.而只是总体的一 个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时 ,它们确实反映了总体的信息.

P39练 习
某科研单位分别用一台Au-CH-1型自动测色仪及一 台302D型自动测色仪对中国人的面部自然肤色,从新 生婴儿直到老年人的肤色特征用简单随机抽样方法进 行了广泛取样测定,测定人数共1668人,其中新生婴 儿到2岁幼儿508人,3岁到17岁儿童及青少年548人, 18岁到78岁的成年人和老年人612人,被测者的籍贯包 括26个省市,除汉族外还包括蒙古族藏族维吾尔族壮 族等17个少数民族,在此基础上研制成功具有中国人 典型自然肤色的色样一套,测量数据如下:
请分别估计中国男性和女性的肤色反射率的平均 数及标准差.(为计算方便,反射率取每个区间的中点 ,如12.0~14.0取13.0,其他类似计算)
33

反射率/(%) 男
12.0~14.0 14.0~16.0 4 14

人数分布 女
0 2

合计
4 16

16.0~18.0
18.0~20.0 20.0~22.0

23
75 90

0
22 50

23
97 140

22.0~24.0
24.0~26.0 26.0~28.0 28.0~30.0 30.0~32.0 32.0~34.0 34.0~36.0 36.0~38.0

117
143 113 78 91 48 20 16

119
139 141 135 102 71 33 15

236
282 254 213 193 119 53 31

38.0~40.0

4
836

3
832

7
1668

总计

这说明中国男性的皮肤比女性 黝黑,女性皮肤较为白亮些。

甲乙两人同时生产内径为25.40mm的一种零件.为了对 两人的生产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20 件,量得其内径尺寸如下(单位:mm)
甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42

25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44
乙 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48

25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34
25.33, 25.43, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48

从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?
36

解:用计算器计算可得:
-

x甲 = 25.4005, x乙 = 25.4008, S甲 = 0.038, S乙 = 0.074,
从样本平均数看,甲生产的零件内径比乙生产的更接近 内径标准(25.40mm),但是差异很小;从样本标准差看,由于

s甲 < s乙 ,因此甲生产的零件内径比乙生产的稳定程度
高得多,于是可以作出判断,甲生产的零件的质量比乙的 高一些.
37

“用样本估计总体”包含: 1、用频率分布直方图和频率分布折线图估计总体的 分布概率.

2、用平均值和标准差估计总体的数字特征.
3、通过对总体的估计,进行决策.

38

?作业 练习23 ?P40 2、
39



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